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7.1向量的线性运算


第七章 平面向量 第 1 讲 向量的线性运算 随堂演练巩固 1.如图,向量 a-b 等于 ( )

A.-2e1-4e2 C.e1-3e2 答案:D

B.-4e1-2e2 D.-e1+3e2

2.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC + CB =0, 则 OC 等于 A.2 OA - OB C.
2 3

( B.- OA +2 OB
OB



OA



1 3

D.-

1 3

OA

+

2 3

OB

答案:A 解析:依题意得 2( OC - OA )+( OB - OC )=0,所以 OC =2 OA - OB . 3.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, A. PA + PB =0 C. PB + PC =0 答案:B 解析:∵ BC + BA =2 BP ,由向量加法的平行四边形法则知 P 为 AC 中点. 如图所示.
BC

+ BA =2 BP ,则 B. PC + PA =0 D. PA + PB + PC =0

(

)

∴ PC + PA =0. 4.a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且 e1、e2 共线,则 a 与 b ( ) A.共线 B.不共线

C.可能共线,也可能不共线 D.不能确定 答案:A 解析:∵e1 与 e2 共线,则存在实数λ ,使得 e1=λ e2, ∴a=e1+2e2=(λ +2)e2,b=3e1-4e2=(3λ -4)e2. ∴a=
? ? 2
3? ? 4

b,故 a 与 b 共线.
AE

5.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点. AC =λ
AF



,其中λ ,μ ∈R,则λ +μ =__________. 答案:
4 3

解析:设 AB =a,

AD

=b,由题意可得 AC =a+b,

AE

= a+b,
2

1

AF

=a+ +μ

1 2

b, ,
1 2

又∵ AC =λ ∴a+b=λ ( =(
1 2

AE

AF

1 2

a+b)+μ (a+
1 2

b)

λ+μ)a+(λ+

μ)b.

?1 ? ? ? ? 1, ? ? ∴?2 ?? ? 1 ? ? 1. ? 2 ?

∴λ +μ =

4 3

.

课后作业夯基 1.给出以下命题: ①若两非零向量 a,b,使得 a=λ b(λ ∈R),那么 a∥b; ②若两非零向量 a∥b,则 a=λ b(λ ∈R); ③若λ ∈R,则λ a∥a; ④若λ ,μ ∈R,λ ≠μ ,则(λ +μ )a 与 a 共线. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:a∥b(b≠0) ? 存在实数λ 使得 a=λ b, ∴①②③④正确.

2.设四边形 ABCD 中,有 DC = A.平行四边形 C.等腰梯形 答案:C 解析:∵ DC =
1 2

1 2

AB

且| AD |=| BC |,则这个四边形是( B.矩形 D.菱形



AB

,

∴ DC ∥ AB ,∴AB∥CD; 且 DC≠AB,又| AD |=| BC |, ∴四边形 ABCD 为等腰梯形. 3.在平行四边形 ABCD 中, A. DB C. AB 答案:D 解析:
AB AB

- CD + BD 等于( B. AD D. AC



- CD + BD =
AB

AB

+ BD +

DC

=

AC

. )

4.在△ABC 中, A. C.
2 3
2 3

=c,

AC

=b,若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD 等于( B. c-
3
1

b+

1 3
1 3

c c

5

2 3

b
2 3 2 3 1 3

b-

D. b+
3 2 3 2 3

c

答案:A 解析:如图,
AD

=

AB

+ BD =c+

BC

=c+

(b-c)=

b+

c,

故选 A. 5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的 延长线与 CD 交于点 F,若 AC =a, BD =b,则 AF 等于( A.
1 4



a+

1 2

b

B.

2 3

a+ b
3

1

C.

1 2

a+ b
4

1

D. a+ b
3 3

1

2

答案:B 解析:如图,
AF

=

AD

+DF[TX→],由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,

∴ DF =

1 3 1

AB

.
1 2

∴ AF = a+
2

b+ ·(
3

1

1 2

a-

1 2

b)= a+ b.
3 3

2

1

6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , λ 等于( A.
2 3 1 3

CD

=

1 3

CA



CB

,则

) B.
1 3 2 3

C.-

D.-

答案:A 解析:∵ CD = CA + ∴2 CD = CA + CB + 又 AD =2 DB , ∴2 CD = CA + CB + = CA + CB + =
2 3 1 3 1 3

AD AD

, CD = CB + + BD ,

BD

,

AB

( CB - CA ) .
2 3

CA

+

4 3 1 3

CB CA

∴ CD = 即λ = .
3 2

+

CB

,

7.已知 OP 1 =a,? OP 2 =b,

P1 P



PP 2

,则 OP =__________.

答案:

?
1? ?

a+

?
1? ?

b
OP 1

解析: OP = OP 1 + P1 P = = OP 1 + =a+
?
1? ?

+

?
1? ?

P1 P2

?
1? ?

(? OP 2 - OP 1 )
1 1? ?

(b-a)=
1 1 2 1 7 2 3

a+

?
1? ?

b.

8.若 2(x- a)-
3

(b+c-3x)+b=0,其中 a,b,c 为已知向量,则未知向量

x=__________. 答案:
4 21

a-

b+ c
7 1 2

1

解析:2x- 故 x=
4 21

a-
1 7

b-
1 7

1 2

c+

3 2

x+b=0,

a-

b+

c. =a,
BC

9.在△ABC 中,
AC

AB

=b,AD 为 BC 上的中线,G 为△ABC 的重心,则

=__________. 答案:
2 3

a+ b
3

1

解析: AC =
2 3 2 3

=
1 2

2 3

AD

=

2 3

( AB + BD )

( AB +
1

BC

)

= a+ b.
3

10.在△ABC 中,AB=5,AC=5,BC=6,内角平分线交点为 O,若 AO =λ
BC

AB

+μ ?

,求λ 与μ 的和. 解:如图,AB=AC,由已知 D 为 BC 的中点,由角平分线定理知

AB BD

=
AO AD

AO OD 5 8

= ,
3 5 8

5



= ,于是 AO =

AD

= ( AB + BD )
8

5

=

5 8

( AB +
5

1 2 5 16

BC

)=

5 8

AB

+

5 16

BC

.

∴λ = ,μ =
8
5 8

. =
15 16

∴λ +μ = +

5 16

.

11.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1、e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否 存在这样的实数λ 、μ ,使向量 d=λ a+μ b 与 c 共线? 解:∵d=λ (2e1-3e2)+μ (2e1+3e2) =(2λ +2μ )e1+(-3λ +3μ )e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ +2μ )e1+(-3λ +3μ )e2=2ke1-9ke2, 由?
?2? ? 2? ? 2k , ? ? 3? ? 3 ? ? ? 9 k ,

得λ =-2μ .

故存在这样的实数λ 、μ ,只要λ =-2μ ,就能使 d 与 c 共线. 12.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点, AE =
AC
2 3

AD

, AB =a,

=b.

(1)用 a,b 表示向量 AD 、 AE 、 AF 、 BE 、 BF ; (2)求证:B、E、F 三点共线. (1)解:延长 AD 到 G,使 AD =
1 2

AC

,

连结 BG、CG,得到 所以 AC =a+b,
AD AE

ABGC,

= =

1 2 2 3

AC
AD

=
1

1 2

(a+b),
1 2

= (a+b), AF =
3

AC

=

1 2

b,

BE

= AE - AB = (a+b)-a=
3

1

1 3

(b-2a),

BF

=

AF

- AB =

1 2

b-a=
2 3

1 2

(b-2a). ,

(2)证明:由(1)可知 BE =

BF

所以 B、E、F 三点共线.


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