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高三数学中档题训练16-20(带详细答案)


高三数学中档题训练 16
班级
1.已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos2 x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (Ⅱ)已知 f

姓名

?? ? ? 3 ,且 ? ? ? 0, π ? ,求 α 的值.

2.已知数列 f ? n? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n2 ? 2n . (Ⅰ)求数列 f ? n? 通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? f ?1? , an?1 ? f ? an ? ? n ? N *? ,求证数列 ? an ? 1 ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的前

?

?

?

?

n 项和 Tn .

3.在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的 中点,PA=2AB=2. P (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; (Ⅲ)求证 CE∥平面 PAB. E
F A B C D

4.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)
1 的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件) ,价格近似满足 f (t ) ? 20 ? | t ? 10 | (元) . (Ⅰ)试写出 2 该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与 最小值.

高三数学中档题训练 17
班级 姓名
1、为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前 7 次考试的数学 成绩 x 、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(Ⅰ)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (Ⅱ)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估计他 的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合 理建议.

2、在△ ABC 中,已知 AB ·AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6. (1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的距 离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值范围.

3、 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 8 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,直线 l : x ? ?4 为准线的椭 圆. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 M 是直线 l 上的任意一点, 以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P, Q 两点,求证:直线 PQ 必 过定点 E ,并求出点 E 的坐标;
A M G y P

(Ⅲ)如图所示,若直线 PQ 与椭圆 C 交于 G , H 两点,且

Q

H

O

B

x

EG ? 3HE ,试求此时弦 PQ 的长.

2 4.已知函数 f ? x ? ? ln x ? 2 x, g ( x) ? a x ? x .

?

?

(Ⅰ)若 a ?

1 ,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围.

高三数学中档题训练 18
班级 姓名
1.由于卫生的要求游泳池要经常换水(进一些干净的水同时放掉一些脏水), 游泳池的水深经常变化, 已知泰州某浴场的水深 y (米)是时间 t (0 ? t ? 24) ,(单位小时)的函数,记作 y ? f (t ) ,下表是 某日各时的水深数据 t(时) y(米) 0 2 5
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3 2 0
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6 15
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12 2 49
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15 2

18 1 51
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21 1 99
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24 2 5
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经长期观测的曲线 y ? f (t ) 可近似地看成函数 y ? A cos?t ? b

(Ⅰ)根据以上数据,求出函数 y ? A cos?t ? b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (Ⅱ)依 据规定,当水深大于 2 米时才对游泳爱好者开放,请依据(1)的结论, 判断一天内的上午 8
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00 至晚上 20

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00 之间,有多少时间可供游泳爱好者进行运动

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2.已知函数 f ( x) ? a

x

?

1 (其中 a ? 0 且 a ? 1 , a 为实数常数). ax

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值(用 a 表示); (2)若 a ? 1, 且 a t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[1 , 2] 恒成立, 求实数 m 的取值范围(用 a 表示).

3、如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.
A1 E D1 B1 C1

D F A B

C

4. 已知数列 ?an ? 是公差为 d ( d ? 0) 的等差数列,数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列,若函数

f ( x) ? x 2 ,且 a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1) ,

b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ,(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;(2)设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 S n ,对一
切 n ? N ? ,都有

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 成立,求 S n b1 2b2 nbn

高三数学中档题训练 19
班级 姓名
1、如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等的 两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0) ,ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参观线路, 则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明 A x D B y C E

2. 已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1) ,PB=3,DC=1,PB=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△PAD 沿

AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2) 。 (1)证明:平面 PAD⊥PCD; (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC
把几何体分成的两部分 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ; (3)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM 是否平行面 PCD.

3、已知数列 {an } , {bn } 中, a1 ? t (t ? 0且t ? 1), a2 ? t 2 ,且 x ?

t 是函数

1 f ( x) ? (a n ?1 ? a n ) x 3 ? (a n ? a n ?1 ) x 的一个极值点.(1)求数列 {an } 的通项公式; 3 (2) 若点 Pn 的坐标为(1, bn ) ( n ? N * ) ,过函数 g ( x) ? ln( 1 ? x 2 ) 图像上的点 (an , g (an )) 的切线
? 1 1 1 1 始终与 OP ,求证:当 ? t ? 2, 且t ? 1 时,不等式 ? ? ... ? ? 2n ? 2 2 对 n 平行(O 为原点) 2 b1 b2 bn n

任意 n ? N * 都成立.

t (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线 PM 、 PN ,切点 x 分别为 M 、 N . (1)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式;
4、已知函数 f ( x ) ? x ? (2)是否存在 t ,使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (3) 在(1)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [ 2 , n ?

64 ] 内总存在 m ? 1 个实数 a1 , a2 ,?, am ,am?1 , n

使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的最大值.

高三数学中档题训练 20
班级 姓名 1.已知正方形的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 24x ? a ? 0 ,A、B、C、D 按逆时针方向排列,
正方形一边 CD 所在直线的方向向量为(3,1). (1)求正方形对角线 AC 与 BD 所在直线的方程; (2)若顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线 E 经过正方 形在 x 轴上方的两个顶点 A、B,求抛物线 E 的方程.

2. 已知数列 {an } ,其前 n 项和 Sn 满足 S n?1 ? 2?S n ? 1(? 是大于 0 的常数) ,且 a1=1,a3=4.(1)求 ? 的 值; (2)求数列 {an } 的通项公式 an; (3)设数列 {nan } 的前 n 项和为 Tn,试比较

Tn 与 Sn 的大小. 2

3.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x) ? x ,且当 x ?(1, 3)时,有 f ( x ) ?

1 ( x ? 2) 2 成立。 (1)证明: f (2) ? 2 ; 8
m x , x ? [0,??) ,若 g ( x) 2

(2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式;(3)设 g ( x) ? f ( x) ? 图上的点都位于直线 y ?

1 的上方,求实数 m 的取值范围。 4

4.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x 2 (ax ? 3) ,其中 a 为常数. (1)若 x=1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围; (3)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x), x ? [0,2] ,在 x=0 处取得最大值,求正数 ..a 的取值范围.

高三数学中档题训练 16
π ) ? 2 .………… 4 分 6 π π π π π 由 ? ? 2k π ≤ 2 x ? ≤ ? 2k π ,得 ? ? k π ≤ x ≤ ? k π . 2 6 2 3 6 π π ? k π ] ? k ? Z ? .………… 7 分 ∴函数 f ? x ? 的单调增区间为 [? ? k π , 3 6 π (Ⅱ)由 f ?? ? ? 3 ,得 2sin(2? ? ) ? 2 ? 3 . 6 π 1 ∴ sin(2? ? ) ? . ………………………………………… 10 分 6 2 π π π 5π ? 2k2 π ? k1 , k2 ? Z ? , ∴ 2? ? ? ? 2k1π ,或 2? ? ? 6 6 6 6 π 即 ? ? k1π 或 ? ? ? k 2 π ? k1 , k2 ? Z ? . 3 π ∵ ? ? ? 0, π ? ,∴ ? ? . …………………………………………… 14 分 3
1.解: (Ⅰ) f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 = 2sin(2 x ? 2.解: (Ⅰ)n≥2 时, f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 . n=1 时, f (1) ? S1 ? 3 ,适合上式, ∴ f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ? n ? N *? . (Ⅱ) a1 ? f ?1? ? 3 , an?1 ? 2an ?1 ? n ? N *? . 即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . ∴数列 ? an ? 1 ? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列. ………………… 10 分 ………………… 5 分 ………………… 8 分 ………………… 4 分

an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ?1 ? n ? N *? .……………… 12 分
Tn= (22 ? 23 ? 中,AB=1, ∠BAC=60° ,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° , ∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=
1 1 AB ? BC ? AC ? CD 2 2

? 2n?1 ) ? n = 2n ? 2 ? 4 ? n .

………………… 14 分 3.解: (Ⅰ)在 Rt△ABC

1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 .……………… 3 分 2 2 2 1 5 5 则 V= ? 3?2 ? 3. 3 2 3

……………… 5 分

(Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ……………… 7 分 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ……… 9 分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF.…… 10 分 (Ⅲ)证法一: 取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA. ∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. ……… 12 分 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. ……… 14 分 ∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC, ∴EC∥平面 PAB. ……… 15 分 证法二: 延长 DC、 AB, 设它们交于点 N, 连 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60° ,AC⊥CD, ∴C 为 ND 的中点. ……12 ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN.……14 ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB, N ∴EC∥平面 PAB. ……… 15 分

P

E F A B C M D

P

E F A B C D

分 分

1 4.解: (Ⅰ) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ? | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) …… 4 分 2
?(30 ? t )(40 ? t ), (0≤t ? 10), =? ?(40 ? t )(50 ? t ), (10≤t ≤20).

…………………… 8 分

(Ⅱ)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. (答)总之,第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元.

…………………… 11 分 …………………… 14 分 …………………… 15 分

高三数学中档题训练 17
1.解: (Ⅰ) x ? 100 ?

?12 ? 17 ? 17 ? 8 ? 8 ? 12 ? 100 ; 7 ?6 ? 9 ? 8 ? 4 ? 4 ? 1 ? 6 y ? 100 ? ? 100 ; 7 994 250 2 2 ? S数学 = =142 ,? S物理 = , 7 7

4分

从而 S数学 ? S物理 ,所以物理成绩更稳定。
2 2

8分

(Ⅱ)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,

?? ?b

497 ? ? 100 ? 0.5 ?100 ? 50 , ? 0.5, a 994

11 分 13 分

? 线性回归方程为 y ? 0.5x ? 50 。当 y ? 115 时, x ? 130 。

建议: 进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高。 15 分 2、解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a (1) ?

? bc cos A ? 9 4 3 4 ? tan A ? , sin A ? , cos A ? , bc ? 15 , 5 5 3 ?bc sin A ? 12

? sin B b 3 ?bc ? 15 ?b ? 3 ? cos A ? ? ,由 ? b 3 ? ? ,用余弦定理得 a ? 4 ? sin C c 5 c?5 ? ? ?c 5 12 1 ? (2 x ? y ) (2) 2S △ ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ? 5 5
?3 x ? 4 y ? 12, ? x ? 0, 由线性规划得 0 ? t ? 8 设 t ? 2x ? y , ? ? y ? 0, ?


12 ? x? y?z ?4 5

3.解: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,则: a 2 b2

?a ? 2 2 ? x2 y 2 ? 2 ?a ? 2 2 ? ? 1。 4 分 ,从而: ? ,故 b ? 2 ,所以椭圆的标准方程为 ?a 8 4 ? ?c ? 2 ? ?4 ?c
(Ⅱ)设 M (?4, m) ,则圆 K 方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ?
2

? ?

m ? m2 ?4 ? ? 2? 4

2

6分

与圆 O : x ? y ? 8 联立消去 x , y 得 PQ 的方程为 4 x ? my ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2

过定点 E ? ?2,0 ? 。

9分

? x12 ? 2 y12 ? 8 ? (Ⅲ)解法一:设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,则 ? 2 ,………① 2 ? ? x2 ? 2 y2 ? 8

? x ? ?8 ? 3x2 EG ? 3HE ,?? x1 ? 2, y1 ? ? 3? ?2 ? x2 , ? y2 ? ,即: ? 1 ? y1 ? ?3 y2

8 ? x2 ? ? ? ? 3 代入①解得: ? (舍去正值) , ?y ? ? 2 2 ? 3 ?

12 分

? kPQ ? 1 ,所以 PQ : x ? y ? 2 ? 0 ,
从而圆心 O ? 0,0? 到直线 PQ 的距离 d ?

1 ? 2, 2
15 分

从而 PQ ? 2 R 2 ? d 2 ? 6 。

解法二:过点 G , H 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 G?, H ? ,设 PQ 的倾斜角为 ? ,则:

GE 2 EH 2 ,从而 GG? ? 2GE, HH ? ? 2HE , ?e? , ?e? GG? 2 HH ? 2
由 EG ? 3HE 得: EG ? 3HE ,? cos ? ?

11 分

? GG? ? HH ? 2 ,故 ? ? , ? 4 GE ? EH 2
15 分

由此直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,以下同解法一。

x2 y 2 ? ?1 联 立 成 方 程 组 消 去 x 得 : 解 法 三 : 将 PQ : 4 x ? my ? 8 ? 0 与 椭 圆 方 程 8 4

?m

2

? 32 ? y 2 ? 16my ? 64 ? 0 ,设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

16m 64 , y1 y2 ? ? 2 11 分 2 m ? 32 m ? 32

FG ? 3HF ,?? x1 ? 2, y1 ? ? 3? ?2 ? x2 , ? y2 ? ,所以 y1 ? ?3 y2 代入韦达定理得:
y2 ? ? 8m 64 2 ,3 y2 ? 2 , m ? 32 m ? 32
2

2 消去 y2 得: m ? 16 ,? m ? ?4 ,由图得: m ? 4 ,

13 分

所以 PQ : x ? y ? 2 ? 0 ,以下同解法一。

15 分

1 2 1 x ? x ,其定义域是 (0, ??) 2 2 1 1 (2 x ? 1)( x ? 2) F '( x) ? ? 2 ? x ? ? ? x 2 2x 1 令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 2 , x ? ? (舍去) 。 2
4.解: (Ⅰ) F ( x) ? ln x ? 2 x ? 当 0 ? x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增;

3分

当 x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; 即函数 F ( x ) 的单调区间为 (0, 2) , (2, ??) 。 (Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F '( x) ? ? 6分 8分 10 分

(2 x ? 1)(ax ? 1) , 2x

当 a ? 0 时, F '( x) ? 0 , F ( x ) 单调递增, F ( x) ? 0 不可能恒成立, 当 a ? 0 时,令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

1 1 , x ? ? (舍去) 。 a 2

1 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增; a
13 分

1 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; a 1 1 故 F ( x ) 在 (0, ??) 上的最大值是 F ( ) ,依题意 F ( ) ? 0 恒成立, a a 1 1 即 ln ? ? 1 ? 0 , a a 1 1 又 g (a ) ? ln ? ? 1 单调递减,且 g (1) ? 0 , a a 1 1 故 ln ? ? 1 ? 0 成立的充要条件是 a ? 1 , a a
所以 a 的取值范围是 [1, ??) 。

16 分

高三数学中档题训练 18
1.解
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(1)由表中数据,知 T ? 12 , ? ? 由 t ? 3, y ? 2 ,得 b ? 2
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2? ? ? T 6

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由 t ? 0, y ? 2.5 得 A ? b ? 2.5

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所以, A ? 0.5, b ? 2

1 ? 1 ,∴y= cos t ? 2 ………………….8 分 2 2 6 1 ? ? (2)由题意知,当 y ? 2 时,才可对冲浪者开放 ∴ cos t ? 2 >2, cos t >0 6 2 6 ? ? ? ∴– 2k? ? ? t ? 2k? ? , 2 6 2 即有 ? 12 k? ? 3 ? t ? 12 k? ? 3 ,
振幅 A=
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由 0 ? t ? 24 ,故可令 k ? 0,1,2 ,得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24 ∴在规定时间内有 6 个小时可供游泳爱好者运动即上午 9
x 当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? a ?
x 由条件可知, a ?
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……1.4 分 00 ……….15 分 2、 【解】 (1)
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00 至下午 15

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1 ? 2 ,即 a 2 x x a

1 . …………….2 分 ax ? 2 ? a x ? 1 ? 0 解得 a x ? 1 ? 2 …………6 分
…………..8 分

∵ a ? 0,? x ? loga (1 ? 2 )
x

1,2?时, a t (a 2t ? (2)当 t ? ?
即 m(a 2t ? 1) ? ?(a 4t ? 1)

1 1 ) ? m( a t ? t ) ? 0 2t a a

……………10 分

? a ? 1, t ? ?1,2? ? a 2t ? 1 ? 0,? m ? ?(a 2t ? 1)
? t ? ?1,2?,? a 2t ? 1? a 2 ? 1, a 4 ? 1 ? ?(a 2t ? 1) ? ? 1 ? a 4 ,?1 ? a 2
2

………………13 分

?

?
…………….16 分

? 故 m 的取值范围是 ?? 1 ? a ,???
? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B

?

3、证明: (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

D1 A1 E B1

C1

(2)

B1C ? AB ? ? B1C ? BC1 ? ? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? AB BC1 ? B ?

D

C F B

?
A

B1C ? 平面ABC1D1 ? ?? BD1 ? 平面ABC1D1 ?

B1C ? BD1 ? ? EF // BD1 ? ? EF ? B1C
(3)

CF ? 平面BDD1B1 ?CF ? 平面EFB1
EF ?


C F? B F ? 2

1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2
=

1 1 ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 4.解 (1)数列 ?an ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列 3 2 f ( x) ? x 2 ,且 a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1)
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? (d ? 1) 2 ? 4d ? (2d ? 1) 2

?d ? 2

a1 ? 1

? an ? 2n ? 1 ………………….4 分

数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列

f ( x) ? x 2 ,且, b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ? q 2 ? q 2 (q ? 2) 2
q?3

b1 ? 1
(2)

bn ? 3n?1 ………………….8 分

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 b1 b2 bn c1 ? a2 b1

n ?1

c1 ? 3 , S1 ? 3 ………………….10 分

n?2

cn ? a n?1 ? a n ? 2 nbn

cn ? 2n ? 3n?1 ………………….12 分 S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ?2 ? n ? 3n?1

? 2(1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?n ? 3n?1 ) ? 1
0 1 2 n ?1 设 x ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3

3? x ?

1? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n

2 x ? n ? 3n ? (3n?1 ? 3n?2 ? ?30 )
? n ? 3n ? 3n ? 1 2

1 3 ? S n ? (n ? ) ? 3 n ? ………………….14 分 2 2 1 3 n ? 综上 S n ? ( n ? ) ? 3 ? , n ? N ………………….16 分 2 2

高三数学中档题训练 19
1、 (1)在△ADE 中,y2=x2+AE2-2x· AE· cos60° AE,① ? y2=x2+AE2-x· 又 S△ADE=

1 3 2 1 S△ABC= a = x· AE· sin60° AE=2.② ? x· 2 2 2

2 ②代入①得 y2=x2+ ( ) -2(y>0), ∴y= x ?

2 x

2

4 ? 2 (1≤x≤2).6 分 x2

(2)如果 DE 是水管 y= x ?
2

4 ? 2 ≥ 2?2 ? 2 ? 2 , x2

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= 2 . x2 4 如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x2+ 2 ,可知 x
当且仅当 x2= 函数在[1, 2 ]上递减,在[ 2 ,2]上递增, 故 f(x)
max=f(1)=f(2)=5.

∴y max= 5 ? 2 ? 3 .

即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 2.(I)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD.

又DC ? 面PCD

? 平面PAD ? 平面PCD.

(II)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1, 即( ? ) : ? 2 : 1, 解得 h ? 2 3 3 2
则 VM ? ABC ? 即 M 为 PB 的中点. (III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) , C(1,1,0) ,D(1,0,0) ,

P(0,0,1) ,M(0,1,

1 ) 2

由(I)知平面 PAD ? 平面PCD, 作AQ ? PD ,则

AQ ? 平面PDC, 则AQ 为平面PCD 的法向量。
又? ?PAD 为等腰 Rt ?

1 1 ? Q为PD 的中点 , 即Q ( ,0, ) 2 2 1 1 1 1 因为 AQ ? AM ? ( ,0, )( 0,1, ) ? ? 0, 所以 AQ不垂直 AM 2 2 2 4
所以 AM 与平面 PCD 不平行. 3、解: (1)由 f ( t ) ? 0得(an?1 ? an ) ? t (an ? an?1 )(n ? 2)
/

?

a n?1 ? a n ? t ,?{a n?1 ? a n } 是首项为 t 2 ? t ,公比为 t 的等比数列 a n ? a n?1

当 t ? 1 时, an?1 ? an ? t n?1 ? t n , ? an ? t n (t ? 1) 所以 an ? t n (t ? 1)

2an 2t n 1 1 1 (2)由 bn ? g (an ) 得: bn ? ? ,? ? (t n ? n ) 2 2n bn 2 1 ? an 1 ? t t
/

?

1 1 n 1 ? (2 ? n ) (作差证明) bn 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? [(2 ? 22 ? ... ? 2n ) ? ( ? 2 ? ... ? n )] b1 b2 bn 2 2 2 2
? 1 1 ? 2 ? (1 ? 2? n ) ? 2n ? ? 2 1 ? 2? n ? 2n ? 2 2 2 2 n
? 1 1 1 1 综上所述当 ? t ? 2 时,不等式 ? (1)设 ? ... ? ? 2n ? 2 2 对任意 n ? N * 都成立. 4.解: 2 b1 b2 bn n

n

M 、 N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t , x2

? 切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , x1 x1

又? 切线 PM 过点 P(1,0) , ? 有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 ,
2

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , x1 x1

………………………………………………(1)
2

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 .…………(2)
2 由(1) 、 (2) ,可得 x1 , x 2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根,

? x1 ? x 2 ? ?2t , ?? ? x1 ? x 2 ? ?t .

………………( * )

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t 2 t t ) ] ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? x1 x2 x1 x2 t 2 ) ], x1 x2

? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?
把( * )式代入,得 MN ?

20t 2 ? 20t ,

因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

20t 2 ? 20t (t ? 0) .
x1 ?

………………6 分

(2)当点 M 、 N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,?

t t ? 1 x2 ? ?1 x1 x2 = , x1 ? 0 x2 ? 0



x1 ? t ? x1 x1
2

2



x2 ? t ? x2 x2
2

2

,化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 , 把(*)式代入(3) ,解得 t ?

? x1 ? x2 ,? t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 .…(3)

1 . 2

? 存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?
(3)易知 g (t ) 在区间 [2 , n ?

1 . 2

…………10 分

64 ] 上为增函数, n

? g (2) ? g (ai ) ? g (n ?

64 ) (i ? 1,2,?, m ? 1) , n

则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? m ? g (n ? 依题意,不等式 m ? g (2) ? g ( n ?

64 ). n

64 ) 对一切的正整数 n 恒成立, n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

即m ?

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )] 对一切的正整数 n 恒成立, . 6 n n

?n ?

1 64 64 1 2 136 64 ? 16 , ? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? [16 ? 16] ? , n 6 n n 6 3 136 . 3

?m ?

由于 m 为正整数,? m ? 6 .

又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a2 ? ? ? am ? 2 , am?1 ? 16 ,对所有的 n 满足条件. 因此, m 的最大值为 6 . ……………………………16 分

高三数学中档题训练 20
1. (1) 由(x-12) +y =144-a(a<144), 可知圆心 M 的坐标为(12,0), π 1 依题意,∠ABM=∠BAM= ,kAB= , 设 MA、MB 的斜率 k. 4 3 则 AB ? (1, ), MA ? (1, k ) 且 cos AB, MA ? 解得 k AC =2, k BD =- 1 . 2
2 2

1 3

2 , 2

∴所求 BD 方程为 x+2y-12=0,AC 方程为 2x-y-24=0. 1 (2) 设 MB、MA 的倾斜角分别为θ 1,θ 2,则 tanθ 1=2,tanθ 2=- , 2 设圆半径为 r,则 A(12+
2

5 2 5 2 5 5 ,B(12- , r, r) r, r) 5 5 5 5

再设抛物线方程为 y =2px (p>0),由于 A,B 两点在抛物线上,

5 2 5 ? ?( 5 r ) =2p(12- 5 r ) ∴? 2 5 5 ( r ) =2p(12+ r) ? ? 5 5
2 2 2

∴ r=4 5 ,p=2.

得抛物线方程为 y =4x。2. (I)解:由 S n?1 ? 2?S n ? 1 得

S 2 ? 2?S1 ? 1 ? 2?a1 ? 1 ? 2? ? 1, S3 ? 2?S 2 ? 1 ? 4?2 ? 2? ? 1 , ? a3 ? S3 ? S 2 ? 4?2 ,? a3 ? 4, ? ? 0,?? ? 1.
(II)由 S n?1 ? 2S n ? 1整理得S n?1 ? 1 ? 2(S n ? 1) , ∴数列{ S n ? 1 }是以 S1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,

? S n ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ,? S n ? 2 n ? 1, ? an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 (n ? 2),
? 当 n=1 时 a1=1 满足 an ? 2 n?1 ,? an ? 2 n?1.
(III) Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2 n?1 , ①

2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 2) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? n ? 2n , 则 Tn ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 .

?

Tn n ? 2n ? 2n ? 1 3 ? Sn ? ? (2 n ? 1) ? (n ? 3) ? 2 n?1 ? . 2 2 2

? 当 n=1 时,

T1 T 1 1 ? S1 ? ? ? 0,当n ? 2时, 2 ? S 2 ? ? ? 0. 2 2 2 2 Tn T ? S n ? 0, n ? S n . 2 2

即当 n=1 或 2 时,

当 n>2 时,

Tn T ? S n ? 0, n ? S n . 3. 解: (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立 2 2
1 (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8

又∵取 x=2 时, f (2) ? 4a ? 2b ? c ? ∴ f (2) ? 2 .

(2)∵ ?

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴ b ?

1 , 2

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立.
2 ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1) ? 4a (1 ? 4a ) ? 0 ,

1 2

1 1 1 ,b ? ,c ? , 8 2 2 1 2 1 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? . 8 2 2
解出: a ? (3)由分析条件知道,只要 f ( x) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ? 线的斜率

m 1 x ? 上方即可,也就是直 2 4

m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: 2

? y? ? ? ? ?y ? ? ?

1 2 1 1 x ? x? 8 2 2 m 1 x? 2 4
2 ). 2

∴ m ? (??,1 ?

解法 2: g ( x) ?

1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 必须恒成立, 8 2 2 2 4

即 x 2 ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立. ①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2 ; ? m ? 1? 2 2

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?
总之, m ? (??,1 ?

解出: m ? 1 ?

2 . 2

2 ). 2

4. 解: (I) f ( x) ? ax3 ? 3x 2 , f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3x(ax ? 2).

? x ? 1是f ( x) 的一个极值点,? f ?(1) ? 0,? a ? 2 ;
(II)①当 a=0 时, f ( x) ? ?3x 2 在区间(-1,0)上是增函数,? a ? 0 符合题意; ②当 a ? 0时, f ?( x) ? 3ax ( x ?

2 2 ), 令f ?( x) ? 0得 : x1 ? 0, x 2 ? ; a a

当 a>0 时,对任意 x ? (?1,0), f ?( x) ? 0,? a ? 0 符合题意; 当 a<0 时,当 x ? ( ,0)时f ?( x) ? 0,? 综上所述, a ? ?2. (III) a ? 0, g ( x) ? ax3 ? (3a ? 3) x 2 ? 6x, x ? [0,2].

2 a

2 ? ?1,? ?2 ? a ? 0 符合题意; a

g ?( x) ? 3ax2 ? 2(3a ? 3) x ? 6 ? 3[ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2],
令 g ?( x) ? 0,即ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? 0(*),显然有? ? 4a 2 ? 4 ? 0. 设方程(*)的两个根为 x1 , x2 ,由(*)式得 x1 x 2 ? ?

2 ? 0 ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 . a

当 0 ? x2 ? 2 时, g ( x2 ) 为极小值,所以 g ( x) 在[0,2]上的最大值只能为 g (0) 或 g (2) ; 当 x2 ? 2 时,由于 g ( x) 在[0,2]上是单调递减函数,所以最大值为 g (0) ,所以在[0,2]上的最大 值只能为 g (0) 或 g (2) , 又已知 g ( x) 在 x=0 处取得最大值,所以 g (0) ? g (2), 即 0 ? 20 a ? 24, 解得 a ?

6 6 , 又因为 a ? 0, 所以 a ? (0, ]. 5 5


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