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黑龙江省哈九中2013届高三第四次模拟考试数学文试题(扫描版)


高三数学(文)第四次模拟考试答案
1-6 BCBCAD 7-12 DBCADA 14.2 15. a ? ? 1 16. (2)(3) 13. 2

17 解: (1)∵acosB+bcosA=b,由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB, ∴sin(A+B)=sinB,--------3 分 即 sinC=sinB,∴b=c,∴C=B.--------------6 分 (2)△BCD 中,用正弦定理可得 = ,由第一问知道 C=B,而 BD 是角平分线,



=2cos.---------8 分

由于三角形内角和为 180°,设 A=x,B=2α =C,那么 4α +x=180°,故 α +=45°.--9 分 ∵sin=,∴cos=,∴cosα =cos(45°﹣)=cos45°cos+sin45°sin= ∴ =2cos=2cosα = .---------------12 分
-------4 分



18.(1)

优秀

非优秀

合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80
110(10×30-20×50)2

110

(2) 根据列联表中的数据, 得到 K =

2

60×50×30×80

≈7.487<10.828.因此按 99.9%的

可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” -----------8 分 (3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数 为(x,y).所有的基本事件有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6)共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有:(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(5,5)、(4, 6)(6,4)共 7 个.所以 P(A)=
7 36

,即抽到 9 号或 10 号的概率为
1 S ? ACD h ? S ABCD h
1 AD ? h
/

7 36

. -------12 分

19 解: (1)

V A ? PCD V P ? ABCD

?

V P ? ACD V P ? ABCD

?

3 1 3

S ? ACD S
ABCD

又由 BC : AD ? 1 : 2 则

S ? ACD S
ABCD

?

2 1 2 ( AD ? BC ) ? h
/

=

2 3

P

所以

V A ? PCD V P ? ABCD

?

2 3

4分
A

N

M
D

(2)存在,当 M 为 PD 中点时满足 CM //平面 PAB 证明:取 PA 中点 N,PD 中点 M,连接 NB,NM,MC 则 MN //
?

O
B

Q

1 2

AD ,

又由 BC //
?

1 2

AD ,

C

所以 MN // BC , 所以 MNBC 为平行四边形则 BN // CM
?

又由 BN ? 平面 PAB , CM ? 平面 PAB 所以 CM //平面 PAB (3)取 AB 中点 O,连 PO,OD,AC,且 OD,AC 交于 Q 由已知 Rt ? AOD ? Rt ? ABC
? ? AOD ? ? ACB ? ? AOD ? ? OAQ ?

8分

?
2

? AC ? OD

10 分

又由 AC ? PO ? AC ? 面 POD
AC ? PD

12 分
2

20.(1)由题意知:抛物线方程为: y 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )

? 4 x 且 P ?? 1 ,0 ?

-------1 分

由已知直线 l 斜率存在设 l : y ? k ( x ? 1 ) 代入 y
k x
2 2

2

? 4x 得

? (2k

2

? 4) x ? k

2

? 0

? ? 0 ? ?1 ? k ? 1
2 ? (2k ? 4) ? x1 ? x2 ? ? 2 ? k ? x1 x2 ? 1 ?

-------- 3 分
2

AB ?

1? k

2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x 2

h ?

k 1? k
2

-------- 5 分
5 2



1 2

AB h ?

得k ? ?

4

41 41

满足 ? ? 0 -------- 6 分

(2)假设存在 T ( a , o ) 满足题意,则
k AT ? k BT ?
?

y1 x1 ? a

?

y2 x2 ? a

?

k ( x 1 ? 1 )( x 2 ? a ) ? k ( x 2 ? 1 )( x 1 ? a ) ( x 1 ? a )( x 2 ? a )

-----

------8 分

k ? 2 x 1 x 2 ? ( a ? 1 )( x 1 ? x 2 ) ? 2 a ( x 1 ? a )( x 2 ? a )

?

? 0

? k ? 2 x 1 x 2 ? ( a ? 1 )? x 1 ? x 2 ? ? 2 a

??

0

即 k ? 2 ? (a ? 1)

4 ? 2k k2

2

? 2a

??

0

-----

------10 分

整理得: a ? 1 ? 0
?a ? 1 ? 存在 T(1,0)----------------12 分

21.(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 ∴当 时,
2

. 时,f'(x)>0,

时,f'(x)<0;当

.---------------------- 4 分 .

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax +1<0,解得
2 2

; .

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递减.

--------------------------------------------8 分 (3) 设切点 T(x0,y0)则 kAT=f′(x0) , ∴ 即 e x0+lnx0+1=0
2

设 h(x)=e x+lnx+1,当 x>0 时 h′(x)>0, ∴h(x)是单调递增函数 (10 分) ∴h(x)=0 最多只有一个根, 又 ∴ 由 f'(x0)=﹣1 得切线方程是 . (12 分) ,

2

22. 证明: (Ⅰ)连接 O C ,因为 O A ? O C ,所以 ? O C A ? ? O A C . 2 分
0 又因为 A D ? C E ,所以 ? A C D ? ? C A D ? 9 0 ,

又因为 A C 平分 ? B A D ,所以 ? O A C ? ? C A D ,

4分 5分

o 所以 ? O C A ? ? A C D ? 9 0 ,即 O C ? C E ,所以 C E 是 e O 的切线.

0 (Ⅱ)连接 B C ,因为 A B 是圆 O 的直径,所以 ? B C A ? ? A D C ? 9 0 ,

因为 ? O A C ? ? C A D ,

8分
AC ? AD A C ,即 A C
2

所以△ A B C ∽△ A C D ,所以 A B 23.(1)由 ?
? 6 co s ?
2

? AB ? AD .

10 分
2 2

得 ? ? 6 ? co s ? ,所以 C 2 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 x ? 0 --2 分
x a
2 2

由已知得 C 1 的直角坐标方程是

? y ?1,
2

当 ? ? 0 时射线与曲线 C 1 , C 2 交点的直角坐标为 ? a , 0 ? , ? 6, 0 ? ,-----------3 分
? A B ? 4 ,? a ? 2 ? C 1 的直角坐标方程是
x
2

? y ? 1 .①---------------5 分
2

4

(2)

1 ? x ?1? t ? 2 ? m 的参数方程为 ? ( t 为参数 ) ② 3 ?y ? t ? 2 ?

-------7 分

将②带入①得 13 t 2 ? 4 t ? 12 ? 0 ,设 D , E 点的参数是 t1, t 2 ,则
t1 ? t 2 ? ? 4 13 , t1 t 2 ? ? 12 13 ? 0

-------8 分
4 13

?|| PD | ? | PE || ? | t 1 ? t 2 | ?

-------10 分

24 解: (Ⅰ)由|x﹣a|≤m 得 a﹣m≤x≤a+m, 所以 解之得 为所求.-----------------4 分

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 所以 f(x)+t≥f(x+t)?|x|﹣|x﹣2|≤t,
?2, x ? 2 ? 令 h ( x ) ? | x | ? | x ? 2 | ? ? 2 x ? 2 , 0 ? x ? 2 ---------6 分 ?? 2, x ? 0 ?

所以,当 t ? 2 时,不等式①恒成立,解集为 R;-------8 分 当 0 ? t ? 2 时,解集为 { x | x ?
t 2 ? 1} --------10 分


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