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高中数学 第一章 斐波那契数列拓展资料素材 北师大版必修5


斐波那契数列
每一对兔子过了出生第一个月之后, 每个月生一对小兔子。 现把一对初生小兔子放在屋 内,问一年后屋内有多少对兔子? 先不在这里考虑兔子能否长大, 或是某些月份没有生小兔子一类的问题, 完全只由数学 角度去考虑这问题,意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目,其内容大约是这样 的: 在第一个月时,只有一对小兔子,过了一个月,那对兔子成熟了,在第三个月时便生下 一对小兔子,这时有两对兔子。再过多一个月,成熟的兔子再生一对小兔子,而另一对小兔 子长大,有三对小兔子。如此推算下去,我们便发现一个规律: 时间(月) 1 2 3 4 5 6 初生兔子(对) 1 0 1 1 2 3 成熟兔子(对) 0 1 1 2 3 5 兔子总数(对) 1 1 2 3 5 8

不难发现, 每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数, 而初生兔子的数目是上个月成熟兔 子的数目, 也即是两个月前的兔子总数, 因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的 的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...,由此可知一年后有 377 对兔子。 若把上述数列继续写下去, 得到的数列便称为斐波那契数列, 数列中每个数便是前两个数之 和,而数列的最初两个数都是 1。若果设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成立这个关系式:当 n 大于 1,Fn+2=Fn+1+ Fn,而 F0=F1=1。下面是一个古怪的式子:

…(1) Fn 看似是无理数,但当 n 是非负整数时,Fn 都是整数,而且组成斐波那契数列,因为 F0=F1=1,并且 Fn+2=Fn+1+ Fn,这可用数学归纳法来证明。

利用斐波那契数列解决兔子数目的问题似乎没有甚么用途, 因为不能保证兔子真的每月只生 一对小兔子一类的问题,但事实上这个数列的应用十分广泛。例如一个走梯级的问题,若某 人走上一段梯级,他每一步可以走上一级,或是跳过一级而走到第二级,若他要走上六级, 有多少个不同走法?我们可以考虑,若果设 Fn 是走 n 级梯级的走法的数目,若他在第 n 级,他可以走到第 n-1 级,或是跳过第 n-1 级,走到第 n-2 级,他在第 n-1 级有 Fn-1 个走法,而在第 n-2 级有 Fn-2 个走法,因此在第 n 级时的走法是 Fn-2+Fn-1 个走法,即 Fn=Fn-2+Fn-1, 而他在第二级和第三级的走法分别有 1 个和 2 个, 因此可知走法的数目与 斐波那契数列有关。 我们还可以利用斐波那契数列来做出一个新的数列,方法是把数列中相邻的数字相除, 以组成新的数列如下:

从(1)中可知当 n 无限增大时,数列的极限是

这个数值称为黄金分割,它正好是方程 x +x-1=0 的一个根。

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