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2016-2017学年江苏省苏州市立达中学八年级数学上期中试卷.doc

2016-2017 学年江苏省苏州市立达中学八年级(上)期中数 学试卷
一、单项选择题(共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分) 1.下列图形中,轴对称图形的是( A. B. ) C. D. )

2.平面直角坐标系内一点 P(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是( A.(3,﹣2) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3)

D.(2,﹣3) )

3.如图,OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥DA 于点 D,PD=2,则 P 点到 OB 的距离是(

A.1

B.2

C .3 )

D.4

4.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( A.a=1,b=2,c=3

B.a=2,b=3,c=4 C.a=3,b=4,c=5

D.a=4,b=5,c=6

5.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边 AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC 折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 BE 的长为( )

A.4cm

B.5cm

C.6cm

D.10cm )

6.已知点 P(a﹣1,2a+3)关于 x 轴的对称点在第三象限,则 a 的取值范围是( A.﹣ <a<1 B.﹣1<a< C.a<1 D.a>﹣

7.已知一等腰三角形的腰长为 5,底边长为 4,底角为 β.满足下列条件的三角形不一定与 已知三角形全等的是( )

A.两条边长分别为 4,5,它们的夹角为 β

B.两个角是 β,它们的夹边为 4 C.三条边长分别是 4,5,5 D.两条边长是 5,一个角是 β 8.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG,△ADG 和△AED 的面 积分别为 50 和 38,则△EDF 的面积为( )

A.8

B.12

C .4

D.6

二、填空题(共有 10 小题,13 空,每空 2 分,共 26 分) 9.月球距离地球平均为 384000000 米,用科学记数法表示其结果是 精确到 位. ,﹣8 的立方根为 . cm. , ﹣1 的相反数是 . ,近似数 3.06×10
5

10. 9 的算术平方根是 11.如果

+(y+3)2=0,则 x+y=

12.等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 4cm,则它的周长是

13.坐标平面上有一点 A,且点 A 到 x 轴的距离为 3,点 A 到 y 轴的距离为 2.若 A 点在 第二象限,则点 A 坐标是 .

14.已知点 M(3,2)与点 N(x,y)在同一条平行于 x 轴的直线上,且点 N 到 y 轴的距 离为 5,则点 N 的坐标为 .

15.如图,Rt△ABC,∠ACB=90° ,以三边为边长向外作正方形,64、400 分别为所在正方 形的面积,则图中字母 S 所代表的正方形面积是 .

16.如图所示,△ABC 中,BC 的垂直平分线交 AB 于点 E,若△ABC 的周长为 10,BC=4, 则△ACE 的周长是 .

17.如图,有一块四边形花圃 ABCD,∠ADC=90° ,AD=4m,AB=13m,BC=12m,DC=3m, 该花圃的面积为 m2.

18.如图,已知:∠MON=30° ,点 A1、A2、A3 在射线 ON 上,点 B1、B2、B3…在射线 OM 上, △A1B1A2、 △A2B2A3、 △A3B3A4…均为等边三角形, 若 OA1=a, 则△A6B6A7 的边长为 .

三、解答题(共 9 题,共 58 分) 19.求下列各式中 x 的值.
2 (1)x ﹣ =0 3 (2)﹣3(x+1) =24.

20.已知 5a+2 的立方根是 3,3a+b﹣1 的算术平方根是 4,c 是 的平方根.

的整数部分,求 3a﹣b+c

21.已知△ABC 中,∠BAC=130° ,BC=26,AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F,与 AB、AC 分别交于点 D、G.求: (1)∠EAF 的度数. (2)求△AEF 的周长.

22.如图,一个高 16m,底面周长 8m 的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为了减小坡 度,要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端,问登梯至少多长?

23.在平面直角坐标系 xOy 中,己知 A(﹣1,5),B(4,2),C(﹣1,0)三点. (1) 点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标为 点 C 关于 y 轴的对称点 C′的坐标为 . , 点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为 ,

(2)在图中画出△A′B′C′,并求它的面积.

24.如图,△ABC 中,∠ACB=90° ,以 AC 为底边作等腰三角形△ACD,AD=CD,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 F,DE 与 AB 相交于点 E,连接 CE. (1)求证:AE=CE=BE; (2)若 AB=15cm,BC=9cm,点 P 是射线 DE 上的一点.则当点 P 为何处时,△PBC 的周 长最小,并求出此时△PBC 的周长.

25.先阅读下列一段文字,在回答后面的问题. 已知在平面内两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),其两点间的距离公式 ,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴 或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|. (1)已知 A(2,4)、B(﹣3,﹣8),试求 A、B 两点间的距离; B 在平行于 y 轴的直线上, (2)已知 A、 点 A 的纵坐标为 5, 点 B 的纵坐标为﹣1, 试求 A、 B 两点间的距离. (3)已知一个三角形各顶点坐标为 A(0,6)、B(﹣3,2)、C(3,2),你能判定此三 角形的形状吗?说明理由. 26.如图,在△ABC 中,∠ABC=45° ,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D,E,F 为 BC 中 点,BE 与 DF,DC 分别交于点 G,H,∠ABE=∠CBE. (1)线段 BH 与 AC 相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;
2 2 2 (2)求证:BG ﹣GE =EA .

27.操作探究: 数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图 1 所示的长方形纸条 ABCD,其中 AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段 MN,将纸片沿 MN 折叠,MB 与 DN 交于点 K,得到△MNK.如图 2 所示:

探究: (1)若∠1=70° ,∠MKN= ° ; 三角形,请说明理由;

(2)改变折痕 MN 位置,△MNK 始终是 应用:

(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时,发现 KN 边上的高始终是个不变的值.根据 这一发现,他很快研究出△KMN 的面积最小值为 ,此时∠1 的大小可以为 (4)小明继续动手操作,发现了△MNK 面积的最大值.请你求出这个最大值. °

2016-2017 学年江苏省苏州市立达中学八年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、单项选择题(共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分) 1.下列图形中,轴对称图形的是( A. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,故此选项错误; C、不是轴对称图形,故此选项错误; D、是轴对称图形,故此选项正确. 故选:D. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分 折叠后可重合. B. ) C. D.

2.平面直角坐标系内一点 P(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是( A.(3,﹣2) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3)



D.(2,﹣3)

【考点】关于原点对称的点的坐标. 【专题】常规题型. 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数解答. 【解答】解:点 P(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,﹣3). 故选:D. 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征,熟记特征是解题的关键.

3.如图,OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥DA 于点 D,PD=2,则 P 点到 OB 的距离是(



A.1

B.2

C .3

D.4

【考点】角平分线的性质. 【分析】可过点 P 作 PE⊥OB,由角平分线的性质可得,PD=PE,进而可得出结论. 【解答】解:如图,过点 P 作 PE⊥OB, ∵OC 是∠AOB 的平分线,点 P 在 OC 上,且 PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PE=PD,又 PD=2, ∴PE=PD=2. 故选 B.

【点评】本题考查了角平分线的性质;要熟练掌握角平分线的性质,即角平分线上的点到角 两边的距离相等.

4.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( A.a=1,b=2,c=3

) D.a=4,b=5,c=6

B.a=2,b=3,c=4 C.a=3,b=4,c=5

【考点】勾股定理的逆定理. 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断.
2 2 2 【解答】解:(A)c =9,a +b =5,故 A 不是直角三角形, 2 2 2 (B)c =16,a +b =13,故 B 不是直角三角形, 2 2 2 (C)c =25,a +b =25,故 C 是直角三角形, 2 2 2 (D)c =36,a +b =41,故 D 不是直角三角形.

故选(C) 【点评】本题考查勾股定理的逆定理,注意是最长边的平方要等于另外两条边的平方和.

5.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边 AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC 折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 BE 的长为( )

A.4cm

B.5cm

C.6cm

D.10cm

【考点】翻折变换(折叠问题). 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长,再由图形折叠的性质可知,AE=BE,故可得出结 论. 【解答】解:∵△ABC 是直角三角形,两直角边 AC=6cm、BC=8cm, ∴AB= = =10cm,

∵△ADE 由△BDE 折叠而成, ∴AE=BE= AB= ×10=5cm. 故选:B. 【点评】本题考查的是翻折变换,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形 的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键.

6.已知点 P(a﹣1,2a+3)关于 x 轴的对称点在第三象限,则 a 的取值范围是( A.﹣ <a<1 B.﹣1<a< C.a<1 D.a>﹣



【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标;解一元一次不等式组. 【分析】根据题意可得 P 在第二象限,再根据第二象限内点的坐标符号可得 再解不等式组即可. 【解答】解:由题意得: 由①得:a<1, 由②得:a>﹣ , , ,

则不等式组的解集为:﹣ <a<1, 故选:A. 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法、关于 x 轴的对称点的坐标特点,以及平面 直角坐标系中四个象限内点的坐标符号, 关键是掌握关于 x 轴对称点的坐标特点: 横坐标不 变,纵坐标互为相反数.

7.已知一等腰三角形的腰长为 5,底边长为 4,底角为 β.满足下列条件的三角形不一定与 已知三角形全等的是( )

A.两条边长分别为 4,5,它们的夹角为 β B.两个角是 β,它们的夹边为 4 C.三条边长分别是 4,5,5 D.两条边长是 5,一个角是 β 【考点】全等三角形的判定;等腰三角形的性质. 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解. 【解答】解:A、两条边长分别为 4,5,它们的夹角为 β,可以利用“边角边”证明三角形与 已知三角形全等,故本选项错误; B、两个角是 β,它们的夹边为 4,可以利用“角边角”证明三角形与已知三角形全等,故本 选项错误; C、三条边长分别是 4,5,5,可以利用“边边边”证明三角形与已知三角形全等,故本选项 错误; D、两条边长是 5,角 β 如果是底角,则顶角为(180° ﹣2β),则转化为“角边角”,利用 ASA 证明三角形与已知三角形全等;当角 β 如果是顶角时,底角为(180° ﹣β)÷2,此时两三角 形不一定全等.故本选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了全等三角形的判定,等腰三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方 法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定 两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.

8.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG,△ADG 和△AED 的面 积分别为 50 和 38,则△EDF 的面积为( )

A.8

B.12

C .4

D.6

【考点】角平分线的性质. 【分析】过点 D 作 DH⊥AC 于 H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DF=DH, 然后利用“HL”证明 Rt△DEF 和 Rt△DGH 全等,根据全等三角形的面积相等可得 S△EDF=S△
GDH,设面积为

S,然后根据 S△ADF=S△ADH 列出方程求解即可.

【解答】解:如图,过点 D 作 DH⊥AC 于 H, ∵AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB, ∴DF=DH, 在 Rt△DEF 和 Rt△DGH 中, ∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL), ∴S△EDF=S△GDH,设面积为 S, 同理 Rt△ADF≌Rt△ADH, ∴S△ADF=S△ADH, 即 38+S=50﹣S, 解得 S=6. 故选 D. ,

【点评】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质, 全等三角形的判定与性质, 作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键.

二、填空题(共有 10 小题,13 空,每空 2 分,共 26 分) 9.月球距离地球平均为 384000000 米,用科学记数法表示其结果是 3.84×108 3.06×105 精确到 千 位. 【考点】科学记数法与有效数字. 【分析】近似数精确到哪一位,应当看末位数字实际在哪一位.
8 【解答】解:384000000=3.84×10 ,

,近似数

3.06×105 中,6 在千位上,则精确到了千位; 故答案为 3.84×10 ,千. 【点评】本题考查了科学计数法和有效数字,掌握科学记数法的形式 a×10 是解题的关键.
n 8

10. 9 的算术平方根是 3

,﹣8 的立方根为 ﹣2



﹣1 的相反数是

1﹣



【考点】实数的性质;算术平方根;立方根. 【分析】根据开方,可得算术平方根、立方根,根据只有符号不同的两个数互为相反数,可 得答案. 【解答】解:9 的算术平方根是 3,﹣8 的立方根为﹣2, 故答案为:3,﹣2,1﹣ . ﹣1 的相反数是 1﹣ ,

【点评】本题考查了实数的性质,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

11.如果

+(y+3)2=0,则 x+y=

1



【考点】非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:偶次方. 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值,代入所求代数式计算即可. 【解答】解:根据题意得: ,

解得: 则 x+y=1. 故答案是:1.



【点评】本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为 0 时,这几个非负数都为 0.

12.等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 4cm,则它的周长是 10 或 11 cm. 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【专题】分类讨论. 【分析】因为腰长没有明确,所以分①3cm 是腰长,②4cm 是腰长两种情况求解. 【解答】解:①3cm 是腰长时,能组成三角形,周长=3+3+4=10cm, ②4cm 是腰长时,能组成三角形,周长=4+4+3=11cm, 所以,它的周长是 10 或 11cm. 故答案为:10 或 11. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,易错点为要分情况讨论求解.

13.坐标平面上有一点 A,且点 A 到 x 轴的距离为 3,点 A 到 y 轴的距离为 2.若 A 点在 第二象限,则点 A 坐标是 (﹣2,3) . 【考点】点的坐标. 【分析】根据第二象限点的横坐标是负数,纵坐标是正数,点到 x 轴的距离等于纵坐标的长 度,到 y 轴的距离等于横坐标的长度求解即可. 【解答】解:∵点 A 在第二象限,到 x 轴的距离为 3,到 y 轴的距离为 2, ∴点 A 的横坐标为﹣2,纵坐标为 3, ∴点 A 的坐标为(﹣2,3). 故答案为:(﹣2,3). 【点评】本题考查了点的坐标,熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度,到 y 轴的距离等于 横坐标的长度是解题的关键.

14.已知点 M(3,2)与点 N(x,y)在同一条平行于 x 轴的直线上,且点 N 到 y 轴的距 离为 5,则点 N 的坐标为 (﹣5,2)或(5,2) . 【考点】坐标与图形性质. 【专题】推理填空题. 【分析】根据点 M(3,2)与点 N(x,y)在同一条平行于 x 轴的直线上,可得点 M 的纵 坐标和点 N 的纵坐标相等,由点 N 到 y 轴的距离为 5,可得点 N 的横坐标的绝对值等于 5, 从而可以求得点 N 的坐标. 【解答】解:∵点 M(3,2)与点 N(x,y)在同一条平行于 x 轴的直线上,

∴点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等. ∴y=2. ∵点 N 到 y 轴的距离为 5, ∴|x|=5. 得,x=±5. ∴点 N 的坐标为(﹣5,2)或(5,2). 故答案为:(﹣5,2)或(5,2). 【点评】 本题考查坐标与图形的性质, 解题的关键是明确与 x 轴平行的直线上所有点的纵坐 标相等,到 y 轴的距离是点的横坐标的绝对值.

15.如图,Rt△ABC,∠ACB=90° ,以三边为边长向外作正方形,64、400 分别为所在正方 形的面积,则图中字母 S 所代表的正方形面积是 336. .

【考点】勾股定理. 【分析】要求图中字母 S 所代表的正方形面积,根据面积=边长×边长=边长的平方,已知 斜边和一直角边的平方,由勾股定理可求出图中字母 S 所代表的正方形的面积. 【解答】解:Rt△ABC,∠ACB=90° ,以三边为边长向外作正方形,64、400 分别为所在正 方形的面积, 400﹣64=336. 故图中字母 S 所代表的正方形面积是 336. 故答案为:336. 【点评】 本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式, 关键在于熟练运用勾股定理求 出正方形的边长的平方.

16.如图所示,△ABC 中,BC 的垂直平分线交 AB 于点 E,若△ABC 的周长为 10,BC=4, 则△ACE 的周长是 6 .

【考点】线段垂直平分线的性质. BC=4, 【分析】 由 BC 的垂直平分线交 AB 于点 E, 可得 BE=CE, 又由△ABC 的周长为 10, 易求得△ACE 的周长是△ABC 的周长﹣BC,继而求得答案. 【解答】解:∵BC 的垂直平分线交 AB 于点 E, ∴BE=CE, ∵△ABC 的周长为 10,BC=4, ∴△ACE 的周长是:AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=AB+AC+BC﹣BC=10﹣4=6. 故答案为:6. 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与整体思想 的应用.

17.如图,有一块四边形花圃 ABCD,∠ADC=90° ,AD=4m,AB=13m,BC=12m,DC=3m,
2 该花圃的面积为 24 m .

【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理. 【分析】连接 AC,先利用勾股定理求 AC,再利用勾股定理逆定理证△ACB 为直角三角形, 根据四边形 ABCD 的面积=△ABC 面积﹣△ACD 面积即可计算. 【解答】解:连接 AC, ∵AD=4m,CD=3m,∠ADC=90° , ∴AC= △ACD 的面积= 在△ABC 中, =5m, 3×4=6(m2),

∵AC=5m,BC=12m,AB=13m,
2 2 2 ∴AC +BC =AB ,

∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB=90° ,
2 ∴直角△ABC 的面积= ×12×5=30(m ),

∴四边形 ABCD 的面积=30﹣6=24(m ). 故答案为:24.

2

【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理和勾股定理逆定理,求证△ABC 是直角三角形 是解题的关键.

18.如图,已知:∠MON=30° ,点 A1、A2、A3 在射线 ON 上,点 B1、B2、B3…在射线 OM 上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若 OA1=a,则△A6B6A7 的边长为 32 .

【考点】等边三角形的性质. 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出 A1B1∥A2B2∥A3B3,以及 A2B2=2B1A2,得出 A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2…进而得出答案. 【解答】解:∵△A1B1A2 是等边三角形, ∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60° , ∴∠2=120° , ∵∠MON=30° , =30° ∴∠1=180° ﹣120° ﹣30° , 又∵∠3=60° , =90° ∴∠5=180° ﹣60° ﹣30° ,

∵∠MON=∠1=30° , ∴OA1=A1B1=1, ∴A2B1=1, ∵△A2B2A3、△A3B3A4 是等边三角形, ∴∠11=∠10=60° ,∠13=60° , ∵∠4=∠12=60° , ∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3, ∴∠1=∠6=∠7=30° ,∠5=∠8=90° , ∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3, ∴A3B3=4B1A2=4, A4B4=8B1A2=8, A5B5=16B1A2=16, 以此类推:A6B6=32B1A2=32. 故答案是:32.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出 A3B3=4B1A2,A4B4=8B1A2,A5B5=16B1A2 进而发现规律是解题关键.

三、解答题(共 9 题,共 58 分) 19.(6 分)求下列各式中 x 的值.
2 (1)x ﹣ =0 3 (2)﹣3(x+1) =24.

【考点】立方根;平方根. 【分析】(1)根据平方根,即可解答; (2)根据立方根,即可解答.
2 【解答】解:(1)x ﹣ =0

x=
3 (2)﹣3(x+1) =24 3 (x+1) =﹣8

x+1=﹣2 x=﹣3. 【点评】本题考查了立方根,解决本题的关键是熟记立方根的定义.

20.已知 5a+2 的立方根是 3,3a+b﹣1 的算术平方根是 4,c 是 的平方根. 【考点】估算无理数的大小;平方根;算术平方根;立方根.

的整数部分,求 3a﹣b+c

【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法,求出 a、b、c 的值, 代入代数式求出值后,进一步求得平方根即可. 【解答】解:∵5a+2 的立方根是 3,3a+b﹣1 的算术平方根是 4, ∴5a+2=27,3a+b﹣1=16, ∴a=5,b=2, ∵c 是 ∴c=3, ∴3a﹣b+c=16, 3a﹣b+c 的平方根是±4. 【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、 代数式求值等知识点,读懂题意,掌握解答顺序,正确计算即可. 的整数部分,

21.已知△ABC 中,∠BAC=130° ,BC=26,AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F,与 AB、AC 分别交于点 D、G.求: (1)∠EAF 的度数. (2)求△AEF 的周长.

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】(1)由 DE 垂直平分 AB,FG 垂直平分 AC,可得 EB=EA,FA=FC,又由等腰三 角形的性质与三角形内角和定理,可求得∠BAE+∠FAC 度数,继而求得答案; (2)由△AEF 的周长等于 AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC,即可求得答案. 【解答】解:(1)∵DE 垂直平分 AB,FG 垂直平分 AC, ∴EB=EA,FA=FC, ∴∠BAE=∠B,∠FAC=∠C, ∵△ABC 中,∠BAC=130° , ∴∠B+∠C=50° , ∴∠BAE+∠FAC=50° , ∴∠EAF=∠BAC﹣(∠BAE+∠FAC)=80° ;

(2)∵BC=26, ∴△AEF 的周长为:AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=26. 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌 握转化思想与数形结合思想的应用.

22.如图,一个高 16m,底面周长 8m 的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为了减小坡 度,要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端,问登梯至少多长?

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【分析】要求登梯的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在 求线段长时,借助于勾股定理.

【解答】解:将圆柱表面切开展开呈长方形, ∵圆柱高 16m,底面周长 8m,
2 2 2 ∴x =(1×8+4) +16 =400,

∴登梯至少

=20(米).

【点评】本题考查了勾股定理的应用.圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱 底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股 定理解决.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,己知 A(﹣1,5),B(4,2),C(﹣1,0)三点. (1)点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标为 (1,﹣5) ,点 B 关于 x 轴的对称点 B′的 坐标为 (4,﹣2) ,点 C 关于 y 轴的对称点 C′的坐标为 (1,0) . (2)在图中画出△A′B′C′,并求它的面积.

【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换. 【专题】作图题. l 根据点关于原点对称、 【分析】 (1) 关于 x 轴的对称和关于 y 轴对称的点的坐标特征求解; (2)利用三角形面积公式求解. 【解答】解:(1)点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标为 (1,﹣5),点 B 关于 x 轴的对 称点 B′的坐标为(﹣4,﹣2),点 C 关于 y 轴的对称点 C′的坐标为(1,0). (2)△A′B′C′的面积= ×5×3= .

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角, 对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应 点,顺次连接得出旋转后的图形.

24.如图,△ABC 中,∠ACB=90° ,以 AC 为底边作等腰三角形△ACD,AD=CD,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 F,DE 与 AB 相交于点 E,连接 CE. (1)求证:AE=CE=BE; (2)若 AB=15cm,BC=9cm,点 P 是射线 DE 上的一点.则当点 P 为何处时,△PBC 的周 长最小,并求出此时△PBC 的周长.

【考点】轴对称-最短路线问题;勾股定理. 【分析】(1)首先证明 EA=EC,再证明 EC=EB 即可解决问题. (2)先说明 P 与 E 重合时△PBC 的周长最小,最小值=AB+AC. 【解答】(1)证明:∵DA=DC,DF⊥AC, ∴AF=CF, ∴DE 垂直平分线段 AC, ∴EA=EC,

∴∠EAC=∠ECA, ∵∠ACB=90° , ∴∠EAC+∠B=90° ,∠ECA+∠ECB=90° , ∴∠ECB=∠B, ∴EC=EB=EA.

(2)连接 PB、PC、PA. 要使得△PBC 的周长最小,只要 PB+PC 最小即可. ∵PB+PC=PA+PB≥AB, ∴当 P 与 E 重合时,PA+PB 最小, ∴△PBC 的周长最小值=AB+BC=15+9=24cm.

【点评】本题考查轴对称﹣最小值问题,线段垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定 和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用对称解决最值问题,属 于中考常考题型.

25.先阅读下列一段文字,在回答后面的问题. 已知在平面内两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),其两点间的距离公式 ,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴 或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|. (1)已知 A(2,4)、B(﹣3,﹣8),试求 A、B 两点间的距离; B 在平行于 y 轴的直线上, (2)已知 A、 点 A 的纵坐标为 5, 点 B 的纵坐标为﹣1, 试求 A、 B 两点间的距离.

(3)已知一个三角形各顶点坐标为 A(0,6)、B(﹣3,2)、C(3,2),你能判定此三 角形的形状吗?说明理由. 【考点】两点间的距离公式. 【专题】几何综合题. 【分析】(1)根据两点间的距离公式 点间的距离; (2)根据两点间的距离公式|y2﹣y1|来求 A、B 两点间的距离. (3)先将 A、B、C 三点置于平面直角坐标系中,然后根据两点间的距离公式分别求得 AB、 BC、AC 的长度;最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状. 【解答】解:(1)∵A(2,4)、B(﹣3,﹣8), ∴|AB|= =13,即 A、B 两点间的距离是 13; 来求 A、B 两

(2)∵A、B 在平行于 y 轴的直线上,点 A 的纵坐标为 5,点 B 的纵坐标为﹣1, ∴|AB|=|﹣1﹣5|=6,即 A、B 两点间的距离是 6;

(3)∵一个三角形各顶点坐标为 A(0,6)、B(﹣3,2)、C(3,2), ∴AB=5,BC=6,AC=5, ∴AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形. 【点评】本题考查了两点间的距离公式.解答该题时,先弄清两点在平面直角坐标系中的位 置,然后选取合适的公式来求两点间的距离.

26.如图,在△ABC 中,∠ABC=45° ,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D,E,F 为 BC 中 点,BE 与 DF,DC 分别交于点 G,H,∠ABE=∠CBE. (1)线段 BH 与 AC 相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;
2 2 2 (2)求证:BG ﹣GE =EA .

【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理. 【专题】证明题;几何综合题. 【分析】 (1) 根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC, ∠ABE=∠DCA, 推出 DB=CD, 根据 ASA 证出△DBH≌△DCA 即可; (2)根据 DB=DC 和 F 为 BC 中点,得出 DF 垂直平分 BC,推出 BG=CG,根据 BE⊥AC 和∠ABE=∠CBE 得出 AE=CE,在 Rt△CGE 中,由勾股定理即可推出答案. 【解答】(1)BH=AC,理由如下: ∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90° , ∵∠ABC=45° , =45° =∠ABC ∴∠BCD=180° ﹣90° ﹣45° ∴DB=DC, ∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90° , ∴∠A+∠ACD=90° ,∠A+∠HBD=90° , ∴∠HBD=∠ACD, ∵在△DBH 和△DCA 中 , ∴△DBH≌△DCA(ASA), ∴BH=AC.

(2)连接 CG, 由(1)知,DB=CD,

∵F 为 BC 的中点, ∴DF 垂直平分 BC, ∴BG=CG, ∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC, ∴EC=EA,
2 2 2 在 Rt△CGE 中,由勾股定理得:CG ﹣GE =CE ,

∵CE=AE,BG=CG,
2 2 2 ∴BG ﹣GE =EA .

【点评】本题考查了勾股定理,等腰三角形性质,全等三角形的性质和判定,线段的垂直平 分线的性质的应用,注意:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,等腰三角形具有 三线合一的性质,主要考查学生运用定理进行推理的能力.

27.操作探究: 数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图 1 所示的长方形纸条 ABCD,其中 AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段 MN,将纸片沿 MN 折叠,MB 与 DN 交于点 K,得到△MNK.如图 2 所示:

探究: (1)若∠1=70° ,∠MKN= 40 ° ; 三角形,请说明理由;

(2)改变折痕 MN 位置,△MNK 始终是 等腰 应用:

(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时,发现 KN 边上的高始终是个不变的值.根据 这一发现,他很快研究出△KMN 的面积最小值为 ,此时∠1 的大小可以为 45° 或 135 (4)小明继续动手操作,发现了△MNK 面积的最大值.请你求出这个最大值. °

【考点】翻折变换(折叠问题). 【分析】(1)根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM,∠KMN 的度数,根据三角形内 角和即可求解; (2)利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出 KM=KN; KN=BC=1, (3) 利用当△KMN 的面积最小值为 时, 故 KN⊥B′M, 得出∠1=∠NMB=45° , 同理当将纸条向下折叠时,∠1=∠NMB=135° ; (4)分情况一:将矩形纸片对折,使点 B 与 D 重合,此时点 K 也与 D 重合;情况二:将 矩形纸片沿对角线 AC 对折,此时折痕即为 AC 两种情况讨论求解. 【解答】解:(1)如图 1, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AM∥DN. ∴∠KNM=∠1. ∵∠1=70° , ∴∠KNM=∠KMN=∠1=70° , ∴∠MKN=40° .

故答案为:40;

(2)等腰, 理由:∵AB∥CD,∴∠1=∠MND, ∵将纸片沿 MN 折叠,∴∠1=∠KMN,∠MND=∠KMN, ∴KM=KN; 故答案为:等腰;

(3)如图 2,当△KMN 的面积最小值为 时,KN=BC=1,故 KN⊥B′M, ∵∠NMB=∠KMN,∠KMB=90° , ∴∠1=∠NMB=45° ,同理当将纸条向下折叠时,∠1=∠NMB=135° , 故答案为:45° 或 135° (只要写出一个即可);

(4)分两种情况: 情况一:如图 3,将矩形纸片对折,使点 B 与 D 重合,此时点 K 也与 D 重合. MK=MB=x,则 AM=5﹣x.
2 2 2 由勾股定理得 1 +(5﹣x) =x ,

解得 x=2.6. ∴MD=ND=2.6. S△MNK=S△MND= ×1×2.6=1.3. 情况二:如图 4,将矩形纸片沿对角线 AC 对折,此时折痕即为 AC. MK=AK=CK=x,则 DK=5﹣x. 同理可得 MK=NK=2.6. ∵MD=1, ∴S△MNK= ×1×2.6=1.3. △MNK 的面积最大值为 1.3.

【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质,勾股定理,三角形的面积计算, 注意分类思想的运用,综合性较强,有一点的难度.


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