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配套K12高中数学第一章基本初等函数II1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角预习导

小学+初中+高中+努力=大学

1.3.3 已知三角函数值求角
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课程目标

学习脉络

1.理解符号 arcsin x,arccos x,arctan x 的意义.
2.根据[0,2π ]范围确定已知三角函数值 的角.
3.已知一个三角函数值,合理地表示出 与它对应的角.

1.已知正弦值,求角

对于正弦函数

y=sin

x,如果已知函数值

y(y∈[-1,1]),那么在

????

? 2

,? 2

? ??

上有唯一



x

值和它对应,记作

x=arcsin_y

? ??

?1

?

y

? 1, ? ? 2

?

x

?

? 2

? ??



注意:(1)arcsin

y

的含义:表示

????

? 2

,

? 2

? ??

上正弦等于

y

的那个角,即

sin(arcsin

y)

=y(-1≤y≤1).

(2)当

0<y≤1

时,arcsin

y∈

? ??

0,

? 2

? ??



当 y=0 时,arcsin y=0;

当-1≤y<0 时,arcsin

y∈

????

? 2

,

0

? ??



(3)arcsin(-y)=-arcsin y.

2.已知余弦值,求角

对于余弦函数 y=cos x,如果已知函数值 y(y∈[-1,1]),那么在[0,π ]上有唯一的 x 值

和它对应,记作 x=arccos_y(-1≤y≤1,0≤x≤π ).

注意:(1)符号 arccos y 的含义:①arccos y 表示一个角;②-1≤y≤1,且 0≤arccos

y≤π .③cos(arccos y)=y.

(2)当

0<y≤1

时,arccos

y∈

???0,

? 2

? ??

;当

y=0

时,arccos

y= ? 2

;当-1≤y<0

时,

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arccos

y∈

? ??

? 2

,

?

? ??



(3)arccos(-y)=π -arccos y.如 cos x= 2 ,则 x=arccos 2 ,若 cos x=- 2 ,

3

3

3



x=arccos

? ??

?

2 3

? ??

=π

-arccos

2 3

,则 x=arccos

y 表示[0,π

]内的一个角.

3.已知正切值,求角

如果正切函数

y=tan

x(y∈R),且

x∈

? ??

?

? 2

,

? 2

? ??

,那么对每一个正切值

y,在开区间

? ??

?

? 2

,

? 2

? ??

内有且只有一个角

x,使

tan

x=y,记作

x=arctan_y

? ??

y

?

R,

?

? 2

?

x?

? 2

? ??



注意:(1)arctan y 的含义:①arctan y 表示一个角;②y∈R,且- ? <arctan y< ? ;

2

2

③tan(arctan y)=y.

(2)当 y<0 时,arctan

y∈

? ??

?

? 2

,

0

? ??



当 y=0 时,arctan y=0;

当 y>0 时,arctan

y∈

? ??

0,

? 2

? ??



(3)arctan(-y)=-arctan y.

4.已知三角函数值求角的基本类型

剖析:

a的 范围

sinx=a

x

?

????

? 2

,

? 2

? ??

x∈[0,2π ]

cosx=a

x∈[0, x∈[0,2

π]

π]

a的 范围

a=1 x= ? 2

x= ? 2

x=0

x=0 或 x =2π ]

x=

x = arcsin a

arccos a

x=

a>0

x = arcsin 或



0<a<1

arccos

a

x=π -

x = 2π

a

arcsin a



arccos a

Tanx=a

x

?

? ??

?

? 2

,

? 2

? ??

x∈[0,2 π]

x= arctan 或 x =arctan a x= π +arcta na

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a=0 x=0

x=0 或 x=π x= ? 2

x= ? 或 2
a =0 x=0
3?
2

x=0 或 x =π

x=

x=π -

arccos a

x=



x = arcsin arcsin 或



arccos

1<a<0 a

x = 2π +

x = 2π

a

a <0

arcsin a



x= π +arcta 或 x =arctan a x=

arccos a

2π +arct

a=- x=- ?

x= 3?

x=π x=π

an a

1

2

2

自主思考 已知角 x 的一个三角函数值求角 x 的步骤有哪些?

提示:已知角 x 的一个三角函数值求角 x,所得的角不一定只有一个,角的个数要根据

角的取值范围来确定,这个范围应该在题目中给定.如果在这个范围内已知三角函数值对应

的角不止一个,可分为以下几步求解:

第一步,确定角 x 可能是第几象限角.

第二步,如果函数值为正数,则先求出对应的锐角 x1;如果函数值为负数,则先求出与 其绝对值对应的锐角 x1.
第三步,如果函数值为负数,则根据角 x 可能是第几象限角得出(0,2π )内对应的角——

如果它是第二象限角,那么可表示为-x1+π ;如果它是第三或第四象限角,那么可表示为 x1+π 或-x1+2π .

第四步,如果要求出(0,2π )以外对应的角,则可利用终边相同的角有相同的三角函数

这一规律写出结果.

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