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黑龙江省哈尔滨市第四中学2014届高三上学期第一次月考数学理试题


哈尔滨市第四中学 2014 届高三上学期第一次月考数学理试题

命题人:高三数学备课组 考试时间:14:00---16:00

审题人:高三数学备课组 满 分:150 分

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的选项中,只有一个 选项是符合题目要求的) 1.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ>1)=p,则 P(-1<ξ<0)=( ) 1 1 A. +p B.1-p C.1-2p D. -p 2 2 2. 函数 y ? ? A. y ? 4 x

1 1 在 ( ,?2) 处的切线方程是( ) 2 x B. y ? 4 x ? 4 C. y ? 4 x ? 4

D. y ? 2 x ? 4 )

3.在复平面内,复数 z ?

1? i ( i 是虚数单位)的共轭复数 z 对应的点位于( i
D.第四象限 D.2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3 4.曲线 y=x 与直线 y=x 所围成图形的面积为( ) 1 1 A. B. C.1 3 2

5.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s (t ) ?

1 3 3 2 t ? t ? 2t ,那么速度 3 2

为零的时刻是( ) A.0 秒 B.1 秒末 C.2 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 6.若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9,则 a1+a2+…+a8 的值为( ) A.510 B.-1 C.1 D.254 7.已知函数 f ( x) ? 3x ? ax ? x ? 5 在区间[1,2]上单调递增,则 a 的取值范围是(
3 2



A. (??,5)

B. (??,5]

C. (?? ,

37 ) 4

D. (??,3]

8. 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′ (x),且函数 y=(1-x)f′ (x)的 图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)

9.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数,依次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为(

)

7 A. 10 10.

3 B. 10

3 C. 5 )

2 D. ? 5

? (?
0

1

8

1 ? x 2 ? 6 x 2 )dx =(

A.4 B.2 C.-2 D.-4 11.已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=2 3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( A.1 B. 3 C.2 D.3

)

12.对任意的实数 a、 , max{ a, b} ? ? b 记

?a , (a ? b) ( . F ( x) ? max{f ( x), g ( x)} x ? R) , 若 ?b , (a ? b)

其 中 奇 函 数 y ? f ?x ? 在 x ? 1 时 有 极 小 值 -2 , y ? g ?x ? 是 正 比 例 函 数 , 函 数

y ? f ( x)(x ? 0) 与函数 y ? g ?x ? 的图象如图所示.则下列关于函数 y ? F ?x ? 的说法
中,正确的是( ) A. y ? F ?x ? 为奇函数 B. y ? F ?x ? 有极大值 F(-1)且有极小值 F(0) C. y ? F ?x ? 的最小值为-2 且最大值为 2 D. y ? F ?x ? 在(-3,0)上为增函数

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.) 13.一枚质地均匀的硬币掷两次,已知第一次是正面,则第二次也是正面的概率为 14.若 ( x ?
3

1 n ) 展开式中只有第 6 项的系数最大,则不含 x 的项等于__________. x2

15.一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个,则其中含红球个 数的数学期望是_____ __.(用数字作答)

16.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d (b, c, d ? R) ,当 k ? (??,0) ? (4,??) 时,

f ( x) ? k ? 0 只有一个实数根;当 k ? (0,4) 时, f ( x) ? k ? 0 有 3 个相异实根,现给出下
列 4 个命题: ①函数 f (x) 有 2 个极值点; ②函数 f (x) 有 3 个极值点;

③ f (x) =4, f ' ( x) =0 有一个相同的实根; ④ f (x) =0 和 f ' ( x) =0 有一个相同的实根 其中正确命题的命题是 (请将你认为正确的序号全部填在横线上)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤)

17. (10 分) 抛掷两个骰子,当至少有一个 2 点或 3 点出现时,就说这次试验成功. (1)求一次试验中成功的概率; (2)求在 4 次试验中成功次数ξ 的概率分布列(只列式不用计算)及ξ 的数学期望与方差.

18.(12 分) 某出版社新出版一本高考复习用书,该书的成本为 5 元一本,经销过程中每本 书需付给代理商 m 元 (1 ? m ? 3) 的劳务费,经出版社研究决定,新书投放市场后定价为 x
2 元一本 (9 ? x ? 11) ,预计一年的销售量为 (20 ? x) 万本.

(1)求该出版社一年的利润 L(万元)与每本书的定价 x 的函数关系式; (2)若 m=2 时,当每本书的定价为多少元时,该出版社一年利润 L 最大,并求出 L 的最大 值.

19. (12 分)如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, F 分别是棱 BC, 1 上的点, E, CC CF=AB=2CE, AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明:AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1-ED-F 的正弦值
' 20. (12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? R) , f ( x) 是 f (x) 的导函数

2

x

' (1)解不等式 f (x) ? f ( x) ;

(2)若函数 f (x ) 有两个极值点 x1 , x 2 ,求实数 a 的取值范围

21. (12 分)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3,一旦发生,将造 成 400 万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为 45 万元和 30 万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和 0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用 (总费用=采取预 防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.) (1)求不采取任何措施下的总费用; (2)请确定预防方案使总费用最少.

a 22. (12 分)已知函数 f(x)=lnx-x. (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域内的单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为2,求实数 a 的值;

(3)试求实数 a 的取值范围,使得在区间(1,+∞)上,函数 y ? x 2 的图象恒在函数 f(x)的图象 的上方.

哈四中 2013-2014 学年度高三上学期第一次月考理科数学 试题答案 一、选择题:

二、填空题:⒔1/2 ; 三、解答题:

14.210;

⒖1.2;

⒗(1),(3),(4)

18.(12 分)1) L ? ( x ? 5 ? m)(20 ? x )2 (2) Lmax ? f (11) ? 324

19.(1)解 如图所示, 建立空间直角坐标系, A 为坐标原点.设 AB=1, 点 依题意得 D(0,2,0),

F(1,2,1),A1(0,0,4),E(1, ,0).
→ → → → → → 1 EF·A1D 易得EF=(0,, A1D=(0,2, 1), -4), 于是 cos EF,1D〉 〈 A = 2 → → |EF||A1D| 3 =- . 5 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5

3 2

20(1)a=0 无解; a ? 0 时, ?x | x ? 0, x ? 2?; a ? 0 时, ?x | 0 ? x ? 2? (2) a ?

e 2

21.①不采取预防措施时,总费用即损失期望为 400×0.3=120(万元); ②若单独采取预防措施甲, 则预防措施费用为 45 万元, 发生突发事件的概率为 1-0.9=0.1, 损失期望值为 400×0.1=40(万元),所以总费用为 45+40=85(万元); ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1- 0.85=0.15,损失期望值为 400×0.15 =60(万元),所以总费用为 30+60=90(万元); ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为 45+ 30=75(万元),发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)= 0.015,损失期望值为 400×0.015=6(万元),所以总费用为 75+6=81(万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费 用最少.


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