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二次函数与幂函数


[备考方向要明了]

1.了解幂函数的概念.
1 1 2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x 2 的 图象,了解它们的变化情况. 考 什 么 3.掌握二次函数的概念,图象特征,对称性和单 调性,会求二次函数在给定区向上的最值. 4.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的 密切关系,提高解综合问题的能力.

怎 么 考

2012· 填空题T17

[归纳· 知识整合]

1.二次函数的解析式 2+bx+c(a≠0) ax (1)一般式:f(x)= ;
(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解 2+k(a≠0) a ( x - h ) 析式为f(x)= ; (3)两根式:若相应一元二次方程的两根为x1,x2,则 a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 其解析式为f(x)=



2.二次函数的图象和性质
a>0
图象

a<0

定义域
值域
?4ac-b2 ? ? ? ,+∞ ? ? 4a ? ?

x∈R
2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ?

? b? 在 ?-∞,-2a? ? ?

a>0

a<0
? b? 在?-∞,-2a?上递增, 在 ? ?

单调性

上 递 减 , 在 ? ? b ? ? b ?- ,+∞? 上 ?-2a,+∞?上递减 ? ? ? 2a ? 递增

b=0 时为偶函数, b≠0 既不是奇函数也 奇偶性 不是偶函数 b ①对称轴:x=-2a; 2? ? 图象特点 4 ac - b b ? ②顶点:? - , ? 2a 4a ? ? ?

[探究]

1.ax2+bx+c>0(a≠0)与ax2+bx+c<0(a≠0)恒

成立的条件分别是什么?其几何意义如何?

提示: (1)ax2+bx+c>0

? ?a>0, 恒成立的充要条件是? ? ?Δ<0,

其几何意义是抛物线恒在 x 轴上方; (2)ax +bx+c<0
2

? ?a<0, 恒成立的充要条件是? ? ?Δ<0

,其几何意

义是抛物线恒在 x 轴下方.

3.幂函数的定义
形如 y=x (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是 自变量 ,α为 常数 . 4.五种幂函数的图象
α

5.五种幂函数的性质
函数

特征
性质 定义域 值域 奇偶性

y= x
R

y= x2
R

y= x3 R

1 y= x 2

y= x- 1
(-∞,0)∪(0, +∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇 x∈ (0,+∞)

[0,+∞) [0,+∞)
非奇非偶

R

[0,+∞)
偶 x∈ [0,+∞)

R 奇



单调性



时,增 x∈(-∞,0] 时,减





时,减 x (-∞,0) ∈ 时,减

[探究]

2.为何幂函数在第四象限没有图象?幂函数

的图象最多出现在几个象限内? 提示:幂函数y=xα,当x>0时,根据幂运算,幂函数 y=xα>0恒成立,所以幂函数在第四象限没有图象;幂函 数的图象最多只能出现在两个象限内. 1 1 2 3 3.函数y=x,y=x ,y=x ,y=x 2 ,y= x 在区间(0,1) 上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系?

提示:在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下.

[自测· 牛刀小试]
1.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x=1对称,且 过点(0,0),则此二次函数的解析式为 A.f(x)=x2-1 B.f(x)=-(x-1)2+1 ( )

C.f(x)=(x-1)2+1

D.f(x)=(x-1)2-1

解析:由图象开口向上且关于直线x=1对称,可排除A、 B选项;由图象过点(0,0)可排除C选项.

答案:D

2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,则 a 的取值范围 是
? 1? A.?0,20? ? ? ?1 ? C.?20,+∞? ? ? ? 1? B.?-∞,-20? ? ? ? ? 1 D.?-20,0? ? ?

(

)

解析:∵函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,
? ?a>0, ∴? ? ?Δ=1-20a<0,

1 即 a>20.

答案:C

3.(教材习题改编)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]

上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为
A.[0,1] C.(1,2] B.[1,2] D.(1,2)

(

)

解析:如图,由图象可知m的取值范围[1,2].

答案:B

4. (教材习题改编)如图中曲线是幂函数 y= 1 x 在第一象限的图象.已知 n 取± 2,± 2
n

值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为 ( )

1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 C.-2,-2,2,2

1 1 B.2,2,-2,-2 1 1 D.2,2,-2,-2

解析: 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知, 曲线 C1, 1 1 C2,C3,C4 所对应的 n 依次为 2,2,-2,-2. 答案:B

5.(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________. ①y=2 ;②y=2x ;③y=(x+2) ;④y= x2; 1 ⑤y= . x
1 1 解析:y= x =x ,y= =x-2故④⑤为幂函数. x 3
2
2 3

x

-1

2

3

答案: ④⑤

二次函数的解析式

[例1] 已知二次函数f(x)同时满足以下条件:
(1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为15; (3)f(x)=0的两根的立方和等于17. 求f(x)的解析式. [自主解答] 依条件,设f(x)=a(x-1)2+15(a<0), 即f(x)=ax2-2ax+a+15. 令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0,

15 则 x1+x2=2,x1x2=1+ a .
3 3 而 x3 1+x2=(x1+x2) -3x1x2(x1+x2)

=2

3

? 15? 90 ? ? -3×2× 1+ a =2- a . ? ?

90 即 2- a =17,则 a=-6. 故 f(x)=-6x2+12x+9.

在本例条件下,若g(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称, 求g(x)的解析式.

解:设p(x,y)是函数g(x)图象上的任意一点,它关于
原点对称的点p′(-x,-y)必在f(x)的图象上. 则-y=-6(-x)2+12(-x)+9, 即y=6x2+12x-9. 故g(x)=6x2+12x-9.

————— ———————————— 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数

法,选择规律如下:

——————————————————————————

1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得 的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x), 求f(x)的解析式. 解:∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,∴f(x)的对称轴为 x=2. 又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为 1和3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1.∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)· (x-3), 即f(x)=x2-4x+3.

二次函数的图象和性质
[例2] (2013· 盐城模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[- 4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函 数; (3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间. [自主解答] (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1. 又∵x∈[-4,6], ∴函数f(x)在[-4,2]上为减函数,在[2,6]上为增函数. ∴f(x)max=f(-4)=(-4-2)2-1=35, f(x)min=f(2)=-1.

(2)∵函数 f(x)=x2+2ax+3 的对称轴为 x=-a, 且 f(x)在[-4,6]上是单调函数, ∴-a≥6 或-a≤-4,即 a≤-6 或 a≥4.

(3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6], 且
2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6], f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].

—————

————————————

解决二次函数图象与性质时的注意点 (1)分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是 看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向; 二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对 于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进 行判断,如函数图象与正半轴的交点,函数图象的最高 点与最低点等. (2)抛物线的开口,定义区间三者相互制约,常见的 题型中这三者有两定一不定对称轴的位置,要注意分类 讨论.
————————————————————————

2.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是
( )

解析:若 a>0,则 bc>0,根据选项 C、D,c<0,此时只有 b b<0,二次函数的对称轴方程 x=-2a>0,选项 D 有可能; 若 a<0,根据选项 A,c<0,此时只能 b>0,二次函数的对 b 称轴方程 x=-2a>0, 与选项 A 不符合; 根据选项 B, c>0, b 此时只能 b<0, 此时二次函数的对称轴方程 x=-2a<0, 与 选项 B 不符合.综合知只能是选项 D.

答案:D

3.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间 [2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求a,b的值; (2)若b<1,g(x)=f(x)-m· x在[2,4]上单调,求m的取值

范围.
解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,
? ?f?3?=5, 故? ? ?f?2?=2, ? ?9a-6a+2+b=5, ?? ? ?4a-4a+2+b=2, ? ?a=1, ?? ? ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,
? ?f?3?=2, 故? ? ?f?2?=5, ? ?9a-6a+2+b=2, ?? ? ?4a-4a+2+b=5, ? ?a=-1, ?? ? ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调, 2+ m m+ 2 ∴ 2 ≤2 或 2 ≥4.∴m≤2 或 m≥6.

幂函数的图象和性质
[例 3] 已知幂函数
?1 f(x)的图象经过点? ?8, ?

2? ? ,P(x1,y1), 4? ?

Q(x2, y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点, 给出以下结论:

①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);
f?x1? f?x2? ③ x > x ; ④f?x1?<f?x2?. 1 2 x1 x2
其中正确结论的序号是 ( )

A.①②

B.①③

C.②④

D.②③

[自主解答]

法一:依题意,设 f(x)=x
1 1 α=2,于是 f(x)=x 2 .

α

?1?α ,则有?8? = ? ?

2 4,

?1?α ?1? 1 即?8? =?8? 2 ,所以 ? ? ? ?

1 由于函数 f(x)=x2在定义域[0,+∞)内单调递增,所以 当 x1<x2 时,必有 f(x1)<f(x2),从而有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正 f?x1? f?x2? 确;又因为 x , x 分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合 1 2 函数图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率, f?x1? f?x2? 故 x > x ,所以③正确. 1 2

法二:设

?1?α α f(x)=x ,则有?8? = ? ?

2 ?1?α ?1? 1 ? ? =? ? 2 ,所以 α 即 4 ?8? ?8?

1 3 3 1 =2,所以 f(x)=x 2 .设 g(x)=xf(x)=x 2 ,因为 g(x)=x 2 在定

义域内是增函数,当 x1<x2 时,必有 x1f(x1)<x2f(x2),
1 1 ? ? f?x? 所以②正确; 设 h(x)= x 即 h(x)=x 2 , 因为 h(x)=x 2 f?x1? f?x2? 在定义域内是减函数,所以当 x1<x2 时, x > x ,所以③ 1 2 正确.

[答案]

D

—————

————————————
幂函数y=xa的图象的特征

(1)α的正负;α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图 象上升; α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反 之也成立.

(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凸;
0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸. (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内; (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

——————————————————————————

4.(1)幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象如图所示,则m

的值为
A.-1<m<3 C.1 B.0 D.2

(

)

解析:从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限 下降,故m2-2m-3<0,即-1<m<3;又从图象看,函 数是偶函数,故m2-2m-3为负偶数,将m=0,1,2分别 代入,可知当m=1时,m2-2m-3=-4,满足要求.

答案:C

(2)当0<x<1时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系

是________.
解析:如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由 此可知h(x)>g(x)>f(x).

答案:h(x)>g(x)>f(x)

1 类最值——二次函数在给定区间上的最值 二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,且只能在区间 的端点或顶点处取得,对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两 种情形,要借助二次函数的图象特征,抓住顶点的横坐标是否属 于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论求解.

2 种思想——数形结合与分类讨论思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉 及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.

(2) 含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨 论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二 次不等式根的大小等.
5 种方法——二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法

(1)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(x1)= x1+x2 f(x2),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= 2 .
(2)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(a+x)= f(a-x)成立, 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为 常数).

(3)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(x+2a)= f(-x),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). 注意:(2)(3)中,f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(-x)是等价 的.

(4)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 b 方程为 x=-2a.

(5)利用方程根法求对称轴方程. 若二次函数 y=f(x)对应 方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2,那么函数 y=f(x)图象的对称 x1+x2 轴方程为 x= 2 .

数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴 与区间的相对位置关系确定最值,当函数解析式中含有参 数时,要根据参数的最值情况进行分类讨论.

典例

(2013· 青岛模拟)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求

f(x)的最小值. 解:(1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2.

1 (2)当 a>0 时,f(x)=ax -2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为 x=a.
2

1 ①当a≤1,即 a≥1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在[0,1]内,
? ?1 ? 1? ∴f(x)在?0,a?上递减,在?a,1?上递增. ? ? ? ? ?1? 1 2 1 ∴f(x)min=f?a?=a-a=-a. ? ?

1 ②当a>1,即 0<a<1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧, ∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.

(3)当 a<0 时,f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向下,且对称 1 轴 x=a<0,在 y 轴的左侧, ∴f(x)=ax2-2x 在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. ? ?a-2,a<1, 综上所述 f(x)min=? 1 - ,a≥1. ? ? a

[题后悟道]

二次函数 f(x)=ax2+bx+c(不妨设 a>0)在区间[m,n]上的最大或最 小值如下: b (1)当-2a∈[m,n],即对称轴在所给区间时,f(x)的最小值在对称轴处

4ac-b b? ? 取得,其值是 f -2a?= 4a ,f(x)的最大值在离对称轴较远的端点处取 ? 得,它是 f(m),f(n)中的较大者.
? ? ? ?

2

b (2)当-2a?[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时,f(x)在[m,n] b 上是单调函数. 若-2a<m, f(x)在[m, n]上是增函数, f(x)的最小值是 f(m), b 最大值是 f(n);若 n<-2a,f(x)在[m,n]上是减函数,f(x)的最小值是 f(n), 最大值是 f(m).

[变式训练] 1.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).

解:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x =1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论.而 -2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a 时,ymin=a2-2a;当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递 减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,ymin=-1.
2 ? ?a -2a,-2<a<1, 综上,g(a)=? ? ?-1,a≥1.

2.(2013· 玉林模拟)是否存在实数a,使函数f(x)=x2-

2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,
求a的值;若不存在,说明理由. 解:f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2. 当a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
? ?f?-1?=1+3a=-2, ∴? ? ?f?1?=1-a=2,

解得 a=-1(舍去);

当-1≤a≤0

2 ? ?f?a?=a-a =-2, 时,? ? ?f?1?=1-a=2,

解得 a=-1.

当 0<a≤1

2 ? ?f?a?=a-a =-2, 时,? ? ?f?-1?=1+3a=2,

a 不存在.

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数,
? ?f?-1?=1+3a=2, ∴? ? ?f?1?=1-a=-2,

a 不存在.

综上可知 a=-1.
演练知能检测见 “限时集训六”

1.已知函数f(x)=ax2-(3-a)x+1,g(x)=x,若对于任一 实数x,f(x)与g(x)至少有一个为正数,则实数a的取值 范围是 A.[0,3) B.[3,9) ( )

C.[1,9)

D.[0,9)

解析:据题意只需转化为当 x≤0 时,ax2-(3-a)x+1>0 恒成 立即可.结合 f(x)=ax2-(3-a)x+1 的图象,当 a=0 时验证 3-a 知符合条件.当 a≠0 时必有 a>0,当 x= 2a ≥0 时,函数在 (-∞,0)上单调递减,故要使原不等式恒成立,只需 f(0)>0
?3-a? 3-a ? 即可,解得 0<a≤3;当 x= 2a <0 时,只需 f? ? 2a ?>0 即可, ? ?

解得 3<a<9,综上所述可得 a 的取值范围是 0≤a<9.

答案:D

2.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x)是
幂函数,且在(0,+∞)上是增函数? 解:∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x-13在(0,+∞)

上是减函数;
当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞)上是 增函数. ∴m=-1.

3.已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为 h(t),写出h(t)的表达式.

解:如图所示, 3 函数图象的对称轴为 x=-2, 3 5 (1)当 t+1≤-2,即 t≤-2时, h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 即 h(t)=t
2

? 5? +5t-1?t≤-2?. ? ?

3 5 3 (2)当 t≤-2<t+1,即-2<t≤-2时,
? 3? 29 ? ? h(t)=f -2 =- 4 . ? ?

3 (3)当 t>-2时,h(t)=f(t)=t2+3t-5.
? ? 5 ? 2 ?t +5t-1?t≤- ?, 2? ? ? ? 29? 5 3? 综上可得,h(t)=?- 4 ?-2<t≤-2?, ? ? ? ? ?2 3? t +3t-5?t>-2?. ? ? ? ?

4.设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x,当 x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的 抛物线的一部分. (1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;

(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图;

(3)写出函数f(x)的值域.

解:(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y =a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得a=-2, 所以y=-2(x-3)2+4, 即x>2时,f(x)=-2x2+12x-14.

又f(x)为偶函数,当x<-2,即-x>2时,
f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即f(x)=-2x2-12x-14. 故函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14.

(2)函数f(x)的图象如图:

(3)由图象可知,函数f(x)的值域为(-∞,4].


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