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【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习增分练:高考小题分项练3.doc


高考小题分项练 3

函数的图象与性质

1.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 x≥0 时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b 为常数),若 f(2) =-1,则 f(-6)的值为________. 答案 4 解析 由定义在 R 上的奇函数 f(x), 得 f(0)=0=1+b,b=-1, f(2)=2+2(a-1)-1=-1,a=0, f(x)=log2(x+2)-x-1(x≥0), f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4.
?3x-b,x<1, ? 5 2.设函数 f(x)=? x 若 f(f( ))=4,则 b=________. 6 ?2 ,x≥1. ?

答案

1 2

5 5 解析 f( )= -b, 6 2 5 3 5 5 5 15 7 ①当 -b<1,即 b> 时,f(f( ))=f( -b)=3× ( -b)-b= -4b=4,∴b= (舍). 2 2 6 2 2 2 8 5 3 ②当 -b≥1,即 b≤ 时, 2 2 5 5 5 f(f( ))=f( -b)=2 -b=4, 6 2 2 5 1 ∴ -b=2,∴b= . 2 2 3.已知函数 f(x)=ln(2x+ 4x2+1)- 答案 -3 -2 -2 解析 因为 f(a)+f(-a)= a + -a =-2, 2 +1 2 +1 所以 f(-a)=-2-f(a)=-2-1=-3. 4.若函数 f(x)=1+ 答案 4 2x 1 2x+1-1 2 解析 f(x)=1+ x +sin x=1+2( x )+sin x=3- x +sin x, 2 +1 2 +1 2 +1


2 ,若 f(a)=1,则 f(-a)=______. 2 +1
x

2x 1 +sin x 在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则 m+n=______. 2x+1


m+n=f(-k)+f(k)

1 1 =6-2( -k + k )+sin(-k)+sin k=6-2=4. 2 +1 2 +1 1 m 5.若函数 f(x)=ex+x3- x-1 的图象上有且只有两点 P1,P2,使得函数 g(x)=x3+ 的图象 2 x 上存在两点 Q1,Q2,且 P1 与 Q1、P2 与 Q2 分别关于坐标原点对称,则实数 m 的取值集合是 ________. e-2 答案 { } 2e 1 解析 由题意得 g(x)=f(x)有且只有两个交点,即 y=m 与 y=xex- x2-x(x≠0)有两零点, 2 1 - 因为 y′=(x+1)ex-x-1=0? x=-1,或 x=0,由图可知 m=-e 1+ 时满足条件. 2

? ?f(x),x>1, m 6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=2x+ x,设 g(x)=? 若函数 y=g(x) 2 ? ?f(-x),x≤1,

-t 有且只有一个零点,则实数 t 的取值范围是____________. 3 3 答案 [- , ] 2 2 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以-f(x)=f(-x),则有 m=-1, 1 所以 f(x)=2x- x,可以作出图象(如图 1),再由图象变换可以得到图 2. 2

?f(x)∈(2,+∞),x>1, g(x)=? ,x≤1, 3 ?f(-x)∈[-2,+∞
3 3 结合可以得到 t∈[- , ]. 2 2

3

)

“函数 y=g(x)-t 有且只有一个零点”等价于“函数 y1=g(x)与函数 y2=t 只有一个交点”, 数形

7.奇函数 f(x)、偶函数 g(x)的图象分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0、g(f(x))=0 的实根 个数分别为 a、b,则 a+b=________.

答案 10 解析 由图可知,图 1 为 f(x)的图象,图 2 为 g(x)的图象,m∈(-2,-1),n∈(1,2),∴方 程 f(g(x))=0?g(x)=-1 或 g(x)=0 或 g(x)=1?x=-1,x=1,x=m,x=0,x=n,x=-2, x=2,∴方程 f(g(x))=0 有 7 个根,即 a=7;而方程 g(f(x))=0?f(x)=m 或 f(x)=0 或 f(x)= n?f(x)=0?x=-1,x=0,x=1, ∴方程 g(f(x))=0 有 3 个根,即 b=3.∴a+b=10.
?lg x, x>0, ? 8.当函数 f(x)=? x 有且只有一个零点时,a 的取值范围是________. ? ?-2 +a, x≤0

答案 a≤0 或 a>1 解析 ∵f(1)=lg 1=0,∴当 x≤0 时,函数 f(x)没有零点,故-2x+a>0 或-2x+a<0 在(-∞, 0]上恒成立,即 a>2x,或 a<2x 在(-∞,0]上恒成立,故 a>1 或 a≤0. 9.函数 y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上, 2 1 其中 m>0,n>0,则 + 的最小值为________. m n 答案 9 2

解析 由题意,得点 A(-2,-1), 故-2m-n+2=0,即 2m+n=2, 2 1 2m+n 2m+n n m 1 1 9 2 ∴ + = + = + +2+ ≥4+ = ,当且仅当 m=n= 时,等号成立. m n m 2n m n 2 2 2 3 10.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1)+ f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x3+sin x+1 的某一 个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 f(-2 015)+f(-2 014)+f(-2 013)+…+ f(2 014)+f(2 015)=________. 答案 4 031 解析 ∵f(x)=x3+sin x+1,∴f′(x)=3x2+cos x, f″(x)=6x-sin x,又∵f″(0)=0, 而 f(x)+f(-x)=x3+sin x+1-x3-sin x+1=2, 函数 f(x)=x3+sin x+1 图象的对称中心的坐标为(0,1), 即 x1+x2=0 时,总有 f(x1)+f(x2)=2, ∴f(-2 015)+f(-2 014)+f(-2 013)+…+f(2 014)+f(2 015)=2× 2 015+f(0)=4 030+1=4

031. 2 ? ?x+x-2, x≥1, 11 .已知函数 f(x) = ? 则 f(f( - 2)) = ________ ; f(x) 的最小值为 2 ? ?log3(x +1), x<1, ________. 答案 1 0

解析 f(f(- 2))=f(log33)=f(1)=1+2-2=1. 2 当 x≥1 时,f(x)=x+ -2≥2 2-2; x 当 x<1 时,f(x)=log3(x2+1)≥0. 故 f(x)的最小值为 f(0)=0. 12.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立 方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比; 药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 1 - y=( )t a(a 为常数),如图所示.据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下 16 时,学生方可进教室.则从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教 室.

答案 0.6 1 - 解析 当 t=0.1 时,可得 1=( )0.1 a, 16 1 ∴0.1-a=0,a=0.1,由题意可得 y≤0.25= , 4 1 - 1 1 即( )t 0.1≤ ,即 t-0.1≥ , 16 4 2 解得 t≥0.6,∴至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. 13.已知函数 f(x)的定义域为 R,直线 x=1 和 x=2 是曲线 y=f(x)的对称轴,且 f(0)=1,则 f(4)+f(10)=________. 答案 2 解析 ∵直线 x=1 和 x=2 是曲线 y=f(x)的对称轴, ∴f(2-x)=f(x),f(4-x)=f(x), ∴f(2-x)=f(4-x),∴y=f(x)的周期 T=2,

∴f(4)+f(10)=f(0)+f(0)=2. 1 14.给定方程:( )x+sin x-1=0,则下列命题中: 2 ①该方程没有小于 0 的实数解; ②该方程有无数个实数解; ③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解; ④若 x0 是该方程的实数解,则 x0>-1. 正确的命题是________. 答案 ②③④ 1 1 解析 对于①,若 α 是方程( )x+sin x-1=0 的一个解,则满足( )α=1-sin α,当 α 为第三、 2 2 1 四象限角时,( )α>1,此时 α<0,因此该方程存在小于 0 的实数解,故①不正确; 2 1 对于②,原方程等价于( )x-1=-sin x, 2 1 当 x≥0 时,-1<( )x-1≤0,而函数 y=-sin x 的最小值为-1,且有无穷多个 x 满足-sin x 2 =-1, 1 1 因此函数 y=( )x-1 与 y=-sin x 的图象在[0,+∞)上有无穷多个交点,因此方程( )x+sin x 2 2 -1=0 有无数个实数解,故②正确; 1 对于③,当 x<0 时,由于 x≤-1 时,( )x-1≥1, 2 1 函数 y=( )x-1 与 y=-sin x 的图象不可能有交点, 2 1 当-1<x<0 时,存在唯一的 x 满足( )x=1-sin x, 2 因此该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解,故③正确; 1 对于④,由上面的分析知,当 x≤-1 时,( )x-1≥1,而-sin x≤1 且 x=-1 不是方程的解, 2 1 因此函数 y=( )x-1 与 y=-sin x 的图象在(-∞,-1]上不可能有交点, 2 因此只要 x0 是该方程的实数解,则 x0>-1,故④正确. 故答案为②③④.


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