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1.2.2充分条件与必要条件的应用


充分条件与必要条件二

复习
1、 定义1:如果已知p 定义2:如果已知q 定义3:如果既有p

q,则说p是q的充分条件。 p,则说p是q的必要条件。 q,又有q p,就记作 p q,

则说p是q的充要条件。 2、从集合角度理解:

小充分、大必要 2、充分条件、必要条件的四种形式:
1) A B且B A,则A是B的
充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件

2)若A B且B A,则A是B的 3)若A B 且B A,则A是B的 4)A B且B A,则A是B的

充分且必要条件

判断充分性、必要性的通俗方法: (1)划分句子主谓宾,确定条件与结论;

(2)条件 结论

? 结论, ?条件,

叫充分条件 叫必要条件

(3)小范围推出大范围,大范围不能推出 小范围; (4)比较难判断的用它的逆否命题进行等价 判断。

练习3、
1、已知p,q都是r的必要条件, s是r的充分条件,q是s的充分条件,则 充要条件 (1)s是q的什么条件? 充要条件 (2)r是q的什么条件? q 必要不充分条件 (3)P是q的什么条件?
p

r
s

变.若A是B的必要而不充分条件,C是B的充 要条件,D是C的充分而不必要条件, 充分不必要条件 注、定义法(图形分析) 那么D是A的________

2.(1)若?p ? ?q,则p是q的什么条件?必要条件
充分条件 必要条件

(2)若?q ? ?p,则p是q的什么条件?

(3)若?p ? q,则p是?q的什么条件?

3:填写“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分 又不必要。
既不充分又不必要 条件。 1)sinA>sinB是A>B的_________ 充要条件 条件。 2)在ΔABC中,sinA>sinB是 A>B的________

4、a>b成立的充分不必要的条件是( D) A. ac>bc B. a/c>b/c C. a+c>b+c D. ac2>bc2 5、关于x的不等式:|x|+|x-1|>m的解集为R的充 要条件是( ) C

f ( x)min ? 1
1 1 m

(A)m<0 (B)m≤0 (C)m<1 (D)m≤1

练习4、
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是 “xB ∈M∩N”的( ) A.充要条件 B必要不充分条件 注、集合法 C充分不必要 D不充分不必要 2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( A ) 注、集合法 A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2

3、 1.已知p是q的必要而不充分条件, 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
注、等价法 (转化为逆否命题)

2:若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的 (A )条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要

4、
1.已知P:|2x-3|>1;q:1/(x2+x-6)>0, 则┐p是┐q的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6, 集合法与转化法 则非p是非q的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

小结:
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相推出,切不可不 加判断以单向推出代替双向推出.

2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系; ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系 3、注意几种方法的灵活使用: 定义法、集合法(小充分,大必要)、逆否命题(等价法)法
4、判断的技巧 ①向定语看齐:顺向为充(原命题真) 逆向为必(逆命题为真) ②等价性:逆否为真即为充, 否命为真即为必。

[思维拓展]

x ?1 2 已 知p : 1 ? ? 2, q : x ? 2 x ? 3 1 ? m ? 0( m ? 0), 若 p是 q的 必 要
2 ? ?

而不充分条件 ,求 实 数 m的 取 值 范 围 .

x ?1 解 : p : 1? ? 2 ? ?2 ? x ? 10 3 q : x ? 2x ? 1 ? m ? 0 ? 1 ? m ? x ? 1
2 2

? m ( m ? 0)
依 题 意: q ? p, p ? q . 故 : p ? q且q ? p.即p中 集 合 为 q中 集 合真子集 .
? ? ? ?

?m ? 0 ? ? ? ?1 ? m ? ?2 ? ? ?1 ? m ? 10 号不同时成立 ) 解 得 : m ? 9.

(1) ( 2) ( 3) ((2), ( 3)中 符

? m的 取 值 范 围 为 {m | m ? 9}.

例: 已知 p : ? x2 ? 8x ? 20 ≥ 0,q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ≤ 0(m ? 0) ,
? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

解:由 x2 ? 2x ? 1 ? m2 ≤ 0(m ? 0) , 得 1 ? m ≤ x ≤1 ? m(m ? 0) ,

∴ ? q 即 A= {x | x ? 1 ? m,或x ? 1 ? m(m ? 0)} ;

x ?1 由 |1 ? |≤ 2, 得 ?2 ≤ x ≤10 ,∴ ? p 即 B= {x | x ? ?2,或x ? 10} , 3

∵? p 是?q 的必要不充分条件,且 m>0,∴A ? B , ?

?1 ? m ≤ ?2, ? 故 ?1 ? m ≥ 10,且不等式组中的第一、 二两个不等式不能 ?m ? 0, ?

同时取等号,解得 m≥9 为所求.

?怎样利用充分条件、必要条件、 充要条件的关系求参数范围? ?(1)化简p、q两命题; ?(2)根据充分性、必要性转化 为集合间关系; ?(3)利用集合间关系建立不等 关系; ?(4)求解参数范围.

[例2] 已知p:2x2-3x-2≥0,q: x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若p是q 的充分不必要条件.求实数a的取值 范围.

? 练: 已知p:x2-x-2≤0, q:x2-3mx+2m2≤0,若p是q的必 要条件,求实数m的取值范围.
[规范解答] 由 p 是 q 的必要条件, 得 q?p, 其中 p: {x|-1≤x≤2}. 不等式 x2-3mx+2m2≤0,即(x-m)(x-2m)≤0, 当 m=0 时,解得 x=0,符合题意; 当 m>0 时,解得 m≤x≤2m,
?m≥-1, 依题意,得? 所以 0<m≤1; ?2m≤2,

当 m<0 时,解得 2m≤x≤m,
?2m≥-1, 1 依题意,得? 所以-2≤m<0. ?m≤2, ? 1 ? 综上所述,实数 m 的取值范围是?-2,1?. ? ?

?2.已知条件p:x2+x-6=0, 条件q:mx+1=0,且q是p的充 分不必要条件,求m的值.

充要条件的证明

?[例3] 求证:关于x的方程x2 +mx+1=0有两个负实根的 充要条件是m≥2. ?[分析] 本题的条件是p: m≥2,结论是q:方程x2+mx +1=0有两个负根,证明该问 题,充分性的证明是p?q,必 要性的证明是q?p.

[证明]

(1)充分性:因为 m≥2,所以 Δ=m2-4≥0,所以方程 x2+

mx+1=0 有实根,设两根为 x1,x2, 由根与系数的关系知,x1· x2=1>0,所以 x1,x2 同号. 又 x1+x2=-m≤-2<0,所以 x1,x2 同为负数. 即 x2+mx+1=0 有两个负实根的充分条件是 m≥2. (2)必要性: 因为 x2+mx+1=0 有两个负实根, 设其为 x1, x2, 且 x1x2 =1,
?Δ=m2-4≥0, ?m≥2或m≤-2, 所以? 即? x + x =- m <0 , ? 1 ?m>0, 2

所以 m≥2,即 x2+mx+1=0 有两个负实根的必要条件是 m≥2. 综上可知,m≥2 是 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件.

?充要条件的证明: ?(1)由题意先确定条件p,结论 q; ?(2)证p?q,得充分性; ?(3)证q?p,得必要性; ?(4)结论成立.

【名师点评】

有关充要条件的证明问题,要分

清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条

件,由“条件?结论”是证明命题的充分性,由
“结论?条件”是证明命题的必要性.证明要分 两个环节:一是证充分性;二是证必要性.

22

练习
1 1 1、已知x、y是非零实数,且 x ? y, 求证: ? x y 的充要条件是 xy ? 0.

注意:分清p与q. p : xy ? 0
证明:充分性 ( p ? q)

1 1 q: ? x y

?x ? 0 ?x ? 0 若xy ? 0, 则? 或? ?y ? 0 ?y ? 0

1 1 ? x ? y ?当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y
1 1 当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y

必要性(q ? p) 1 1 y?x 若 ? , 则有: ? 0,即xy( y ? x) ? 0. x y xy ? x ? y ? y ? x ? 0 ? xy ? 0.


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