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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 分钟,满分 150 分 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 i ? (1 ? i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“ 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 2 ”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必 要条件 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件. 为了解它 们的产品质量是否有显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查, 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n ? A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 4. 已知 f ( x ) 是奇函数,g ( x) 是偶函数, f (?1) ? g (1) ? 2 , f (1) ? g (?1) ? 4 , g (1) ? 且 则 A. 4 B. 3 C. 2 D.1 5.在锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a , b ,若 2a sin B ? 3b ,则角 A 等于

? ? ? B. C. 3 4 6 2 6.函数 f ( x) ? ln x 的图象与函数 g ( x) ? x ? 4x ? 4 的图象的交点个数为
A. A. 0 B. 1 C. 2

D.

? 12

D. 3

7.已知正方体的棱长为 1 ,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2 的 矩形,则该正方体的正视图的面积等于

2 ?1 D. 2 2 8.已知是单位向量, a ? b ? 0 ,若向量 c 满足 | c ? a ? b |? 1 ,则 | c | 的最大值为
A.

3 2

B. 1

C.

A. 2 ? 1

B. 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

9.已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P ,使 ?APB 的最大边是 AB ”发生的 概率为 A.

1 AD ? ,则 2 AB
B.

1 2

1 4

C.

3 2

D.

7 4

1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 10.已知集合 U ? {2,3,6,8}, A{2,3}, B ? {2,6,8} ,则 (?U A) ? B ? __________ 11.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1 : ?

? x ? 2s ? 1 ? x ? at ( s 为参数)和直线 l2 : ? (t 为 ?y ? s ? y ? 2t ? 1

参数)平行,则常数 a 的值为___________ 12.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入 a ? 1, b ? 2 ,则输出的 a 的值为___________
开始

?x ? 2 y ? 8 ? 13.若变量 x, y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ,则 x ? y 的 ?0 ? y ? 3 ?
最大值为___________

输入a,b

涟源一中 刘小红编
是 输出a

a>8? 否 a=a+b

x2 y 2 14.设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两 a b 个焦点,若在 C 上存在一点 P 使 PF ? PF2 , 且 1

结束

?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为__________ 图1 15 . 对 于 E ? { a , a2 , , a 0 0} 子 集 X ? {ai1 , ai2 ,?aik } , 定 义 X 的 “ 特 征 数 列 ” 为 ? 1 的 1
, x1 , x2 ,? , x1 0 0 其 中 xi1 ? xi2 ? ? ? xik ? 1 . 其 余 项 均 为 0 . 例 如 : 子 集 {a2 , a3} 的 “ 特 征 数 列 ” 为 0,1,1, 0, 0,?, 0 . (1) 子集 {a1 , a3 , a5} 的“特征数列”的前 3 项和等于____________ (2)若 E 的子集 P 的“特征数列” p1 , p2 ,?, p100 满足 p1 ? 1, pi ? pi ?1 ? 1,(1 ? i ? 99) ; E 的子集 Q 的“特征数列”q1 , q2 ,?, q100 满足 q1 ? 1, q j ? q j ?1 ? q j ?2 ? 1,(1 ? j ? 98) , 则

P ? Q 的元素个数为____________
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ? (1)求 f (

?
3

)

2? ) 的值 3 1 (2)求使 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合 4

2

17.(本小题满分 12 分) 如图 2,在直棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2, AA1 ? 3, D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动. (Ⅰ) 证明: AD ? C1E (Ⅱ) 当异面直线 AC, C1E 所成角为 60 时,求三棱锥 C1 ? A1B1E 的体积
?

C

涟源一中 刘小红编
D A

C1

A1 B1 图2

B

E

18.(本小题满分 12 分) 某人在如图 3 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点 以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的 年收获量 Y (单位: kg )与它“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:

4
51 48 45 42 这里两株“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

X Y

1

2

3

4

3 2 1 0 1

涟源一中 刘小红编

Y
频数

51

48

45

42

4 (Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少 为 48 kg 的概率

2

3

4

3

19.(本小题满分 13 分) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 a1 ? 0, 2an ? a1 ? S1 ? Sn , n ? N * (Ⅰ)求 a1 , a2 ,并求数列 {an } 的通项公式 (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和.

20.(本小题满分 13 分) 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对 5

称点是 圆 C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b ,当 ab 最大时,求直 线 l 的方程

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

1? x x e 1 ? x2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间 (Ⅱ)证明:当 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时, x1 ? x2 ? 0

4


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