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2013届高考数学一轮复习讲义:第七章 7.2 一元二次不等式及其解法


一轮复习讲义

一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集为: ①当 a>0 时,解集为____________. ②当 a<0 时,解集为____________.
? ? ? b ?x?x< a ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? b ?x?x> a ? ? ?

? ? ? ? ?

2.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右端化为 0,判断二次项系数的符号. (2)求出相应一元二次方程的根.
x轴的交点情况 (3)利用二次函数的图象与____________确定一元

二次不等式的解集.

要点梳理
判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根
2

忆一忆知识要点

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表: Δ>0 Δ=0 Δ<0

有两相异 实根 x1,x2 (x1<x2)

有两相等实 根 x1=x2 b =- 2a 没有实数根

两根之外大 于零,两根 之间小于零

要点梳理
ax2+bx+ c>0(a>0)的解 集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

忆一忆知识要点

(-∞,x1) ∪(x2,+∞)

? b? ?-∞,- ? 2a? ?


? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

R

(x1,x2)

?

?

一元二次不等式的解法
例 1 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解 (1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以

x1=1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根, 且 a>0. b>1 由根与系数的关系, 3 ? 1+b=a, ?a=1, ? ? 得? 解得? ?b=2. ? ?1×b=2. a ? (2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0,
即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c};

变式题

解关于 x 的不等式 x2-x+a>0.

例2

解关于 x 的不等式:ax2-(2a+1)x+2<0.

[解答] 不等式ax2-(2a+1)x+2<0, (2)当 a=0 时,不等式即-x+2<0.此时不等式的解集为(2, 即(ax-1)(x-2)<0. +∞). ? ? 1? 1? 1 ?x- (1)当a>0时,不等式可以化为?x-a?(x-2)<0. a?(x-2)>0.由于 <2,故 (3)当 a<0 时,不等式可以化为 a ? ? ? ? ? ? 1? 1? 1 1 不等式的解集为?-∞,a?∪(2,+∞). ?2, ?; ①若0<a< ,则a>2,此时不等式的解集为 ? ? a? 2 ? ? 1? 1 ? 综上所述:当 a<0 <0,不等式的解集为?; ? ②若a= ,则不等式为(x-2)2时,不等式的解集为?-∞,a?∪(2,+∞); 2 1 ?1 ? 当 a=0 时,不等式的解集为(2,+∞);当 0<a< 时,不等式的 1 1 2 ③若a> ,则a<2,此时不等式的解集为?a,2?. 2 ? ? ? 1? 1 1
解集为?2,a?;当 a= 时,不等式的解集为? ;当 a> 时,不等 2 2 ? ? ?1 ? 式的解集为?a,2?. ? ?

要点梳理
5.分式不等式与一元二次不等式的关系:
(1)设 a ? b,
x? a x?b ? 0 ? ( x ? a )( x ? b ) ? 0;

? f ( x)g( x) ≥ 0 (2) ≥ 0 ? ? g( x) ? g( x) ? 0 f (x)

例、不等式

x?

2 x ?1

? 2

的解集是(

) (B) ( ? ? , ? 1) ? (0,1) (D) ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? )

(A) ( ? 1, 0 ) ? (1, ? ? ) (C) ( ? 1, 0) ? (0,1)
例、设函数
? 2 ? x ? 1, x ? 0 , ? f (x) ? ? 1 , ?x 2 x ? 0 ?

若 f (x

0

)?1

,则 x0 的取值范围是

A. (-1,1)

B. (-1,+∞)

C. (-∞,-2)∪(0,+∞)D. (-∞,-1)∪(1,∞)
?2x-1? 1 ? (理)(2010· 重庆市)不等式? >2- 的解集是( ? x ? x ? ?

)

A.{x|0<x<2} C.{x|1<x<2}

1 B.{x|0<x< } 2 1 D.{x|x> } 2

要点梳理
? 6.绝对值不等式 (1)形如|f( x)|<g(x),|f (x) |>g(x) 型不等式
①|f (x) |<g (x) ?-g (x) <f (x) <g (x) ②|f (x) |>g (x) ?f (x) >g (x) 或f (x) <-g (x)

(2) 含两个绝对值的不等式
| f ( x ) |<| g ( x ) | ? f ( x ) ? g ( x ) ? [ f ( x ) ? g ( x )][ f ( x ) ? g ( x )] <0
2 2

解不等式(1)| x -1|<| x + a |; (2)|x-2|+|x+3|>5

若不等式| x -4|+|3- x |< a 的解集为空集,求 a 的取值范围。

解题是一种实践性技能,就像游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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