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江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

2019 届第一学期期中考试 2018.11 高三理科数学试题 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置 上) 1.设集合 A ? { x x ? 2? , B ? { y y ? 1 ? x } ,则 A ? B ? 2 ▲ . 2.已知向量 a ? ? x,1? , b ? ?1, ?2 ? ,若 a ? b ,则实数 x 的值为 3.设 x ?R,则 x3 ? 8 是 x ? 2 的 ▲ ▲ . 条件(填“充分不必要”, “必要不充分”, “充 要”,“既不充分也不必要”). 4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a3 ? a10 ? 8 ,则 S9 ? ▲ . 5 .已知 f ? ? x ? 是函数 f ? x? ? sin x ? cos x的导函数,实数 ? 满足 f ? ?? ? ? 3 f ?? ? ,则 tan 2? 的值为 ▲ . ▲ . 6.已知 a ? (1, ? ) ,b ? (2,1) ,若向量 2a ? b 与 c ? (8,6) 共线,则实数 ? 的值为 7.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)( px ? q) 为偶函数,且在 (0, ??) 单 y 调递减,则 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ▲ . F E D C B ? ,EF ? 是圆 x ? y ? 1 ? , 8. 在平面直角坐标系中,? CD GH AB , 2 2 G H O A x 上的四段弧(如图),点 P 在其中一段弧上,角 ? 以 Ox 为 始边, OP 为终边.若 tan ? ? cos? ? sin? ,则 P 所在的 圆弧是 ▲ . 9. 函数 y ? log a ? x ? 3? ?1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则 1 1 ? 的最小值为 m n ? x2 ? 4 x ? 5, x ? ? ? e x ? 1, x ? ? 1 ▲ . 10.已知 ? ? R,函数 f ? x ? ? ? ,若函数 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 ? 的 取值范围是 ▲ . 11.在等腰梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? 2 , AD ? 1 , ?DAB ? 60? ,若 BC ? 3CE , AF ? ? AB ,且 AE ? DF ? ?1 ,则实数 ? 的值为 ▲ . 12.已知不等边 ?ABC (三条边都不相等的三角形)的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ?b cos B ? c cos C ? ? 13 .已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 1 2 2 b ? c ,则 ? A 的弧度数为 2 ? ? ▲ . ex ,若存在实数 a ,使得对任意实数 x 都有 ex ? e ▲ . f ? x? ? a ? k成立,则实数 k 的最小值为 2 2 14.若正实数 x 、 y 满足 x2 ? xy ? y 2 ? 9 ,且 x ? y ? 9 ,则 xy 的取值范围为 ▲ . 二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本题满分 14 分) ?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 sin A ? 3 cos ? B ? C ? ? 3 , 8 sin B ? sin C ? sin A , a ? 7 . 7 ⑴ 求角 A 的值; ⑵ 求 ?ABC 的面积. 16.(本题满分 14 分) 已知 O 为坐标原点, OA ? ? cos x,1? , OB ? 2cos x, 3 sin 2 x , x ? R , 若 f ? x ? ? OA ? OB . 2 ? ? ⑴ 求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; ⑵ 将函数 y ? f ? x ? 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到 的图象向左平移 ? 4 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? g ? x ? 的 图 象 , 求 函 数 y ? g? x ?在 ? ? 5? ? ? ? 12 , 12 ? 上的最小值. ? ? 17.(本题满分 14 分) 常州地铁项目正在紧张建设中,通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后, 地铁的发车时间间隔 t (单位:分钟)满足 2 ? t ? 20 , t ? N .经测算,地铁载客量 与发车时间间隔 t 相关,当 10 ? t ? 20 时地铁为满载状态,载客量为 1200 人,当 2 ? t ? 10 时,载客量会减少,减少的人数与 (10 ? t ) 的平方成正比,且发车时间间隔为 2 分钟时的载客量为 560 人,记地铁载客量为 p(t ) . ⑴ 求 p(t ) 的表达式,并求当发车时间间隔为 6 分钟时,地铁的载客量; ⑵ 若该线路每分钟的净收益为 Q ? 6 p(t ) ? 3360 ? 360 (元),问当发车时间间隔为多 t 少时,该线路每分钟的净收益最大? 18.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a 2 ln x . ⑴ 讨论 f ( x ) 的单调性; ⑵ 若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 19.(本题满分 16 分) 3 设函数 f ? x ? ? ? x ? t ? ? m? x ? t ? ,其中 t , m ? R . 3 ⑴ 若 t ? 1 , m ? 0 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, f ? 0? ? 处的切线方程; ⑵ 若 m ? 9 ,求 f ? x ?

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