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浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程


第三节

圆的方程

1.圆的定义及方程 定义 标准 方程 一般 方程 2.点与圆的位置关系 点 M(x0,y0)与圆(x-a) +(y-b) =r 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a) +(y0-b) >r . (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a) +(y0-b) =r . (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a) +(y0-b) <r .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x-a) +(y-b) =r (r>0)
2 2 2

圆心(a,b),半径 r

x +y +Dx+Ey+F=0,
(D +E -4F>0)
2 2

2

2

? ? 圆心?- ,- ?, 2? ? 2
D E
1 2 2 半径 D +E -4F 2

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(
2 2 2

) )
2 2

(2)方程(x+a) +(y+b) =t (t∈R)表示圆心为(a,b),半径为 t 的一个圆.(
2 2

(3)方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 A=C≠0,B=0,D +E - 4AF>0.( )
2 2 2 2

(4)若点 M(x0,y0)在圆 x +y +Dx+Ey+F=0 外,则 x0+y0+Dx0+Ey0+F>0.( [解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系,知(1)(3)(4)正确. (2)中,当 t≠0 时,表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆,不正确. [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材改编)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( 2 A.a<-2 或 a> 3 C.-2<a<0 D
2 2 2 2 2 2

)

)

2 B.- <a<0 3 2 D.-2<a< 3

[由题意知 a +4a -4(2a +a-1)>0,
1

2 解得-2<a< .] 3 3.圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( 4 A.- 3 C. 3 A
2 2 2 2

)

3 B.- 4 D.2

[圆 x +y -2x-8y+13=0,得圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线 ax+y-1=0 的

|a+4-1| 4 距离 d= =1,解得 a=- .] 2 3 a +1 4.(2017·嘉兴一中质检)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称, 则圆 C 的标准方程为________.

x2+(y-1)2=1 [两圆关于直线对称则圆心关于直线对称,半径相等.圆 C 的圆心为
(0,1),半径为 1,标准方程为 x +(y-1) =1.] 5.一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方 16 4 程为________. 【导学号:51062268】
2 2

x2

y2

?x-3?2+y2=25 [由题意知 a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2), ? 2? 4 ? ?
右顶点的坐标为(4,0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0, -2), (4,0)三点. 设 3 ? ?m=2, 解得? 25 r= , ? ? 4
2

圆的标准方程为(x-m) +y =r (0<m<4, r>0), 则?

2

2

2

?m +4=r , ? ??4-m? =r , ?
2 2

2

2

? 3?2 2 25 所以圆的标准方程为?x- ? +y = .] 4 ? 2?

求圆的方程 (1)已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的 距离为( A. C. 5 3 2 5 3 ) B. D. 4 3 21 3

(2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0, 5)在圆 C 上,且圆心到直线 2x-y=

2

4 5 0 的距离为 ,则圆 C 的方程为________. 5

(1)B

(2)(x-2) +y =9 [(1)法一:在坐标系中画出△ABC(如图),利用两点间的距

2

2

离公式可得|AB|=|AC|=|BC|=2(也可以借助图形直接观察得出),所以△ABC 为等边三角 2 2 3 形.设 BC 的中点为 D,点 E 为外心,同时也是重心.所以|AE|= |AD|= ,从而|OE|= 3 3 |OA| +|AE| =
2 2

4 21 1+ = ,故选 B. 3 3

法二:设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,

2

2

则 3+ 3E+F=0, 3E+F=0,

? ? ?7+2D+

1+D+F=0,

D=-2, ? ? 4 3 解得?E=- , 3 ? ?F=1.

? 2 3? 所以△ABC 外接圆的圆心为?1, ?. 3 ? ?
因此圆心到原点的距离 d= 1 +?
2

21 ?2 3?2 ?= 3 . 3 ? ?

(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,设 C(a,0),且 a>0, 所以圆心到直线 2x-y=0 的距离 d= 解得 a=2, 所以圆 C 的半径 r=|CM|= 4+5=3, 所以圆 C 的方程为(x-2) +y =9.] [规律方法] 1.直接法求圆的方程,根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进 而写出方程. 2.待定系数法求圆的方程:①若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准 方程,依据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值;②若已知条件没 有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D,E,F 的方程组, 进而求出 D,E,F 的值. 温馨提醒:解答圆的方程问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
2 2

2a

4 5 = , 5 5

3

[变式训练 1]

(2017·浙江五校联盟联考)经过点 A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线

2x-y-3=0 上的圆的方程为________.

x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10)
[法一:∵圆过 A(5,2),B(3,-2)两点, ∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上. 1 易知线段 AB 的垂直平分线方程为 y=- (x-4). 2 2a-b-3=0, ? ? 设所求圆的圆心为 C(a,b),则有? 1 b=- ?a-4?, ? 2 ? 解得 a=2,且 b=1. 因此圆心坐标 C(2,1),半径 r=|AC|= 10. 故所求圆的方程为(x-2) +(y-1) =10. 法二:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0), 25+4+5D+2E+F=0, ? ?9+4+3D-2E+F=0, 则? ? D? E 2×?- ?+ -3=0, ? ? ? 2? 2 解得 D=-4,E=-2,F=-5, ∴所求圆的方程为 x +y -4x-2y-5=0.] 与圆有关的最值问题
2 2 2 2 2 2 2 2

已知 M(x,y)为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)求

y-3 的最大值和最小值. 【导学号:51062269】 x+2
2 2

[解] (1)由圆 C:x +y -4x-14y+45=0, 可得(x-2) +(y-7) =8, ∴圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2.2 分 又|QC|= ?2+2? +?7-3? =4 2, ∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2.6 分 (2)可知
2 2 2 2

y-3 表示直线 MQ 的斜率 k.8 分 x+2

4

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.10 分 |2k-7+2k+3| 由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 ≤2 2, 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3, ∴

y-3 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3.14 分 x+2

[迁移探究 1] (变化结论)在本例的条件下,求 y-x 的最大值和最小值. [解] 设 y-x=b,则 x-y+b=0.4 分 当直线 y=x+b 与圆 C 相切时,截距 b 取到最值, ∴ |2-7+b| 1 +?-1?
2 2

=2 2,∴b=9 或 b=1.12 分

因此 y-x 的最大值为 9,最小值为 1.14 分 [迁移探究 2] (变换条件结论)若本例中条件“点 Q(-2,3)”改为“点 Q 是直线 3x+

4y+1=0 上的动点”,其它条件不变,试求|MQ|的最小值. [解] ∵圆心 C(2,7)到直线 3x+4y+1=0 上动点 Q 的最小值为点 C 到直线 3x+4y+1 =0 的距离, |2×3+7×4+1| ∴|QC|min=d= =7.6 分 2 2 3 +4 又圆 C 的半径 r=2 2, ∴|MQ|的最小值为 7-2 2.14 分 [规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题, 应充分考虑圆的几何性质, 并根据代数式的 几何意义,数形结合求解. 2.某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值. 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数 法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的. [变式训练 2] 设 P 为直线 3x-4y+11=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x +y -2x-2y +1=0 的两条切线,切点分别为 A,B,求四边形 PACB 的面积的最小值. [解] 圆的标准方程为(x-1) +(y-1) =1,2 分 圆心为 C(1,1),半径为 r=1.6 分 根据对称性可知,四边形 PACB 的面积为 1 2 2 2S△APC=2× |PA|r=|PA|= |PC| -r .8 分 2 要使四边形 PACB 的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线 l:3x-4y+11 =0 的距离
2 2 2 2

5

d=

|3-4+11| 3 +?-4?
2 2



10 =2.12 分 5

所以四边形 PACB 面积的最小值为 |PC|min-r = 4-1= 3.14 分 与圆有关的轨迹问题 已知点 P(2,2),圆 C:x +y -8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两 点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. [解] (1)圆 C 的方程可化为 x +(y-4) =16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.2 分 → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM·MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1) +(y-3) =2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1) +(y-3) =2.6 分 (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上. 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM.8 分 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ .12 分 3 3 4 10 4 10 16 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 ,|PM|= ,所以△POM 的面积为 .15 5 5 5 分 [规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程求解. (2)定义法:根据圆的定义列方程求解. (3)几何法:利用圆的几何性质得出方程求解. (4)代入法(相关点法): 找出要求的点与已知点的关系, 代入已知点满足的关系式求解. [变式训练 3] 已知点 A(-1,0), 点 B(2,0), 动点 C 满足|AC|=|AB|, 求点 C 与点 P(1,4) 所连线段的中点 M 的轨迹方程. [解] 由题意可知:动点 C 的轨迹是以(-1,0)为圆心,3 为半径长的圆,方程为(x+ 1) +y =9.4 分
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

设 M(x0,y0),则由中点坐标公式可求得

C(2x0-1,2y0-4),8 分
代入点 C 的轨迹方程得 4x0+4(y0-2) =9, 9 2 2 化简得 x0+(y0-2) = ,13 分 4 9 2 2 故点 M 的轨迹方程为 x +(y-2) = .15 分 4
2 2

[思想与方法] 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件,“选形式、定参数”是求圆的方程的基本 方法. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. [易错与防范] 1.二元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆时易忽视 D +E -4F>0 这一前提条件. 2.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个 独立方程. 3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程 后还要指明轨迹表示什么曲线. 课时分层训练(四十五) 圆的方程 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2017·舟山模拟)圆(x-1) +(y-2) =1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为 ( )
2 2 2 2 2 2

7

A.(x-2) +(y-1) =1 C.(x+2) +(y-1) =1 A
2 2

2

2

B.(x+1) +(y-2) =1 D.(x-1) +(y+2) =1
2 2 2 2

2

2

[(1,2)关于直线 y=x 对称的点为(2,1),∴圆(x-1) +(y-2) =1 关于直线 y=x
2 2

对称的圆的方程为(x-2) +(y-1) =1.] 2.圆 x +y -2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为(
2 2

) 【导学号:51062270】

A.2 C.1 D
2 2

B.

2 2

D. 2

[圆的方程可化为(x-1) +(y+2) =2,则圆心坐标为(1,-2).

|1+2-1| 故圆心到直线 x-y-1=0 的距离 d= = 2.] 2 3. 已知圆(x-2) +(y+1) =16 的一条直径通过直线 x-2y+3=0 被圆所截弦的中点, 则该直径所在的直线方程为( A.3x+y-5=0 C.x-2y+4=0 D [易知圆心坐标为(2,-1). ) B.x-2y=0 D.2x+y-3=0
2 2

1 由于直线 x-2y+3=0 的斜率为 , 2 ∴该直径所在直线的斜率 k=-2. 故所求直线方程为 y+1=-2(x-2),即 2x+y-3=0.] 4.若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程是( )
2 2

A.(x- 5) +y =5 C.(x-5) +y =5 D [设圆心为(a,0)(a<0),
2 2

B.(x+ 5) +y =5 D.(x+5) +y =5
2 2

2

2

|a+2×0| 则 r= = 5,解得 a=-5, 2 2 1 +2 所以圆 O 的方程为(x+5) +y =5.] 5.设 P 是圆(x-3) +(y+1) =4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小 值为( A.6 C.3 B ) B.4 D.2
2 2 2 2

[如图所示,圆心 M(3,-1)与直线 x=-3 的最短距离为

8

|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为 2,故所求最短距离为 6-2=4.] 二、填空题 6.(2016·浙江高考)已知 a∈R,方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心 坐标是________,半径是________. (-2,-4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得 a =a+2,解得 a=2 或-1.当 a
2 2 2 2

5 ? 1?2 2 2 2 2 =2 时,方程为 4x +4y +4x+8y+10=0,即 x +y +x+2y+ =0,配方得?x+ ? +(y+ 2 ? 2? 5 2 1) =- <0,不表示圆; 4 当 a=-1 时,方程为 x +y +4x+8y-5=0,配方得(x+2) +(y+4) =25,则圆心坐 标为(-2,-4),半径是 5.] 7.已知点 M(1,0)是圆 C:x +y -4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线 的方程是________. 【导学号:51062271】
2 2 2 2 2 2

x+y-1=0 [圆 C:x2+y2-4x-2y=0 的圆心为 C(2,1),
1-0 则 kCM= =1. 2-1 ∵过点 M 的最短弦与 CM 垂直,∴最短弦所在直线的方程为 y-0=-1(x-1),即 x+y -1=0.] 8.在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________. (x-1) +y =2 [因为直线 mx-y-2m-1=0 恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直 线 mx-y-2m-1=0 的最大距离为 d= ?2-1? +?-1-0? = 2,所以半径最大时的 半径 r= 2,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1) +y =2.] 三、解答题 9.已知直线 l:y=x+m,m∈R,若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点
2 2 2 2 2 2

P 在 y 轴上,求该圆的方程.
[解] 法一:依题意,点 P 的坐标为(0,m),2 分 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1,6 分 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2),10 分 圆的半径 r=|MP|= ?2-0? +?0-2? =2 2, 故所求圆的方程为(x-2) +y =8.15 分 法二:设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2) +y =r ,2 分 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m),
2 2 2 2 2 2 2

9

4+m =r , ? ? 则?|2-0+m| =r, ? 2 ? 解得?

2

2

6分

?m=2, ?r=2 2,

10 分
2 2

所以所求圆的方程为(x-2) +y =8.15 分 10.已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y -6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程. 【导学号:51062272】 [解] (1)由 x +y -6x+5=0 得(x-3) +y =4,2 分 所以圆 C1 的圆心坐标为(3,0).6 分 → → (2)设 M(x,y),依题意C1M·OM=0, 所以(x-3,y)·(x,y)=0,则 x -3x+y =0,
2 2 2 2 2 2 2 2

? 3?2 2 9 所以?x- ? +y = .9 分 4 ? 2?
又原点 O(0,0)在圆 C1 外, 因此中点 M 的轨迹是圆 C 与圆 C1 相交落在圆 C1 内的一段圆弧.
? ?x -3x+y =0, 由? 2 2 ?x +y -6x+5=0, ?
2 2

5 2 消去 y 得 x= , 3

5 因此 <x≤3.12 分 3

? 3?2 2 9?5 ? 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为?x- ? +y = ? <x≤3?.15 分 4?3 ? 2? ?
B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2017·绍兴模拟)设 P(x,y)是圆(x-2) +y =1 上的任意一点,则(x-5) +(y+ 4) 的最大值为( A.6 C.26 D
2 2 2 2 2 2

) B.25 D.36

[(x-5) +(y+4) 表示点 P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心
2 2

(2,0)的距离 d= ?5-2? +?-4? =5. 则点 P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为 6,从而(x-5) +(y+4) 的最大值为 36.]
2 2

10

x≥0, ? ? 2.已知平面区域?y≥0, ? ?x+2y-4≤0

恰好被面积最小的圆 C:(x-a) +(y-b) =r 及

2

2

2

其内部所覆盖,则圆 C 的方程为________. (x-2) +(y-1) =5 [由题意知,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所 构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆. ∵△OPQ 为直角三角形, |PQ| ∴圆心为斜边 PQ 的中点(2,1),半径 r= = 5, 2 因此圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5.] 3.已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2) +(y+2) =r (r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程; → → (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求PQ·MQ的最小值. 【导学号:51062273】 [解] (1)设圆心 C(a,b), 由已知得 M(-2,-2),
2 2 2 2 2 2 2

a-2 b-2 ? ? 2 + 2 +2=0, 则? b+2 ?a+2=1, ?
2 2 2

解得?

? ?a=0, ?b=0, ?

4分

则圆 C 的方程为 x +y =r ,将点 P 的坐标代入得 r =2, 故圆 C 的方程为 x +y =2.6 分 (2)设 Q(x,y),则 x +y =2, →
2 2 2 2

2

PQ·MQ=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x +y +x+y-4=x+y-2.10 分 令 x= 2cos θ ,y= 2sin θ , → → 所以PQ·MQ=x+y-2 = 2(sin θ +cos θ )-2 π? ? =2sin?θ + ?-2, 4? ? → → 所以PQ·MQ的最小值为-4.15 分
2 2



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