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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练8]


双基限时练(八)
一、选择题 1 1.在等比数列{an}中,a3=2,a7=2,则 a5 等于( A.-1 C.± 1 B.1 D.以上均不对 )

解析 设等比数列的公比为 q,∵a5=a3q2, ∴a3 与 a5 同号,故 a5= a3a7=1. 答案 B )

2.若数列{an}是公差为 2 的等差数列,则数列{2an}是( A.公比为 4 的等比数列 B.公比为 2 的等比数列 1 C.公比为2的等比数列 1 D.公比为4的等比数列 解析 答案 2an+1 2 2an =2(an+1-an)=2 =4. A

3.若数列{an}为等比数列,则下列四个命题:①数列{a2 n}也是等
?1? 比数列;②数列{a2n}也是等比数列;③数列?a ?也是等比数列;④数列 ? n?

{lg|an|}也是等比数列.其中正确的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4

)

解析 ④不正确,如 an=1,lg|an|=0,而 0,0,0,…不是等比数列. 答案 C

4.设等差数列{an}的公差 d 不为 0,a1=9d.若 ak 是 a1 与 a2k 的等 比中项,则 k=( A.2 C.6 ) B.4 D.8

解析 由 a1=9d,ak=9d+(k-1)d=(k+8)d,a2k=(2k+8)d,由(k +8)2=9· (2k+8),得 k=4. 答案 B

5.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10, 则 a4a5a6=( A.5 2 C.6 ) B.7 D.4 2

解析 由 a1a2a3=5,a7a8a9=10, 得(a1a2a3)· (a7a8a9)=50. 即 a6 5=50,an>0.
3 ∴a5 =5 2,即 a4a5a6=5 2.

答案

A

1 6.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1,2a3,2a2 成等差数 a9+a10 列,则 的值等于( a7+a8 A.1+ 2 C.3+2 2 ) B.1- 2 D.3-2 2

1 解析 ∵{an}为等比数列,又 a1,2a3,2a2 成等差数列, ∴a1+2a2=a3,∴1+2q=q2,得 q=1+ 2或 q=1- 2(舍). a9+a10 ?a7+a8?q2 又 = =(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 a7+a8

答案

C

二、填空题 7.在各项都是正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则 a1a15= ________. 解析 由 lg(a3a8a13)=6, 得 a3a8a13=106.
3 又 a3a8a13=a8 ,∴a8=102. 2 2 4 由等比中项知 a1a15=a2 8=(10 ) =10 .

答案 104 8.在等比数列{an}中,公比 q 为整数,且 a3+a8=124,a5· a6=- 512,则 a5=________. 解析
? ?a3=128, ∵a5a6=a3a8=-512,又 a3+a8=124,得? 或 ? ?a8=-4,

? ? ?a3=-4, ?a3=-4, ? 又 q 为整数,∴? ?a8=128, ?a8=128. ? ?

又 a8=a3q5=128,得 q=-2,∴a5=a3q2=-16. 答案 -16

9.数列{an}是等比数列,an>0,已知 a2a4+2a3a5+a4a6=125,则 a3+a5=________.
2 解析 由 a2a4+2a3a5+a4a6=125,得 a3 +2a3a5+a2 5=125,a3+a5

=± 5 5,又 an>0,故 a3+a5=5 5. 答案 5 5 三、解答题 9 1 2 10.在等比数列{an}中,a1=8,an=2,q=3,求 n.



1 9 ?2? ∵an=a1· qn-1,得2=8×?3?n-1,
? ?

?2?n-1 4 ? ? = ,∴n-1=2,得 n=3. 9 ?3?

11.在等比数列{an}中,各项均为正值,且 a6a10+a3a5=54,a4a8 =5,求 a4+a8 的值. 解
2 ∵{an}为等比数列,∴a3a5=a4 ,a6a10=a2 8,

2 ∴a6a10+a3a5=a2 4+a8=54, 2 又 a4a8=5,∴(a4+a8)2=a2 4+2a4a8+a8=54+10=64,

又 an>0,∴a4+a8= 64=8. 12. 已知三个数成等比数列, 它们的积为 27, 它们的平方和为 91, 求这三个数. 解 a 设这三个数分别为q,a,aq,由题意, ① ②

a ? a· aq=27, ?q· 得? 2 a 2 2 2 ? 2+a q +a =91, ?q

1 由①得 a=3,代入②,得 q=± 3 或 q=± 3. ∴当 q=3 时,这三个数分别是 1,3,9; 当 q=-3 时,这三个数分别是-1,3,-9; 1 当 q=3时,这三个数分别是 9,3,1; 1 当 q=-3时,这三个数分别是-9,3,-1. 思 维 探 究 13.在等比数列{an}中,a1=1,公比为 q(q≠0),且 bn=an+1-an. (1)判断数列{bn}是否为等比数列?说明理由;

(2)求数列{bn}的通项公式. 解
1

(1)∵等比数列{an}中,a1=1,公比为 q,∴an=a1qn-1=qn-

(q≠0), 若 q=1,则 an=1,bn=an+1-an=0, ∴{bn}是各项均为 0 的常数列,不是等比数列. bn+1 an+2-an+1 qn+1-qn qn?q-1? 若 q≠1,由于 b = = = =q, an+1-an qn-qn-1 qn-1?q-1? n ∴{bn}是首项为 b1=a2-a1=q-1,公比为 q 的等比数列. (2)由(1)可知,当 q=1 时,bn=0; 当 q≠1 时,bn=b1qn-1=(q-1)· qn-1, ∴bn=(q-1)qn-1(n∈N+).


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