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广东省东莞市松山湖学校、第一中学2016届高三上学期12月联考数学(文)试题


2015—2016 学年第一学期东莞一中、松山湖学校 12 月月考 高三文科数学 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

柱体的体积公式: V ? Sh .其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 M ? ? x | ?1 ? x ? 1? , N ? x | y ? x ,则 M ? N ? ( A.

?

?

) D.

?x | 0 ? x ? 1?

B.

?x | 0 ? x ? 1?

C.

?x | x ? 0?
)

?x | ?1 ? x ? 0?

2. 已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是( A. 3 B. 3i C. ? 3i

D. ? 3

3. 一算法的程序框图如图 1,若输出的 y ? 则输入的 x 的值可能为( A. ?1
2

1 , 2
D. 5

) C. 1
2 2

开始

B. 0

输入整数 否

4. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 则 p 的值为( A. 2 10 ) B. 2 2

x y ? ? 1 的右焦点重合, 3 1

x ? 2?


C. 4 )

D. 2

5. 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A. y ? x
3

?? y ? sin ? ?6
输出 y 结束

? x? ?

y ? 2x

B. y ? e

x

C. y ? x +1
2

D. y ? ln | x |

6. 将函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象向左平移 个单位,再向上 6? 6
) C. y ? 1 ? sin ? 2 x ?

?

平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( A. y ? 2cos x
2

B. y ? 2sin x
2

? ?

??
? 3?

D. y ? cos 2 x

7. 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和

S n =(
A.

)

n2 7n ? 4 4
2

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

2 D. n ? n

8. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使 f ? x0 ? ? 0 成 立的概率为( ) B.

4 25 2 C. 3
A.

1 2
2

2

D. 1

1
4
侧(左)视图 正(主)视图

9. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形,则此几何体的体积是( A. C.
20 π 3
10 π 3

)

B. 6 π D.
16 π 3
?

俯视图

(第 9 题图)

10. 已知 M 是 ?ABC内的一点, 且 AB ? AC ? 2 3 ,?BAC ? 30 , 若 ?M B C ,?MCA 和

?MAB 的面
积分别为 , x, y ,则 A. 9 B. 16

1 2

1 4 ? 的最小值是 ( x y
C. 18

) D. 20

y A

11. 如图,椭圆与双曲线有公共焦点 F1 、 F2 ,它们在第一象限的交点为 A , 且 AF 1 ? AF 2 , ?AF 1F2 ? 30 ,则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为(
0

x F1 ) O F2

A.2 3 12. 已

B. 3 知 函

C. 2 数

D. 1

(第 11 题图)

f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3
)

,



? 1 ? f? ?? ? 2015 ?

? 2 ? f? ?? ? 2015 ?

? 3 ? f? ? ??? ? 2015 ?
B. ?4029 D. ?8058

? 4029 ? f? ? 的值为( ? 2015 ?

A. 4029 C. 8058

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13. 在 ?ABC 中, A ? 60 , AC ? 4,BC ? 2 3,则 AB ? _____________.
?

14. 曲线 y ? x ln x 在 x ? e 处的切线方程为_____________.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15. 若 x, y 满足 ? kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的最小值为 ?4 ,则 k 的值为________. ?y ? 0 ?
16. 已知三棱锥 P -ABC , PA ? 面ABC , AB ? BC , 且 PA ? AB ? BC ? 2 ,则三棱锥

P -ABC 的
外接球的表面积为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?a n ?为等差数列,且 a3 ? 3,a5 ? 5,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 S n ,且

2Sn ? 1 ? bn (n ? N * )
(1)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分) 高三某班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照性别进行分层抽样组建了一个 4 人的 课外兴趣小组. (1)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先 从小组里选出一名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;

70, 71, 72, 74 ,第二次 (2)试验结束后,第一次做试验的同学 A 得到的试验数据为 68,
做试验的同学

70, 70, 72, 74 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. B 得到的试验数据为 69,

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面 ABCD 垂直, 底 面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点.

(1) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 QM / /面PAD ?若存在,指出点 Q 的位置并证明; 若不存在,请说明理由; (2) 求点 D 到平面 PAM 的距离.
M A B C D P

20.(本小题满分 12 分)
2 2

已知圆 C 1 : x ? y ? 6 x ? 0 关于直线 l1 : y ? 2 x ? 1对称的圆为 C . (1)求圆 C 的方程; (2)过点 (?1, 0) 作直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, O 是坐标原点.设 OS ? OA ? OB ,是否 存在这样的直线 l ,使得四边形 OASB 的对角线相等?若存在,求出所有满足条件的直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?

ex ?1 , x ? 0 .其中 e ? 2.71828 ? ? ? x
1 ?1 ? ,求函数 h( x ) 在 ? , 2 ? 上的值域; x ?2 ?

(1)设 h ( x ) ? f ( x ) ?

(2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 f ( x) ?1 ? a 成立.

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 切 ? O 于点 B ,直线 AD 交 ? O 于 D , E 两点, BC ? DE ,垂足为 C . (1)证明: ?CBD ? ?DB ? ; (2)若 AD ? 3DC , BC ?

2 ,求 ? O 的直径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? ? x ? 1 ? t cos , ? ? 4 ( t 为参数),曲线 C 的参数方程 曲线 C1 的参数方程为: ? 2 ? y ? 5 ? t sin ? , ? ? 4
为: ?

? ? x ? cos ? , ( ? 为参数). y ? 3 sin ? , ? ?

(1)求曲线 C 2 的普通方程,若以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系, 求曲 线 C1 的极坐标系方程; (2)若点 P 为曲线 C 2 上任意一点,求点 P 到曲线 C1 距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (1)求实数 a , b 的值; (2)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

?

?

2015—2016 学年第一学期东莞一中、松山湖学校 12 月月考 高三文科数学 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 9 C 10 C 11 B 12 D 参考答案

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 11. 2 12. y ? 2 x ? e 13. - 1 2 14.

12?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)已知 ?a n ?为等差数列,且 a3 ? 3,a5 ? 5, ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为

S n ,且 2Sn ? 1 ? bn (n ? N * ) .(1)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式;(2)设 cn ? an ? bn ,
求数列 ?cn ? 的前 n 项和. 解:(1)∴ a3 ? 3 , a5 ? 5 公差 d ? ∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? n 又当 n =1 时,有 b1 ? S1 ?

a5 ? a3 ? 1. 5?3

…………………………1 分 …………………………2 分

1 ? b1 2

?b1 ?

1 3

…………………………3 分

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ? 分 ∴数列{ bn }是首项 b1 ? ∴ bn ? b1qn?1 ? (2) cn ? an bn ?

b 1 1 (bn?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). … … … … … 4 2 bn?1 3

1 1 ,公比 q ? 等比数列, 3 3
…………………………6 分

1 . 3n

n ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 3n 1 2 3 n ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ........ ? n (1) 3 3 3 3 1 2 3 n ?1 n 1 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 (2) ? Tn ? 2 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n (1) ? (2) 得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ..... ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3 1 1 n ? (1 ? n ) ? n ?1 2 3 3


…………7 分 …………8 分

…………10

化简得: Tn ?

3 1 n 3 ? 2n ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 n 4 4?3 2?3 4 4 ? 3n

……………………12 分

18.(本小题满分 12 分)高三某班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照性别进行分层 抽样组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先 从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (2)试验结束后,第一次做试验的同学 A 得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做 试验的同学 B 得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. 解: (1) 设有 x 名男同学, 则 分 把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1 , a2 , a3 , b ,则选取两名同学的基本事件有:

45 x 女同学的人数分别为 3,1 ? , ? x ? 3 ? 男、 60 4

………1

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, b),(a2 , a1 ),(a2 , a3 ),(a2 , b),(a3 , a1 ),(a3 , a2 ),(a3 , b),
(b, a1 ),(b, a2 ),(b, a3 )
种, 其中有一名女同学的有 6 种 共 ………4 分

12

? 选 出 的 两 名 同 学 中 恰 有 一 名 女 同 学 的 概 率 为

P?

6 1 ? 12 2

………6 分

(只是列出组合,没考虑顺序的同样给分) ( 2 )

x1 ?

x2 ?

69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 5

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 ? 71 5



………8 分

(68 ? 71)2 ? ?(74 ? 71) 2 s ? ?4 5
2 1 2 s2 ?

(69 ? 71)2 ? ?(74 ? 71)2 ? 3.2 5

2 0 0 ………11 9 分 0 3 2 5



?










B











………………12 分

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (1) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 QM / /面PAD ?若存在,指出点 Q 的位置并证明; 若不存在,请说明理由; (2) 求点 D 到平面 PAM 的距离. (1)当点 Q 为棱 PB 的中点时, QM / /面PAD ,证明如下:………………1 分 取棱 PB 的中点 Q ,连结 QM , QA ,又 M 为 PC 的中点, 所以 QM / / BC 且QM =
M A B C D P

1 BC , 2
可得 QM / / AD ………………3 分

在菱形 ABCD 中 AD // BC 、

QM ? 面PAD
AD ? 面PAD
所以 QM / /面PAD ………………5 分 (2)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,
B Q A C M O D P

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,
即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高. 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 所以 ?PAC 的面积 S?PAC ? ………………7 分

6,
10 , 2

6 ,边 PC 上的高 AM ? PA2 ? PM 2 ?

1 1 10 15 PC ? AM ? ? 6 ? ? ,………………9 分 2 2 2 2
1 1 S?PAC ? h ? S ?ACD ? PO 3 3

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h , 由 VD ? PAC ? VP ? ACD 得 ,又 S?ACD ? ………………10 分

3 2 1 15 1 ? 2 ? 3 ,所以 ? ?h ? ? 3? 3 , 4 3 2 3

………11 分

解得 h ?

2 15 , 5

所以点 D 到平面 PAM 的距离为

2 15 . ………………12 分 5

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 1 : x ? y ? 6 x ? 0 关于直线 l1 : y ? 2 x ? 1对称的圆为 C .
2 2

(1)求圆 C 的方程; (2)过点 (?1, 0) 作直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, O 是坐标原点.设 OS ? OA ? OB ,是否 存在这样的直线 l ,使得四边形 OASB 的对角线相等?若存在,求出所有满足条件的直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由. 20 . 解 : ( 1 ) 圆

C1











( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 .

……………………1 分

设圆 C 1 的圆心 C 1 ( ?3 , 0) 关于直线 l1 : y ? 2 x ? 1 的对称点为 C (a, b) ,则 k CC1 ? k l ? ?1 且 CC 1 的 中 点

M(

a ?3 b , ) 在 直 线 l1 : y ? 2 x ? 1 上 , 所 以 有 2 2

? b ? 2 ? ?1 ? ?a ? 3 , ? ?(a ? 3) ? b ? 1 ? 0 ? 2 ?


……………………3 分

得 ……………………4

?a ? 1 , ? ?b ? ?2
分 所 以 圆

C









( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 .
(2)由 OS ? OA ? OB 可知四边形 OASB 为平行四边形.

……………………5 分

又 | OS |?| AB | ,所以四边形 OASB 为矩形,所以 OA ? OB . 要 使

OA ? OB







使

OA ? OB ? 0







x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

……………………6 分

①当直线 l 的斜率不存在时, 可得直线 l 的方程 x ? ?1, 与圆 C ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 交于两
2 2

点 A(?1, 5 ? 2), B(?1, ? 5 ? 2) . 因为 OA ? OB ? (?1)(?1) ? ( 5 ? 2)(? 5 ? 2) ? 0 ,所以 OA ? OB ,所以当直线 l 的斜 率 件. ②当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 不 存 在 时 , 直 线

l



x ? ?1







……………………7 分

?( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 由? 得 ? y ? k ( x ? 1)
(1 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 4k ? 2) x ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 .
…………8 分 由于点 ( ?1,0) 在圆 C 内部,所以 ? ? 0 恒成立. …………















x1 ? x 2 ? ?

2k 2 ? 4k ? 2 1? k 2



x1 ? x 2 ?

k 2 ? 4k ? 4 . 1? k 2

………………9 分

要使 OA ? OB ,必须使 OA ? OB ? 0 ,即: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

k 2 ? 4k ? 4 ? k 2 ( x1 ? 1)(x 2 ? 1) ? 0 . 也就是: 2 1? k
整理得: (1 ? k )
2 2 k 2 ? 4k ? 4 2 2k ? 4k ? 2 ? k ? ? k 2 ? 0. 2 2 1? k 1? k

解得: k ? 1 .所以直线 l 的方程为

y ? x ?1.

…………………11 分

所以存在直线 x ? ?1和 y ? x ? 1 ,它们与圆 C 交于 A, B 两点,且四边形 OASB 的对角线相 等. ………12 分 ……………

22.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?

ex ?1 , x ? 0 .其中 e ? 2.71828 ? ? ? x
1 ?1 ? ,求函数 h( x ) 在 ? , 2 ? 上的值域; x ?2 ?

(1)设 h ( x ) ? f ( x ) ?

(2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 f ( x) ?1 ? a 成立.

21. (本题满分 12 分) 解析: (1)h( x ) ? 1分 令 h '( x ) ? 0 , 当 x? 则 x ?1,

ex e x ( x ? 1) , h '( x ) ? x x2

……………

?1 ? ?1 ? ,1? 时, h?( x ) ? 0 , h( x) 在 ? ,1? 上单调递减函数, ? ?2 ? ?2 ?
0 ,
h( x )


当 数, 又

) x ? ?1,2? 时 , h?( x ?
……………………3 分 依 据

?1,2?

上 单 调 递 增 函

1 h( ) ? 2 e 2



h (2) ?

1 2 e 2



1 1 2 e2 ? 4 e h(2) ? h( ) ? e ? 2 e ? ?0 2 2 2
?1 ?

…………4 分

∴ h( x ) 在 ? , 2 ? 上有最小值 h(1) ? e ,有最大值 h (2) ? e 2 ?2 ? 即 函 数

1

2

h( x )



?1 ? ,2 ? ?2 ? ?









? 1 2? e, e . ? ? 2 ? ?
(2) f ( x) ? 1 ?

…………………5 分

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x
时 , ? , 令



x?0

g(

?

x

x)

?

e , ?1

则 x

g ?(


?

x

x)

e

1?

0

…………………6 分 , ∴

g ( x) ? g (0) ? 0

f ( x) ? 1 ?

ex ? x ?1 , x ex ? x ?1 ? a ,即 e x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 , x

…………………7 分

原不等式化为



? ( x) ? e x ? (1 ? a) x ? 1
x

, ………………… 8分 ( ?a



? ?( x ?



) e ?

1

)

x 由 ? ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a , a ? 0 解得 x ? ln(1 ? a) ,

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 . 故 当

x?l

?a n

(时

1 ,

)? ( x)









?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,
令 s(a) ?

…………………10 分

a 1 1 a ? ln(1 ? a ), a ? 0 ,则 s?(a) ? ? ?? ? 0. 2 1? a (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2

故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因 立. 此 , 存 在 正 数

x ? ln(1 ? a)



使











…………………12 分

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 切 ? O 于点 B ,直线 AD 交 ? O 于 D , E 两点, BC ? DE ,垂足为 C . (1)证明: ?CBD ? ?DB ? ; (2)若 AD ? 3DC , BC ? 22. 又 ?C ? D? ,所以 ?C?D ? ??D? ? 90? ,从而 ?C?D ? ???D . 又 ?? 切圆 ? 于点 ? ,得 ?D?? ? ???D ,所以 ?C?D ? ?D?? .

2 ,求 ? O 的直径.

(2)由(I)知 ?D 平分 ?C?? ,则 所 以 AC =

BA AD = = 3 ,又 BC = 2 ,从而 AB = 3 2 , BC CD

AB 2 - BC 2 = 4 , 所 以 AD=3 . 由 切 割 线 定 理 得 AB 2 =AD ×AE , 即

AE =

AB 2 ?6, AD

故 D? ? ?? ? ?D ? 3 ,即圆 ? 的直径为 3 .

23.(本小题满分 10 分)

? ? x ? 1 ? t cos , ? ? ? x ? cos ? , ? 4 曲线 C1 的参数方程为: ? ( t 为参数) , 曲线 C 2 的参数方程为: ? ? ? y ? 3 sin ? , ? y ? 5 ? t sin ? , ? ? 4
( ? 为参数). (1)求曲线 C 2 的普通方程,若以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系, 求曲 线 C1 的极坐标系方程; (2)若点 P 为曲线 C 2 上任意一点,求点 P 到曲线 C1 距离的最小值. 23. 解 C 2 的普通方程为:

C2 :

y2 x2 ? ? 1. 3 1
曲线 C1 的普通方程为

………2 分

x? y?4?0

………3 分

? ? cos ? ? ? sin ? ? ?4 ? 2 ? cos ? cos
曲线 C1 的极坐标系方程

?
4

? 2 ? sin ? sin

?
4

? ?4

? ? cos(? ? ) ? ?2 2
4

………5 分

o s,? 3 n i s (2) 设P c


?

? , 则求点 P 到曲线 C1 距离为 d ?

?

| cos ? ? 3 sin ? ? 4 | 2

………7

? 1 3 | 2( cos ? ? sin ? ) ? 4 | | 2 cos(? ? ) ? 4 | 3 2 2 ? ? 2 2
故当 ? =

………9 分

2? 时, d 有最小值为 3
………10 分

2

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (1)求实数 a , b 的值; (2)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

?

?



(

- 3t +12+ t

)

max

=4.


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