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2012清华大学保送生数学试题及部分解答


二、解答题 1. y ?

1 2 x 与y ? x ? 4 围成区域中有矩形 ABCD,且 A、B 在抛物线上,D 在直线上,其中 B 在 y 轴右 2

侧,且 AB=2t(t>0) (1)当 AB 与 x 轴平行时,求矩形 ABCD 面积 S(t)的函数表达式; (2)当边 CD 与 y=x+4 重合时,求矩形 ABCD 面积的最大值。

2.函数 f ? x ? ? 2 ? sin 2 x ?

? ? ?

3? ? cos x ? sin 3 x, x ? ? 0, 2? ? 2 ? ?

(1)求函数的最大值和最小值; (2)求方程 f ? x ? ? 3 的解。

ex ?1 3. f ? x ? ? ln , a1 ? 1, an?1 ? f ? an ? x
(1)求证: e x ? e ? 1 ? 0 恒成立;
x x

(2)试求 f ? x ? 的单调区间; (3)求证: ?an ? 为递减数列,且 an ? 0 恒成立。

4.在 ?AOB 内(含边界) ,其中 O 为坐标原点,A 为 y 轴正方向,B 在 x 轴正向,且有 OA=OB=2, (1)用方程表示 ?AOB 的区域。 (2)求证:在 ?AOB 内的任意的 11 个点,总可以分成两组,使一组的横坐标之和不大于 6,另一组的纵 坐标之各不大于 6。


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