数学必修ⅰ北师大版1.3.2全集与补集课件._图文
3.2
【学习要求】
全集与补集
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1．了解全集、补集的意义； 2．正确理解补集的概念，正确理解符号“?UA”的涵义； 3．会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题． 【学法指导】 通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳 其普遍规律；通过观察和类比，借助 Venn 图理解集合的补集及 集合的综合运算，进一步树立数形结合的思想.
填一填· 知识要点、记下疑难点
1．全集的定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某 个给定集合的______ 子集 ，这个给定的集合叫作全集，常用符
本 U 表示． 号___ 课 时 栏 2．补集的定义：设 U 是全集，A 是 U 的一个子集(即 A?U)， 目 A的元素 组成的集合，叫作 U 中子集 则由 U 中所有不属于 ______________ 开 关
{x|x∈U，且 x?A}． A 的补集(或余集)，记作?UA.即?UA＝_______________ U ， 3． 补集的基本性质： ?U(?UA)＝___ A∪(?UA)＝___ A∩(?UA) A ，
? ， ＝___ ?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)， ?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB).
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问题情境：相对某个集合 U，其子集中的元素是 U 中的一部 分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于 U 构成了相对关系，这就验证了 “ 事物都是对立和统一的关 系”．集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是 部分与整体的关系． 这就是本节研究的内容——全集和补集．
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探究点一 问题 1
全集、补集的概念
考察下列集合 A，B，C 之间有怎样的关系？
(1)U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{4,5}； (2)U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}．
答 集合 A 和集合 B 的元素合起来就是集合 U 的全部元素．
问题 2 像问题 1 中的集合 U， 含有我们所研究问题中涉及的所 有元素，那么就称这个集合为全集，那么怎样定义全集呢？
答 在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的 子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号 U 表示．
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问题 3
像问题 1 中的集合 B 是由集合 U 中所有不属于集合
A 的元素组成的集合，我们说 B 是 A 对于全集 U 的补集， 那么如何定义补集呢？
答 设 U 是全集，A 是 U 的一个子集(即 A?U)，则由 U 中 所有不属于 A 的元素组成的集合， 叫作 U 中子集 A 的补集(或 余集)，简称集合 A 的补集，记作?UA.即?UA＝{x|x∈U，且 x A}．
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问题 4
答
如何用 Venn 图来表示集合?UA?
Venn 图如下图中的阴影部分
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问题 5 ?U(?UA)＝？，A∪(?UA)＝？，A∩(?UA)＝？.
答 补集的基本性质?U(?UA)＝A，A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.
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例 1
(1)设 U＝{x|x 是小于 9 的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝
{3,4,5,6}，求?UA，?UB. (2)设全集 U＝{x|x 是三角形}，A＝{x|x 是锐角三角形}，B ＝{x|x 是钝角三角形}，求 A∩B，?U(A∪B)．
解 (1) 根 据 题 意 可 知， U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ， 所 以 ? UA ＝ {4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}． (2)根据三角形的分类可知 A∩B＝?，A∪B＝{x|x 是锐角三角 形或钝角三角形}，?U(A∪B)＝{x|x 是直角三角形}．
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小结
研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究
问题不同而异，全集常用 U 来表示．
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跟踪训练 1
解
已知 A＝{0,2,4,6}，?SA＝{－1，－3,1,3}，?SB
＝{－1,0,2}，用列举法写出集合 B.
∵A＝{0,2,4,6}，?SA＝{－1，－3,1,3}，
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∴S＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}． 而?SB＝{－1,0,2}， ∴B＝?S(?SB)＝{－3,1,3,4,6}．
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探究点二 例2
全集、补集的应用
设全集为 R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}．求：
(1)A∩B；(2)A∪B；(3)?RA，?RB；(4)(?RA)∩(?RB)； (5)(?RA)∪(?RB)；(6)?R(A∩B)；(7)?R(A∪B)． 并指出其中相等的集合．
解 (1)在数轴上，画出集合 A 和 B(如图)．
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A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3<x<5}；
(2)A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R；
(3)在数轴上，画出集合?RA 和?RB(如图)．
?RA＝{x|x≥5}，?RB＝{x|x≤3}；
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(4)(?RA)∩(?RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝?； (5)(?RA)∪(?RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3，或 x≥5}； (6)?R(A∩B)＝{x|x≤3，或 x≥5}；
(7)?R(A∪B)＝?. 其中相等的集合是?R(A∩B)＝(?RA)∪(?RB)； ?R(A∪B)＝(?RA)∩(?RB)．
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小结
求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借
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助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的 画法及取到与否，即数轴上的点是实心点还是空心点．
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跟踪训练 2 已知全集 U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}， B＝{x|－1≤x<1}．求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)， ?U(A∩B)，?U(A∪B)，并指出其中相等的集合．
解 ?UA＝{x|－1≤x≤3}，?UB＝{x|－5≤x<－1 或 1≤x≤3}，
(?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}， (?UA)∪(?UB)＝{x|－5≤x≤3}， ?U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}，?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}， 相等的集合： (?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)， (?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．
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探究点三
集合交、并、补的综合运算
问题 1 求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的？ 答
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问题 2
答
求不等式解集的补集时需注意什么问题？
(1)实点变虚点、虚点变实点．如 A＝{x|－1≤x<5}，则
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?RA＝{x|x<－1，或 x≥5}；
(2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时，要防止漏解． ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 如 A＝ x x <0 ，?RA≠ x x ≥0?＝{x|x>0}． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 应先求出 A＝{x|x<0}，再求?RA＝{x|x≥0}．
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例3
解
已知集合 A＝{x|x<a}， B＝{x|1<x<3}， 若 A∪(?RB)＝R，
∵B＝{x|1<x<3}，∴?RB＝{x|x≤1 或 x≥3}，
求实数 a 的取值范围．
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因而要使 A∪(?RB)＝R，结合数轴分析(如图)，
可得 a≥3.
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小结
与集合交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数
轴分析法分析求解．
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跟踪训练 3
已知全集 U ＝ R ，集合 A ＝ {x|x< － 1} ， B ＝
{x|2a<x<a＋3}，且 B??RA，求 a 的取值范围．
解 由题意得?RA＝{x|x≥－1}． (1)若 B＝?，则 a＋3≤2a，即 a≥3，满足 B??RA.
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1 (2)若 B≠?， 则由 B??RA， 得 2a≥－1 且 2a<a＋3， 即－ ≤a<3. 2 1 综上可得 a≥－2.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
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1．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM 等于( C ) A．U C．{3,5,6} B．{1,3,5} D．{2,4,6}
解析 利用集合的补集运算求解． ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴?UM＝{3,5,6}．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2．已知全集 U＝R，集合 M＝{x|x2－4≤0}，则?UM 等于( C ) A．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2 或 x>2} B．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2 或 x≥2}
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解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?UM＝{x|x<－2 或 x>2}．
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3．设全集 U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则 N 等于 A．{1,2,3} C．{1,4,5}
解析
( B ) B．{1,3,5} D．{2,3,4}
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由 M∩(?UN)＝{2,4}可得集合 N 中不含有元素 2,4，集
合 M 中含有元素 2,4，故 N＝{1,3,5}．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
y－3 4．若全集 U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合 M＝{(x，y)| ＝1}， x－ 2 {(2,3)} N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则(?UM)∩(?UN)＝________.
解析 集合 M，N 都是点集，集合 M 中的关系式可变为 y＝x ＋1(x≠2)，它的几何意义是直线 y＝x＋1 上去掉点(2,3)后所 有点的集合；集合 N 表示直线 y＝x＋1 外所有点的集合．可 知?UM＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}，表示直线 y＝x＋1 外所 有点及直线上点(2,3)的集合；?UN＝{(x，y)|y＝x＋1}，表示 直线 y＝x＋1 上所有点的集合．从而可得(?UM)∩(?UN)只有 一个元素(2,3)．
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练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1． 补集与全集是两个密不可分的概念， 同一个集合在不同的 全集中的补集是不同的， 不同的集合在同一个全集中的补 集也不同．另外全集是一个相对概念． 2．符号?UA 存在的前提是 A?U，这也是解有关补集问题的 一个隐含条件， 充分利用题目中的隐含条件也是我们解题 的一个突破口． 3．补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A.
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