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重庆市南川区三校2017学年高一数学下学期期中试题

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重庆市南川区三校 2016-2017 学年高一数学下学期期中试题

数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:

1、答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2、答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦

擦干净后,再选涂其他答案标号. 3、答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.

4、所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.在等差数列?an? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为( )

A.5

B.6

C.8

D. 10

2.在等比数列?an? 中, a3 ? 2, a7 ? 32 ,则公比 q =( )

A.2

B. -2

C. ±2

D. 4

3.在△ABC中,已知 a ? 8 , B ? 600 , C ? 750 ,则b=( )

A. 4 2

B. 4 3

C. 4 6

D. 32 3

4.已知| a |=4, | b |=3, a 与 b 的夹角为 60°,则| a + b |等于( )

A. 13

B. 15

C. 19

D. 37

5.已知 a =(2,3), b =(-4,7), 则 a 在 b 上的投影为( )

A. 13

B. 13 5

C. 65 5

D. 65

6.在△ABC 中,AB=3,BC= ,AC=4,则边 AC 上的高为( )

A.

B.

C.

D.3

? ? 7.在各项均为正数的等比数列 bn 中,若 b7b8 ? 3 ,则 log3 b1 ? log3 b2 ? ? log3 b14

等于( )

A.6

B.7

C.8

D.9

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8.已知向量 OA ? (4, 6), OB ? (3, 5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于( )

A. ?? ? 3 , 2 ?? ? 7 7?

B. ?? ? 2 , 4 ?? ? 7 21?

C. ?? 3 ,? 2 ?? ?7 7?

D. ?? 2 ,? 4 ?? ? 7 21?

9.在 ?ABC中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC的形状是(

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

) D.不能确定

10.数列{an} 中, an

?

0

,且满足 an

?

3an?1 3 ? 2an?1

(n

?

2)

,则数列{ 1 } 是( an

)

A. 递增等差数列

B. 递增等比数列

C.递减数列

D. 以上都不是

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3 bc , sinC=2 3 sinB,

则 A= ( ) A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

12.若非零向量 a ,b 满足 a+b ? b ,则( )

A. 2a ? ?a+b B. 2a ? ?a+b C. 2b ? a+?b D. 2b ? a+?b

二、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ? 3, C ? 2? ,则 a =



3

14.等比数列的前 n 项和为 3,前 2n 项和为 9,则前 3n 项和为_______.

15. 如右图,在 △ABC 中,?BAC ? 1200, AB ? 4, AC ? 3 ,D 是

B

边 BC 上一点, DC ? 2BD ,则 AD ? BC ?



A

D

C

第(15)题图

16.在等差数列{an}中,Sn 为它的前 n 项和,若 a1>0,S18>0,S19<0, 则当 Sn 最大时,n 的值为 .

三、解答题 (本大题共6小题,第17题10分,第18-22题每小题12分,共70分)

17. (本小题满分10分)已知?an? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0

(1)求?an? 的通项公式;

(2)若等比数列?bn? 满足 b1 ? ?8, b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求?bn? 的前n项和公式.

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18. (本小题满分 12 分)已知向量 a = (1,2) , b = (3, ?2) . (1)当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? (2)当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?
19.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a ,b,c,cosA= 5 . 13
(1)求 AB·AC ; (2)若 c-b=1,求 a 的值.
20.(本小题满分12分)已知数列?an? 的前n项和 Sn ? n2 ?10n . (1) 求数列?an? 的通项公式;
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? ? (2) 记数列 an 的前n项和为 Tn ,求 Tn .

21.(本小题满分 12 分)已知数列{an}中,a1=1,且点(an,an+1)在直线 2x-y+3=0 上. (1)求证:数列{ an+3 }是等比数列;

(2)设 bn

?

log 2 ( an

? 3)

1 ?log 2( an+1

?3)

,数列{bn}的前

n 项和为

Sn.求证: Sn

?

1 2

.

22.(本小题满分 12 分)如图所示,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于 山坡的斜度为 15°,向山顶前进 10 米后到达点 B,又从点 B 测得斜度为 α ,建筑物的高 CD 为 5 米.

(1)若? ? 30o ,求 AC 的长;

C

(2)若? ? 45o ,求此山对于地平面的倾斜角 的余弦值.
15o ?
A

αD B
E

一、选择题:

2017年春高一半期联合诊断测试 数学试题参考答案
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ACCDCB BDBAAD

二、填空题:

13. 1 ; 三、解答题:

14. 21 ;

15. ? 29 ; 3

16. 9 ;

? ? 17.解:(1)由题得:

a1?2d ??6 a1?5d ?0

,解之得:

a1 =?10 d ?2

,所以 an

?

2n ?12 .

………………5 分

(2)由(1)得: b2 ? ?24,

? q ? b2 ? 3 , b1

所以 b1 ? b2 ?

?

bn

?

?8? (1? 3n ) 1?3

?

4

?

4 ? 3n

.

………………10 分

18.解:(1)由题得: k a ? b ? (k ? 3, 2k ? 2), a ? 3b ? (10, ?4) , 由1(0 k ? 3)-4(2k ? 2)=0 ,得 k=-19,

即当 k=-19 时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直.

………………6 分

(2)由

-(4 k

?

3)-10(2k

?

2)=0

,得

k

?

1 3

,此时

k

a

?

b

=

1(a 3

?

3b),

所以当

k

?

1 3

时,向量

ka

?

b



a

?

3b

平行,且此时它们同向.

………………12 分

19.解:(1)由 cosA= 5 ,得 sinA= 12 ,

13

13

又S

ABC =

1 bc sin 2

A

?

30, 所以 bc

?

65,

所以 AB? AC=|AB||? AC|? cos A ? bc cos A ? 25 .

………………6 分

(2)由余弦定理,得:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (c ? b)2 ? 2bc ? 2bc cos A=81

所以 a ? 9 .

………………12 分

20.解:(1)当 n ?1时, a1 ? S1 ? ?9,

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?11,

又 a1= ? 9 满足上式,故 an ? 2n ?11 (n ? 1, n ? N ?) .

………………5 分

(2)令 an

?

2n

?11 ?

0, 得n

?

11 2

,?

数列{an

}

的前

5

项为负,后面各项皆为正.

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当1 ? n ? 5时,Tn ?| a1 | ? ? | an |? ?(a1 ? ? an ) ? ?Sn ? 10n ? n2
当n ? 6时,Tn ? (| a1 | ? ? | a5 |)+( | a6 | ? ? | an |) ? ?(a1 ? ? a5 ) ? (a6 ? ? an ) ? ?S5 ? Sn ? S5 ? n2 ?10n ? 50

T ? ? 综上所述, n

10n?n2 (1?n?5) n2 ?10n?50(n?6)

.

………………12 分

21.解:(1)由题得: an?1 ? 2an ? 3 ,?an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) (n ? 1) .

其中

a1

?

3

?

4

,?

an?1 ? 3 an ? 3

?

2

,

故数列{an

?

3} 是以

4

为首项,2

为公比的等比数列.

………………5 分

(2)由(1)知, an

? 3=4 ? 2n?1

?

2n?1

,则 bn

?

(n

1 ?1)(n

?

2)

?

1? n ?1

n

1 ?

2

.

? Sn ? b1 ? b2 ?

bn

?

(1 2

?

1) ? 3

(1 3

?

1) 4

?

?1? 1 ?1 2 n?2 2

?( 1 ? 1 ) n ?1 n ? 2

………………12 分

22.解:(1)当 α =30o 时, ?ABC ? 150o, ?ACB ? ?BAC ?15o ,

AC2 ? 102 ?102 ? 2?10?10? cos150o ?BC ? AB ?10 ,由余弦定理得:
? 200 ?100 3

? AC ?10 2 ? 3 ? 5 6 ? 5 2 .

………………5 分

(2)当? =450时,在 ABC中,由正弦定理可知:

BC ? AB ?sin ?BAC ? 20 ? 6 ? 2 ? 5( 6 ? 2),

sin ?ACB

4

在 BCD中,sin ?BDC ? BC ?sin ?DBC ? 3 ?1, CD

由题图可知: cos? ? sin ?ADC ? 3 ?1.

………………12 分

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