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数学必修ⅰ北师大版1.3.2全集与补集课件._图文

3.2
【学习要求】

全集与补集

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1.了解全集、补集的意义; 2.正确理解补集的概念,正确理解符号“?UA”的涵义; 3.会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题. 【学法指导】 通过引入实例,进而对实例的分析,发现寻找其一般结果,归纳 其普遍规律;通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的补集及 集合的综合运算,进一步树立数形结合的思想.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.全集的定义:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某 个给定集合的______ 子集 ,这个给定的集合叫作全集,常用符

本 U 表示. 号___ 课 时 栏 2.补集的定义:设 U 是全集,A 是 U 的一个子集(即 A?U), 目 A的元素 组成的集合,叫作 U 中子集 则由 U 中所有不属于 ______________ 开 关

{x|x∈U,且 x?A}. A 的补集(或余集),记作?UA.即?UA=_______________ U , 3. 补集的基本性质: ?U(?UA)=___ A∪(?UA)=___ A∩(?UA) A ,

? , =___ ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB), ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).

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问题情境:相对某个集合 U,其子集中的元素是 U 中的一部 分,那么剩余的元素也应构成一个集合,这两个集合对于 U 构成了相对关系,这就验证了 “ 事物都是对立和统一的关 系”.集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是 部分与整体的关系. 这就是本节研究的内容——全集和补集.

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探究点一 问题 1

全集、补集的概念

考察下列集合 A,B,C 之间有怎样的关系?

(1)U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={4,5}; (2)U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,3,4},B={5,6,7}.
答 集合 A 和集合 B 的元素合起来就是集合 U 的全部元素.
问题 2 像问题 1 中的集合 U, 含有我们所研究问题中涉及的所 有元素,那么就称这个集合为全集,那么怎样定义全集呢?
答 在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的 子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号 U 表示.

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问题 3

像问题 1 中的集合 B 是由集合 U 中所有不属于集合

A 的元素组成的集合,我们说 B 是 A 对于全集 U 的补集, 那么如何定义补集呢?
答 设 U 是全集,A 是 U 的一个子集(即 A?U),则由 U 中 所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫作 U 中子集 A 的补集(或 余集),简称集合 A 的补集,记作?UA.即?UA={x|x∈U,且 x A}.

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问题 4


如何用 Venn 图来表示集合?UA?
Venn 图如下图中的阴影部分

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问题 5 ?U(?UA)=?,A∪(?UA)=?,A∩(?UA)=?.
答 补集的基本性质?U(?UA)=A,A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?.

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例 1

(1)设 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3},B=

{3,4,5,6},求?UA,?UB. (2)设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角形},B ={x|x 是钝角三角形},求 A∩B,?U(A∪B).
解 (1) 根 据 题 意 可 知, U = {1,2,3,4,5,6,7,8} , 所 以 ? UA = {4,5,6,7,8},?UB={1,2,7,8}. (2)根据三角形的分类可知 A∩B=?,A∪B={x|x 是锐角三角 形或钝角三角形},?U(A∪B)={x|x 是直角三角形}.

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小结

研究补集必须是在全集的条件下研究,而全集因研究

问题不同而异,全集常用 U 来表示.

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跟踪训练 1


已知 A={0,2,4,6},?SA={-1,-3,1,3},?SB

={-1,0,2},用列举法写出集合 B.
∵A={0,2,4,6},?SA={-1,-3,1,3},

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∴S={-3,-1,0,1,2,3,4,6}. 而?SB={-1,0,2}, ∴B=?S(?SB)={-3,1,3,4,6}.

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探究点二 例2

全集、补集的应用

设全集为 R,A={x|x<5},B={x|x>3}.求:

(1)A∩B;(2)A∪B;(3)?RA,?RB;(4)(?RA)∩(?RB); (5)(?RA)∪(?RB);(6)?R(A∩B);(7)?R(A∪B). 并指出其中相等的集合.
解 (1)在数轴上,画出集合 A 和 B(如图).

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A∩B={x|x<5}∩{x|x>3}={x|3<x<5};

(2)A∪B={x|x<5}∪{x|x>3}=R;
(3)在数轴上,画出集合?RA 和?RB(如图).

?RA={x|x≥5},?RB={x|x≤3};

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(4)(?RA)∩(?RB)={x|x≥5}∩{x|x≤3}=?; (5)(?RA)∪(?RB)={x|x≥5}∪{x|x≤3}={x|x≤3,或 x≥5}; (6)?R(A∩B)={x|x≤3,或 x≥5};
(7)?R(A∪B)=?. 其中相等的集合是?R(A∩B)=(?RA)∪(?RB); ?R(A∪B)=(?RA)∩(?RB).

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小结

求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借

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助于数轴,此法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的 画法及取到与否,即数轴上的点是实心点还是空心点.

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跟踪训练 2 已知全集 U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1}, B={x|-1≤x<1}.求?UA,?UB,(?UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB), ?U(A∩B),?U(A∪B),并指出其中相等的集合.
解 ?UA={x|-1≤x≤3},?UB={x|-5≤x<-1 或 1≤x≤3},
(?UA)∩(?UB)={x|1≤x≤3}, (?UA)∪(?UB)={x|-5≤x≤3}, ?U(A∩B)={x|-5≤x≤3},?U(A∪B)={x|1≤x≤3}, 相等的集合: (?UA)∩(?UB)=?U(A∪B), (?UA)∪(?UB)=?U(A∩B).

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探究点三

集合交、并、补的综合运算

问题 1 求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的? 答

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问题 2


求不等式解集的补集时需注意什么问题?

(1)实点变虚点、虚点变实点.如 A={x|-1≤x<5},则

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?RA={x|x<-1,或 x≥5};

(2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时,要防止漏解. ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 如 A= x x <0 ,?RA≠ x x ≥0?={x|x>0}. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 应先求出 A={x|x<0},再求?RA={x|x≥0}.

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例3


已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<3}, 若 A∪(?RB)=R,
∵B={x|1<x<3},∴?RB={x|x≤1 或 x≥3},

求实数 a 的取值范围.

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因而要使 A∪(?RB)=R,结合数轴分析(如图),

可得 a≥3.

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小结

与集合交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数

轴分析法分析求解.

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跟踪训练 3

已知全集 U = R ,集合 A = {x|x< - 1} , B =

{x|2a<x<a+3},且 B??RA,求 a 的取值范围.
解 由题意得?RA={x|x≥-1}. (1)若 B=?,则 a+3≤2a,即 a≥3,满足 B??RA.

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1 (2)若 B≠?, 则由 B??RA, 得 2a≥-1 且 2a<a+3, 即- ≤a<3. 2 1 综上可得 a≥-2.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

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1.设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于( C ) A.U C.{3,5,6} B.{1,3,5} D.{2,4,6}

解析 利用集合的补集运算求解. ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴?UM={3,5,6}.

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2.已知全集 U=R,集合 M={x|x2-4≤0},则?UM 等于( C ) A.{x|-2<x<2} C.{x|x<-2 或 x>2} B.{x|-2≤x≤2} D.{x|x≤-2 或 x≥2}

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解析 ∵M={x|-2≤x≤2},∴?UM={x|x<-2 或 x>2}.

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3.设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(?UN)={2,4},则 N 等于 A.{1,2,3} C.{1,4,5}
解析

( B ) B.{1,3,5} D.{2,3,4}

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由 M∩(?UN)={2,4}可得集合 N 中不含有元素 2,4,集

合 M 中含有元素 2,4,故 N={1,3,5}.

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y-3 4.若全集 U={(x,y)|x,y∈R},集合 M={(x,y)| =1}, x- 2 {(2,3)} N={(x,y)|y≠x+1},则(?UM)∩(?UN)=________.
解析 集合 M,N 都是点集,集合 M 中的关系式可变为 y=x +1(x≠2),它的几何意义是直线 y=x+1 上去掉点(2,3)后所 有点的集合;集合 N 表示直线 y=x+1 外所有点的集合.可 知?UM={(x,y)|y≠x+1}∪{(2,3)},表示直线 y=x+1 外所 有点及直线上点(2,3)的集合;?UN={(x,y)|y=x+1},表示 直线 y=x+1 上所有点的集合.从而可得(?UM)∩(?UN)只有 一个元素(2,3).

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1. 补集与全集是两个密不可分的概念, 同一个集合在不同的 全集中的补集是不同的, 不同的集合在同一个全集中的补 集也不同.另外全集是一个相对概念. 2.符号?UA 存在的前提是 A?U,这也是解有关补集问题的 一个隐含条件, 充分利用题目中的隐含条件也是我们解题 的一个突破口. 3.补集的几个性质:?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A.

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