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n个平面最多可将空间分成多少个部分2


邯郸市一中校刊

n 个平面最多可将空间分成多少个部分
数学教师 赵新国 问题提出: 问题提出: 个平面最多可将空间分成多少个部分? 空间 n 个平面最多可将空间分成多少个部分? 问题分析: 问题分析: 显然, 个平面满足以下条件时,所分割的部分数是最多的。 显然,当这 n 个平面满足以下条件时,所分割的部分数是最多的。 个平面两两相交; 1、 这 n 个平面两两相交; 没有三个以上的平面交于一点; 2、 没有三个以上的平面交于一点; 个平面的交线任两条都不平行。 3、 这 n 个平面的交线任两条都不平行。 对于一般情况一下子不易考虑,我们不妨试着从简单的,特殊的情况入手来寻找规律。 对于一般情况一下子不易考虑,我们不妨试着从简单的,特殊的情况入手来寻找规律。设 n 个 平面分空间的部分数为 a n ,易知 当n 当n

= 1 时, a n = 2



= 2 时, a n = 4 当 n = 3 时, a n = 8 情况有些复杂,我们以一个四面体为模型来观察, 当 n = 4 时,情况有些复杂,我们以一个四面体为模型来观察,可知 a n = 15 ;
从以上几种情况,很难找出一个一般性的规律, 的值继续增大时,情况更复杂,看来这样不行。那么, 从以上几种情况,很难找出一个一般性的规律,而且当 n 的值继续增大时,情况更复杂,看来这样不行。那么,我

们把问题在进一步简单化,将空间问题退化到平面问题: 条直线最多可将平面分割成多少个部分?( ?(这 条直线中, 们把问题在进一步简单化,将空间问题退化到平面问题:n 条直线最多可将平面分割成多少个部分?(这 n 条直线中, 到平面问题 任两条不平行,任三条不交于同一点) ,设 个部分, 任两条不平行,任三条不交于同一点) 设 n 条直线最多可将平面分割成 bn 个部分,那么 , 当n 当n

= 1, 2, 3 时,易知平面最多被分为 2,4,7 个部分。 个部分。 = k 时,设 k 条直线将平面分成了 bk 个部分,接着当添加上第 k + 1 条直线时,这条直线与前 k 条直线相交 个部分, 条直线时, + 1 个区域,故 个区域,

个交点, 而每一段将它所在的区域一分为二, 有 k 个交点,这 k 个交点将第 k 条直线分割成 n 段,而每一段将它所在的区域一分为二,从而增加了 k 得递推关系式

bk +1 = bk + (k + 1) ,即 bk +1 ? bk = k + 1
显然当 k

= 1 时, b1 = 2 ,当 k = 1,2, L , n ? 1 时,我们得到 n ? 1 个式子: 个式子:

b2 ? b1 = 2 b3 ? b2 = 3 b4 ? b3 = 4
……

bn ? bn?1 = n

1 2 1 (n + n + 2) ,即 n 条直线最多可将平面分割成 (n 2 + n + 2) 个部分。 个部分。 2 2 我们来归纳一下解决这个问题的思路:从简单情形入手, 的递推关系,最后得出结论。 我们来归纳一下解决这个问题的思路:从简单情形入手,确定 bk 与 bk +1 的递推关系,最后得出结论。
个式子相加, 将这 n ? 1 个式子相加,得 bn

=

现在,我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题, 个部分, 现在,我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题,设 k 个平面将空间分割成 a k 个部分,再添加上第 k

+1

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教 育 科 研

JiaoYuKeYan
个平面, 条交线, 条交线,任意三条不共点,任意两条不平行, 个平面,这个平面与前 k 个平面相交有 k 条交线,这 k 条交线,任意三条不共点,任意两条不平行,因此这第 k 个部分。 平面就被这 k 条直线分割成 bk 个部分。 个部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以, 而这 bk 个部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以,添加上这第 k 个部分。 平面后就把原有的空间数增加了 bk 个部分。由此的递推关系式

+ 1个 + 1个

? a k = bk 当 k = 1,2, L , n ? 1 ,时,我们得到如下 n ? 1 个关系式 a 2 ? a1 = b1
即 a k +1

a k +1 = a k + bk ,

a 3 ? a 2 = b2
……

a n ? a n ?1 = bn ?1
个式子相加, 将这 n ? 1 个式子相加,得

a n = a1 + (b1 + b2 + L + bn ?1 )

因为

bn =

1 2 (n + n + 2) , a1 = 2 2

所以

1 1 ?1 a n = 2 + ? (12 + 1 + 2) + (2 2 + 2 + 2) + L + (n 2 + n + 2) 2 2 ?2 1 { (12 + 2 2 + L + (n ? 1) 2 2

]

=2+

[

] + [ (1 + 2 + L (n ? 1) ] + 2(n ? 1) }

= n +1+

1 ?1 1 ? 6 (n ? 1)n(2n ? 1) + 2 (n ? 1)n 2? 1 (n ? 1)n(n + 1) 6

]

= n +1+

n 3 + 5n + 6 = 6 1 3 (n + 5n + 6) 个部分。 个部分。 6

问题的解:由上述分析和推导可知, 问题的解:由上述分析和推导可知,n 个平面最多可将平面分割成 巩固练习: 巩固练习: 条直线可将平面分成几个区域? 1、①平面上 3 条直线可将平面分成几个区域? 个平面可将空间分成几个部分? ②空间 3 个平面可将空间分成几个部分?

个平面最多可将空间分成几个部分?( ?(下转递 ③空间 5 个平面最多可将空间分成几个部分?(下转递 16 页) --36--


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