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1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积


1.1.6棱柱、棱锥、棱台和 球的表面积

一.直棱柱的表面积
S直棱柱侧 ? Ch ? 底面周长? 侧棱长

S直棱柱侧 ? a1h ? a2 h ? ? ? an h ? Ch

二.正棱锥的表面积
正棱锥的展开图

h

c

h’

S正棱锥侧

1 1 ? ch' ? ? 底面周长? 斜高 2 2

三. 正棱台的表面积 正棱台的侧面展开图:
a'
a`

h

h'
h`

a

a

1 11 1 S正棱台侧 S正棱台侧 ? ? ? ?? n?ca' h'a ? ? h' ? ? ?na' ? na??h' c' ? ? ? ? ? ? 两底面周长和 ? 斜高 2 22 2

正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系:

c’=c

c’=0

S正棱柱侧 ? ch

S 正棱台侧

1 ? ?c'?c ?h' 2

S 正棱锥侧

1 ? ch' 2

注:全面积(或表面积)指侧面积加底面面积 即S全(表)面积 ? S侧 ? S底

四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 底面半径为r,母线长为l,则侧面积

S圆柱侧=2πrl.
O′

O

圆柱、圆锥和圆台的侧面积的关系:
r
l

S圆 柱 侧 ? cl ? 2? rl
c

c' ? c
c'

c
l

r`

S圆台侧

1 ? ?c ? c'? l ? ? ?r ? r '?l 2

r
l

c'? 0
c

r

1 S圆 锥 侧 ? cl ? ? rl 2

五.球的表面积

S球=4πR2

球面面积(也就是球的表面积)等于它 的大圆面积的4倍, 即S球=4πR2,其中R为球的半径.

例1. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm, 高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧 面积及全面积.
P

D O A B E

C

例2. 直平行六面体的底面是菱形,两个 对角面面积分别为Q1,Q2,求该直平行 六面体的侧面积。

例3. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面,它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积.

练习题:
1. 将一个边长为a的正方体,切成27个全 等的小正方体,则表面积增加了( B )

(A)6a2
(C)18a2

(B)12a2
(D)24a2

2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是 正四面体的顶点,则正方体的表面积与此

正四面体的表面积的比值为( B )
(A) 2
6 (C) 2

(B) 3 (D) 3
3

3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥,底 面边长为a,该三棱锥的全面积是( A ) (A)
3? 3 2 a 4 2 a
2

3 2 (B) a 4

(C)3 ? 3

(D) 3 ? (
2

3 2 )a 4

4. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为( A )

(A)2:π (B)3:π
(C)4:π (D)6:π

5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 是2 和4,高是2,则这个棱台的侧面积等



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