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考点直线平面平行与垂直的判定及其性质

直线、平面平行与垂直的判定及其性质 7. (2010 南通模拟)在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,∠ABC=90° ,平面 PAB⊥平面 ABCD, 平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)若平面 PAB 请说明理由. 【解析】 (1)因为∠ABC=90° ,AD∥BC,所以 AD⊥AB. 而平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB 所以 AD⊥平面 PAB, 同理可得 AB⊥PA. 由于 AB、AD ? 平面 ABCD,且 AB (2) (方法一)不平行. 证明:假定直线 l∥平面 ABCD, 由于 l ? 平面 PCD,且平面 PCD 同理可得 l∥AB, 所以 AB∥CD. 这与 AB 和 CD 是直角梯形 ABCD 的两腰不平行相矛盾, 故假设错误,所以直线 l 与平面 ABCD 不平行. (方法二)因为梯形 ABCD 中 AD∥BC, 所以直线 AB 与直线 CD 相交,设 AB CD=T. 平面 ABCD=CD, 所以 l ∥CD. AD=A,所以 PA⊥平面 ABCD. 所以 AD⊥PA. 平面 ABCD=AB, 平面 PCD ? l ,问:直线 l 能否与平面 ABCD 平行?

P

A B

D

C (第 16 题)

由 T ? CD,CD ? 平面 PCD 得 T ? 平面 PCD. 同理 T ? 平面 PAB. 即 T 为平面 PCD 与平面 PAB 的公共点,于是 PT 为平面 PCD 与平面 PAB 的交线. 所以直线 l 与平面 ABCD 不平行. 8. ( 2010 无锡模拟)如图,在三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC, BC ? BC1 , AB ? BC1 , E , F , G 分别为线段

AC1 , A1C1 , BB1 的中点,求证:
(1)平面 ABC ? 平面

ABC1 ;

A

A1

(2) EF // 面 BCC1 B1 ;

F
(3) GF ? 平面 AB1C1 【解析】(1)

E B 1/5 C G B1 C1

BC ? AB

BC ? BC1 AB BC1 ? B

? BC ? 平面 ABC1 BC ? 平面 ABC
?平面 ABC ? 平面 ABC1
(2)

AE ? EC1 , A1F ? FC1 ,? EF // AA1 BB1 // AA1
? EF // BB1
A A1

EF ? 面BCC1B1 ? EF // 面 BCC1 B1 ;
(3)连接 EB ,则四边形 EFGB 为平行四边形

F E B C G B1 C1

EB ? AC1 ? FG ? AC1 BC ? 面ABC1 ? B1C1 ? 面ABC1 ? B1C1 ? BE ? FG ? B1C1 B1C1 AC1 ? C1
,

? GF ? 平面 AB1C1 。
9. (2010 三亚模拟)在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,OA⊥平面 ABCD,E 为 OA 的中点,F 为 BC 的中点, 求证: (1)平面 BDO⊥平面 ACO; (2)EF//平面 OCD. 【解析】证明:⑴∵ OA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 OA ? BD , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? BD ,又 OA ∴ BD ? 平面 OAC , 又∵ BD ? 平面 OBD ,∴平面 BDO ? 平面 ACO . ⑵取 OD 中点 M ,连接 EM ,CM ,则 ME‖ AD, ME ? ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AD // BC , AD ? BC ,

AC ? A ,

1 AD , 2

O

E A

M
D F
C

1 ∵ F 为 BC 的中点,∴ CF‖ AD, CF ? AD , 2
∴ ME‖ CF , ME ? CF . ∴四边形 EFCM 是平行四边形,∴ EF // CM , 又∵ EF ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD . ∴ EF‖ 平面 OCD .

B

2/5

10. (2010 青岛模拟)如图 l,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=600,E 是 BC 的中点.如图 2,将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连结 BC,BD,F 是 CD 的中点,P 是棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥BD; ’

(2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明 理由.

B A D A P D F

【解析】 (1)连接 BE ,取 连接 BM , DM . 在等腰梯形

AE 中点 M ,

B 图1

E

C

E 图2

C

ABCD 中, AD ∥ BC ,

AB=AD, ?ABC

? 60? ,E 是 BC 的中点
? BM ? AE , DM ? AE

??ABE 与 ?ADE 都是等边三角形
BM

DM ? M , BM , DM ? 平面 BDM

? AE ? 平面 BDM

BD ? 平面 BDM

?AE ? BD .

(2)连接 CM 交 EF 于点 N ,连接 PN

ME ∥ FC ,且 ME = FC P 是线段 BC 的中点 BM ? 平面 AECD

是平行四边形 ?四边形 M E C F

? N 是线段 CM 的中点

? PN ∥ BM ? PN ? 平面 A E C D .

PN ? 平面 PEF ?平面 P E F? 平面 A E C D

(3) DE 与平面 ABC 不垂直. 证明:假设 DE ? 平面 ABC , 则 D E?

AB

BM ? 平面 AECD
AB

?B M ? DE ?DE ? 平面 ABE

BM ? B , AB, BM ? 平面 ABE
矛盾

?DE ? AE ,这与 ?AED ? 60 ?DE 与平面 ABC 不垂直.

11. (2010 南京模拟)如图,在四棱锥 P ? (1) (2) 若 PA

ABCD

中,底面

ABCD 中为菱形, ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点。
P

? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD



M

点 M 在线段 PC 上,PM

? tPC , 试确定实数 t 的值, 使得 PA ‖平面 MQB 。
Q

D

C

【解析】 (1)连 BD ,

四边形 ABCD 菱形

? AD ? AB , ?BAD ? 60?

A

B

3/5

? ?ABD为正三角形 Q为AD中点
? AD ? BQ

P M

? PA ? PD
又 BQ

Q 为 AD 的中点,? AD ? PQ
Q

D O N A B

C

PQ ? Q

? AD ? 平面PQB , AD ? 平面PAD

? 平面PQB ? 平面PAD
(2)当 t

?

1 时,使得 PA ‖ 平面MQB ,连接 AC 交 BQ 于 N 3
AD 上中线,? N
为正三角形

,交 BD 于 O ,则 O 为 BD 的中点,又?

BQ 为

?ABD



ABD 的中心,令菱形 ABCD 的边长为 a ,则 AN ?

3 a , AC ? 3a 。 3

PA ‖ 平面MQB

PA ? 平面P A C 平面PAC ? 平面MQB ? MN

? PA ‖ MN

3 a PM AN 1 ? ? 3 ? PC AC 3a 3

即: PM

?

1 PC 3

t?

1 。 3

13. (2010 丽水模拟)一个棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是边长为 a 的正方形,左视图是直角边长为 a 的等腰 三角形)如图所示,其中 M 、 N 分别是

AB 、 AC 的中点, G 是 DF 上的一动点.

(Ⅰ)求证:

GN ? AC;
? MCE 的体积;

(Ⅱ)求三棱锥 F (Ⅲ)当 FG

? GD 时,证明 AG / / 平面 FMC .
F
主视图 侧视图

a

E

G
D

a

a
俯视图

N
M
B

C

A

【解析】 (Ⅰ)由三视图可知,多面体是直三棱柱,两底面是直角边长为 a 的等腰直角三角形,侧面 边长为 a 的正方形.

ABCD , CDFE 是

4/5

连结 DN , 因为 又

FD ? CD, FD ? AD ,
所以,

所以, FD

? 面 ABCD FD ? AC
F E

AC ? DN , ? AC

AC ? 面 GND , GN ? 面 GND

所以 GN

G
D

Q

(Ⅱ )

VE ?FMC ? VADF ?BCE ? VF ? AMCD ? VE ?MBC
1 1 S?BCE ? CD ? FD ? S AMCD ? EC ? S ?MBC 3 3 ? 1 1 1 a 1 1 a ? a ? a ? a ? ? ( ? a) ? a ? a ? ? ? ? a ? a 2 3 2 2 3 2 2
A

N
M
B

C

1 3 a =6 .

另解:

VE ? FMC ? VM ?CEF ?

1 1 1 1 AD ? S?CEF ? ? a ? a ? a ? a 3 3 3 2 6

(Ⅲ)连结 DE 交 FC 于

Q ,连结 QG

1 CD G, Q, M 分别是 FD, FC , AB 的中点,所以 GQ // 2 因为 , 1 CD GQ , AMGQ 是平行四边形 AM // 2 ,所以, AM //
AG ∥ QM , AG ? 面 FMC , MQ ? 面 FMC
所以,

AG //平面 FMC .

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