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山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编14 平面向量的数量积 理 新人教A版


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 14:平面向量的数量积
一、选择题 1 . (山东济南外国语学校 2012—2013 学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科) )已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则 k= ( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】D 【解析】因为 a ? a ? b) ? 0 ,即 (2,1)? 2 ? k ) ? 0 ,所以 10+2? k ? 0,即 k ? 12 ,选 (2 (5, D. 2 . (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则 向量 a与b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

( B.



? 2

? 3

C.

? 4

D.

? 6

【答案】B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? a ?b 3 1 a ? (b ? a ) ? a ? b ? a ? 2 ,所以 a ? b ? 3 ,所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ? ,所以 ? a, b ?? ,选 3 a b 1? 6 2

B. 3 . (山东省兖州市 2013 高三 9 月入学诊断检测数学(理)试题)如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆 上不同于 A.B 的 任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点, 则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是( A. ?

??? ??? ??? ? ? ?
D. ?2

)

9 2

B.

9 2

C. 2

【答案】A 解析:设 PO ? x , 则 ( PA ? PB) ? PC ? 2PO ? PC ? 2 PO ? PC cos?

3 9 3 9 ? ?2 x(3 ? x) ? 2( x ? ) 2 ? , 所以 x ? 时, 最小值为 ? 2 2 2 2
4 . 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ( ) 平 面 四 边 形 ABCD 中 ( D.梯形 )

??? ??? ?? ??? ???? ???? ? ? ? AB+CD=0,( AB- AD)?AC =0 ,则四边形 ABCD 是
A.矩形 【答案】C B.正方形 C.菱形

= 【 解 析 】 因 为 A B+ C D 0, 所 以 A B ? ? C D ? D C 所 以 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 . 又 ,
??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ( AB ? AD)?AC = DB?AC ? 0 ,所以对角线互相垂直,所以四边形 ABCD 是菱形,选
C.

? ? ?? ? ? ?? ?

? ? ??

? ? ??

? ? ??

5 . 山 东 省 曲 阜 市 2013 届 高 三 11 月 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD (
1

中, AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60?, 点M 在AB 边上,且 AM ?

???? ??? ? ? 1 AB, 则DM ?DB 等于 3

D

C

A

M

B





A. ?

3 3

B.

3 3

C. ?1

D. 1

【答案】D 6 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)在△ABC 中,AB=3,AC=2, BD ?

uuu r

r 1 uuu BC , 则 2


uuu uuu r r AD ? BD 的值为
A. ?

( B.

5 2
析 】

5 2


C. ?

5 4

D.

5 4

【答案】C

uuu 1 uuu r r 的 中 点 , 则 BD ? BC , 所 以 点 D 是 BC 2 ???? 1 ??? ???? ??? 1 ??? 1 ???? ??? ? ? ? ? ???? ??? 1 ??? ???? 1 ???? ??? ? ? ? AD ? ( AB ? AC ) , BD ? BC ? ( AC ? AB ) ,所以 AD ? BD ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB ) 2 2 2 2 2 ? 1 ???? 2 ??? 2 1 2 2 5 C. ? ( AC ? AB ) ? (2 ? 3 ) ? ? ,选 4 4 4 ? ? ? ? ? 7 . (山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题)向量 a ? ? 2, 0 ? , b ? ? x, y ? ,若 b与b ? a 的
【 解 因 夹角等于

?
6

,则 b 的最大值为

?





4 3 3 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 【答案】A【解析】设 OA ? a ? (2, 0) , OB ? b ? ( x, y ) ,则 b ? a ? AB .因为 b与b ? a 的夹角等于 , 6 ??? ? ??? ? ? ? 即 ?OBA ? , 设 OB ? a, AB ? x , 根 据 余 弦 定 理 有 , 22 ? a 2 ? x 2 ? 2ax cos ,整理得 6 6
A.4 B. 2 3 C.2 D.

x 2 ? 3ax ? a 2 ? 4 ? 0 ,则方程有解,所以 ? ? ( 3a) 2 ? 4(a 2 ? 4) ? 0 ,即 a 2 ? 16 ,所以 0 ? a ? 4 ,所
以 b 的最大值为 4,选 A

?

2

8 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ? ( A. 2 【答案】D B. 3 )

?

? ?

? ?

C. 4 D. 5 ? ? ? ? ? 因 为 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) , 所 以 b ? 2a ? (3,1) ? 2(1, 2) ? (3,1) ? (? 1,3) , 所 以 D.

? ? a ? b ? (1, 2) ? (? 1,3) ? ? 1? 2? 3 ? 5 ,选

9 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科))已知向量 a、b ,其中 a ? 且 a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 ( A.

2, b ? 2,
( )

?
4

B.

?
2

C.
2

3? 4

D. ?

【答案】A【解析】由题意知 (a ? b) ? a ? a ? a ? b ? 2 ? a ? b ? 0,? a ? b ? 2. 设 a 与 b 的夹角为 ? , 则 cos ? ?

a ?b | a |?| b |

?

2 ? , ? ? . 故选 A 2 4

10 . 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 若 两 个 非 零 向 量 a , b 满 足 (

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为
A.





2? 5? D. 6 3 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 【答案】B 由 a ? b ? a ? b 得, a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ,即 a ? b ? 0 .由 a ? b ? 2 a ,得

?

B.

?

C.

? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ?2 ?2 ?2 ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 a ? 2a ? b ? b ? 4a ,即 b ? 3a ,所以 b ? 3 a ,所以 (a ? b) ? (b ? a ) ? b ? a ? 3a ? a ? 2a ,

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? (a ? b) ? (b ? a ) 2a 1 ? 所以向量 a ? b 与 b ? a 的夹角的余弦值为 cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ,选 3 a ?b ? a ?b 2 a ?2 a 2
B. 11. (山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练数学(理)试题)已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 ??? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? O,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为 ( )

3

1 5 【答案】A
A. ?

B.

1 5

C. ?

6 5

D.

6 5

12. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2, 0), b ? 1, 则 a ? 2b ? A. 3 【 答 案 】 B B. 2 3 因 为 C.4 D.12 ( )

? ? ? ? ? ? 1 a ? 2, b ? 1 , 所 以 a ? b ? a ? b cos 60? ? 2 ? ? 1 , 所 以 2

?2 ? ? ?2 a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 22 ? 4 ? 4 ? 12 ? 2 3 ,选 B.
13 .( 山 东 省 夏 津 一 中 2013 届 高 三 4 月 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 ?ABC ( )

中, ? 为边 BC BAC °, AB ? 60 ?,AC 2 ? 1 ,E,F 的三等分点,则 AE? AF等于 A.

5 3

B.

5 4

C.

10 9

D.

15 8
? ? ? ? ? ?

【答案】A 14. (山东师大附中 2013 届级高三 12 月第三次模拟检测理科数学)非零向量 a, b 使得 | a ? b |?| a | ? | b | 成 立的一个充分非必要条件是 A. a / / b ( )

?

?

B. a ? 2b ? 0

?

?

?

? ? a b C. ? ? ? |a| |b|
? ? ?

D. a ? b

?

?

【答案】B【解析】要使 | a ? b |?| a | ? | b | 成立,则有 a, b 共线且方向相反,所以当 a ? 2b ? 0 时,满足

? ?

?

?

?

?

? ? a ? ?2b ,满足条件,所以选

B.

15. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60 ,点 M 在 AB 边上,且 AM ?
?

???? ??? ? ? 1 AB,则DM ? DB 等于 3

( A. ? 【



3 2
答 案

B.

3 2
D

C. ?1

D.1

???? ??? ???? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? , DM ? DA ? AM ? DA ? AB, DB ? DA ? AB 3 ???? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 1 ??? 2 4 ??? ??? ? ? ? ? ? 4 4 ???? ??? DM ? DB ? ( DA ? AB) ? ( DA ? AB) ? DA ? AB ? DA ? AB ? 1 ? ? AD ? AB 3 3 3 3 3






4

?

? 7 4 ???? ??? 7 4 1 ? AD ? AB cos 60? ? ? ?1? 2 ? ? 1 .选 3 3 3 3 2

D.
2 2

16. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) 直线 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4 交于 A,B 两点,则 OA · OB = A.4 【答案】 由 ? C 选 B.3 C.2 ,解得 ? D.-2

??? ?

??? ?





?x ? 3y ? 2 3 ? 0 ?
2 2 ?x ? y ? 4 ?

??? ??? ? ? ?x ? 3 ?x ? 0 ? 或? ,即 A( 3,1), B (0, 2) ,所以 OA · OB ? 2 , ?y ?1 ?y ? 2 ?

C.

17. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) )若 e1 , e2 是平面内夹角为 60? 的两个单位 向量,则向量 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 的夹角为 A. 30? 【答案】D 【 B. 60? 解 C. 90? D. 120? 析 】

?? ?? ?

?

?? ?? ? ?

??

?? ?





?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 1 7 , , e1 ? e2? e1 c 2 o s ?6?0 e a ? ? (2e1 ? e2 )?(?3e1 ? 2e2 ) ? ? b 2 2 ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ?? ? ? ? a ? (2e1 ? e2 ) 2 ? 4 ? 4e1 ?e2 ? 1 ? 7 , b ? (?3e1 ? 2e2 ) 2 ? 9 ? 12e1 ?e2 ? 4 ? 7 , 所 以 a, b

7 ? ? ? ? ? ? ? a? b 2 ? ? 1 ,所以 ? a, b ?? 120? ,选 的夹角的余弦值为 cos ? a, b ?? ? ? ? 2 7? 7 a b

D.

二、填空题 18 .( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 单 位 向 量

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 1 e1 , e2满足e1 ? e2 ? ? , 则 e1 ? 2e2 ? ____. 2
【答案】 3 19. (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理) )已知向量 a ? (1,1), b ? (2, 0) ,则 2a ? b 等于 ______________. 【答案】 2 5 【 解析】 2a ? b ? 2(1,1) ? (2, 0) ? (4, 2) ,所以 2a ? b ?

?

?

? ?

?

?

?

?

42 ? 22 ? 20 ? 2 5 .

20 . 山 东 省 潍坊 市 2013 届 高 三 第 二次 模 拟考 试理 科 数 学 )如 图 , 在△ABC 中 ,O 为 BC 中点 , 若 ( AB=I, AC ? 3 , AB, AC ? 60 ,则 OA ? ______________.
?

??? ???? ?

??? ?

5

【 答 案 】

??? ???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 13 1 3 ? 因 为 AB, AC ? 60 , 所 以 AB ? AC ? AB ? AC cos 60? ? 3 ? ? , 又 2 2 2 ???? 1 ??? ???? ? ???? 2 1 ??? ???? ? ? ??? ???? ???? 2 ? 1 ??? 2 AO ? ( AB ? AC ) , 所 以 AO ? ( AB ? AC ) 2 ? ( AB ? 2 AB ? AC ? AC ) , 即 2 4 4
??? ? ???? 2 1 13 13 . AO ? (1 ? 3 ? 9) ? ,所以 OA ? 2 4 4

21 .( 山 东 省 曲 阜 市

2013 届 高 三

11

月 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

? ? ? ? ? ? ? ? a, b满足 | a |? 2,| b |? 1, a与b 的夹角为60?, 则 | a ? 2b |? ______.
【答案】2 22. (山东省莱芜市莱芜十七中 2013 届高三 4 月模拟数学 (理) 试题) 如上图,在△ABC 中, AN = 是 BN 上的一点,若 AP =m AB +
A N P

1 NC ,P 3

2 AC ,则实数 m 的值为___________. 11

B

C

(第 14 题图)

【答案】

3 11

23 .( 山 东 省 济 宁 邹 城 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若

? ? ? ? ? ? ? ? ? | b |? 2 | a |? 0, c ? a ? b, 且c ? a, 则向量a与b 的夹角为______ __.
【答案】 120? 24 . 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量 a,b 满 ( 足, | a |? 1,| b |? 【答案】

2, a ? (a ? b) ,则 a 与 b 夹角的大小是___________

?2 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 3? 【解析】因为 a ? (a ? b) ,即 a ? a ? b) ? 0 ,所以 a ? a ? ? 0 ,即 a ? ? ? a ? ?1 ,所 b b ( 4 ? ? ? ? ? ? a? b ?1 2 3? ?? 以 cos ? a, b ?? ? ? ? ,所以 ? a, b ?? . 2 4 2 a b
25. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )已知向量 a ? (1,1), b ? (2, 0) ,则 2a ? b 等 于为.
6

?

?

? ?

【答案】 2 5 【 解 析 】 因 为 a ? (1,1),b ? (2, 0) , 所 以 2a ? b ? 2(1,1)? (2, 0)? (4, 2) , 所 以

?

?

?

?

? ? 2a ? b ? 42 ? 22 ? 20 ? 2 5 .
26. (山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学)已知 ?ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 ,若 G 为

???? ??? ? ?ABC 的重心,则 AG ? BC ? __________.
【 答 案 】 4 【 解 析 】 , 设 BC 的 中 点 为 D, 因 为 G 为 ?ABC 的 重 心 , 所 以 ? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ? 1 ? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ???? , , 所 以 A G? A D ?( ? A B ) A C( ? ? A B) A C BC ? AC ? AB ? 3 3 2 3 ???? 2 ???? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? 2 1 ? ? AG ? AD?BC ? ( AB ? AC )? AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? (42 ? 22 ) ? 4 . ( 3 3 3 3

27.山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 ( (理) 试题) 在△ABC 中,AB= 2 ,AC=2 2 , AB · BC =1, 则 BC=____________. 【答案】2 28 .( 山 东 省 兖 州 市

??? ?

??? ?

2013 高 三

9

月 入 学 诊 断 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知

? ? ? ? ? ? ? ? a ? 4 , b ? 3 , 2a ? 3b ? 2a ? b ? 61 ,则 a 与 b 的夹角 ? 为____________________
【答案】 120 ? (或

?

??

?

2? ) 3

29. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设非零向量 a, b, c 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则

? ? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?

?

? ? a, b ? __________.
2? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 ? ? ? 【解析】因为 a ? b ? c ,所以 c ? ?(a ? b) ,所以 c ? ?(a ? b) ? a ? b 所,以 c ? a ? 2a ? ? b ,即 b
【答案】 120? 或

? ? ? ?1 b2 ? ? ? ? ? ? a? b 1 1 ?2 2 a ? ? ? b ,所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? a, b ?? 120? . b 2 2 a b a b
30. (山东省临沂市 2013 届高三第三次模拟考试 理科数学)如右图放置的正方形 ABCD,AB=1,A,D 分别在 x
7

轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC ·OB 的最大值是____________. y
C D B





O

A

x

证明过程或演算步骤. 【答案】2

??? ? ???? ? 31 . 2013 山 东 高 考 数 学 ( 理 ) 已 知 向 量 ??? 与 ???? 的 夹 角 为 120 °, 且 AB ? 3 , AC ? 2 , 若 ( ) AC AB

??? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC ,
则实数 ? 的值为__________. 【答案】

???? ??? ? ???? ??? ? 7 ? 【 解 析 】 向 量 AB 与 AC 的 夹 角 为 120 , 且 | AB |? 3,| AC |? 2, 所 以 12 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 . 3 AB AC ? ? A ?B cA C 1? 2 0? ? ? 3 ? 2 ? ?由 AP ? BC 得 , AP ? BC ? 0 , 即 os 2 ???? 2 ??? 2 ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ???? ??? ? ? AP ? BC ? (? AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? 0 , 所 以 AC ? ? AB ? (? ? 1) AB ? AC ? 0 , 即

4 ? 9? ? 3(? ?1) ? 0 ,解得 ? ?

7 . 12

8


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