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第1章 高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解


必修 1--集合和函数基础知识

§1.1 集合 ¤学习目标:通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;能选择自然语言、图形语言、集 合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;掌握集合的表示方法、常用数集及 其记法、集合元素的三个特征. (一)集合的有关概念 ⒈定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C…表示,

而元素用小写的拉丁字母 a,b,c…表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N 或 N+;N 内排除 0 的集. 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;
*

6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) 。 “中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数” , “平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1) =0 的解集表示为 ? 1,-2
2

? ,而不是 ?

1,1,-2

?

⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A,4 ? A,等等。 练:A={2,4,8,16},则 一、集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ? 3,4,5},{x ,3x+2,5y -x,x +y },…; 说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开;⑵一般不必考虑元素之间的顺序; ⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;⑸列举法可表示有限集,也可以表示无限集。 ⑹含有较多元素的集合,列举法表示时,把元素间的规律显示清楚后用省略号,正整数 N = ?1, 2,3, 4,5,......?
* 2 3 2 2

? ”括起来表示集合的方法叫列举法。如:{1,2,

集合和函数基础知识

⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后 写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x )

?
2

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x +1},{x|直角三角形},…; 2 2 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x +3x+2}与 {y|y= x +3x+2}是不同的两个集合,只 要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意: 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的 字母形式所迷惑。

二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ? R∣0<x<3}; 2 3. {x ? R∣x +1=0} 由此可以得到
?有限集 : 含有有限个元素的集合 集合的分类 ? ?无限集 : 含有无限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?

三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示: A 表示任意一个集合 A 3,9,27 表示{3,9,27}

集合间的基本关系 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2,3} , B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2) C ? {北京一中高一一班全体女生} , D ? {北京一中高一一班全体学生} ; (3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形} 观察可得: ⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) 表示: A ? B B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:

⒉集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。
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⒊真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: ⑴注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 n n ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2 个,其真子集数为 2 -1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 集合间的基本运算 考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ?x x 是实数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 记作 A∪B, 读作:A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。 Venn 图表示:

说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф= , A∪B B∪A A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 2.交集定义: 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 叫作集合 A、 B 的交集 (intersection set) , 记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况: B A A(B) A B A B A B

【题型一】 并集与交集的运算 【例 1】设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B。

-1

1 2

3

【例 2】设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B。 -2 【例 3】已知集合 A={y|y=x -2x-3,x∈R},B={y|y=-x +2x+13,x∈R}求 A∩B、A∪B
2 2

3

3

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集合的基本运算㈡ 思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质: ⒈全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作: CU A ,读作:A 在 U 中的补集,即 CU A ? x x ?U , 且x ? A Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集) 说明:补集的概念必须要有全集的限制 讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

?

?

U A CUA

A ? CU A ? ?,

A ? CU A ? U ,

CU (CU A) ? A

CUU ? ?,

CU ? ? U

函数的概念 ¤学习目标:通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用 集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数 的定义域和值域. ¤知识要点: 1. 设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有 唯一确定的数 y 和它对应, 那么就称 f : A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (function) , 记作 y = f ( x) ,x ? A . 其 中, x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫作定义域 (domain) , 与 x 的值对应的 y 值叫函数值, 函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range). 2. 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则:{x|a≤x≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a<x<b}=(a,b) 叫开区间; {x|a≤x<b}= [a, b) , {x|a<x≤b}= (a, b] ,都叫半开半闭区间. 符号: “∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大”. 则 {x | x ? a} ? (a, ??) , {x | x ? a} ? [a, ??) , {x | x ? b} ? (??, b) , {x | x ? b} ? (??, b] , R ? (??, ??) . 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是 同一函数. ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ?
1 ; (2) y ? x ? 2 ?1

x?3
3

x ?1 ? 2

.

【例 2】求下列函数的定义域与值域: (1) y ?

3x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? x ? 2 . 5 ? 4x

1? x 【例 3】已知函数 f ( (1) f (2) 的值; (2) f ( x) 的表达式 ) ? x . 求: 1? x
【例 4】已知函数 f ( x) ?

x2 , x?R . 1 ? x2

1 1 1 1 (1)求 f ( x) ? f ( ) 的值; (2)计算: f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) . x 2 3 4

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集合和函数基础知识

第 6 讲 函数的表示法 ¤学习目标:在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数;通过 具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;了解映射的概念. ¤知识要点: 1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求 函数值) ;图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ;列表法(列出表格表示两 个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可看出函数值). 2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对应法则不同). 3. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 (mapping) . 记 作“ f : A ? B ”. 判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. ¤例题精讲: 【例 1】如图,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正 方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____,这个函数的定 义域为_______.

3 ? ? x3 ? 2 x ? 2 【例 2】已知 f(x)= ? 3 ?3 ? ?x ? x

x ? (??,1) x ? (1, ??)

,求 f[f(0)]的值.

【例 3】画出下列函数的图象: (1) y ?| x ? 2 | ; (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | . 解:

点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数,然后根据定义域 的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象. 【例 4】函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如 [?3.5] ? ?4 , [2.1] ? 2 ,当 x ? (?2.5,3] 时,写出 f ( x) 的解析式,并作出函数的图象.
? ?3, ?2.5 ? x ? ?2 ? ?2, ?2 ? x ? ?1 ? ?1, ?1 ? x ? 0 ? 解: f ( x) ? ?0, 0 ? x ? 1 . 函数图象如右: ?1, 1 ? x ? 2 ? 2, 2 ? x ? 3 ? ?3, x ? 3 点评:解题关键是理解符号 ? m ? 的概念,抓住分段函数的对应函数式.

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集合和函数基础知识

第7讲 函数的单调性 ¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;学会运用函数图像理解和 研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念,掌握增(减)函数的证明和判别. ¤知识要点: 1. 增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个 区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就 说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 仿照增函数的定义 可定义减函数. 2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间. 在单调区间 上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1) ,减函数的图象从左向 右是下降的(如右图 2). 由此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ;→计算 f(x 1 )-f(x 2 ) →判断符号→下结论. ¤例题精讲: 2x 【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ? 在区间(0,1)上的单调性. x ?1 2 x1 2 x2 2( x2 ? x1 ) ? ? 解:任取 x1 , x2 ∈(0,1),且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 由于 0 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 2x 所以,函数 f ( x) ? 在(0,1)上是减函数. x ?1 【例 2】求二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性. 解:设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 . 则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (ax12 ? bx1 ? c) ? (ax22 ? bx2 ? c) ? a( x12 ? x22 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . b b 若 a ? 0 ,当 x1 ? x2 ? ? 时,有 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ? ,即 a( x1 ? x2 ) ? b ? 0 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 2a a b b f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增. 同理可得 f ( x) 在 [? , ??) 上单调递减. 2a 2a 【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ; (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 .
?3x ? 3, x ? 1 ? 解: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 . ??3x ? 3, x ? ?2 ? 由图可知,函数在 [?2, ??) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数.
2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 ? ? 2 . ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 由图可知,函数在 (??, ?1] 、 [0,1] 上是增函数,在 [ ?1, 0] 、 [1, ??) 上是减函数. 点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以 由偶函数的对称性,先作 y 轴右侧的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧,得到 f (| x |) 的图象. 由图象研究单调 性,关键在于正确作出函数图象.

3x ? 1 ,指出 f ( x) 的单调区间. x?2 3( x ? 2) ? 5 ?5 解:∵ f ( x) ? , ? 3? x?2 x?2 ?5 ∴ 把 g ( x) ? 的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 3 个单位,得 x 到 f ( x) 的图象,如图所示. 由图象得 f ( x) 在 (??, ?2) 单调递增,在 (?2, ??) 上单调递增. 点评:变形后结合平移知识,由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f ( x ? a) ? b 平移变换规律.
【例 4】已知 f ( x) ?

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第 8 讲 函数最大(小)值 ¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的最大(小)值及其几何意义;学会运用函数图像 理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大(小)值. ¤知识要点: 1. 定义最大值:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f ( x) ≤M;存 在 x0∈I,使得 f ( x0 ) = M. 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定义,可以给出 最小值(Minimum Value)的定义. b 4ac ? b2 2. 配方法: 研究二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大 (小) 值, 先配方成 y ? a( x ? )2 ? 后, 当a ? 0 2a 4a 4ac ? b2 4ac ? b2 时,函数取最小值为 ;当 a ? 0 时,函数取最大值 . 4a 4a 3. 单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性 求函数的最大值或最小值. 4. 图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲: 6 【例 1】求函数 y ? 2 的最大值. x ? x ?1

【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时,每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出 价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价 1 元,其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定为多少 元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润.

【例 3】求函数 y ? 2x ? x ? 1 的最小值.

点评:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数最大值或最小值,可以用单调性法研究,也可以用换元法研究. 【另解】用换元法!

【例 4】求下列函数的最大值和最小值: 5 3 (1) y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] ; (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | . 2 2 (1)配方

(2)分段:

点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. 含绝对值 的函数,常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

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集合和函数基础知识

第 9 讲 函数的奇偶性 ¤学习目标:结合具体函数,了解奇偶性的含义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶 函数的几何意义,能熟练判别函数的奇偶性. ¤知识要点: 1. 定义:一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫偶函数(even function) . 如果对于函数定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? ? f ( x) ) , 那么函数 f ( x) 叫奇函数 (odd function) . 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数图象关于 y 轴轴对称. 3. 判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (? x) 与 f ( x) 的关系. ¤例题精讲: 【例 1】判别下列函数的奇偶性: 1 (1) f ( x) ? x3 ? ; (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ; (3) f ( x) ? x 2 ? x3 . x 解: (1)原函数定义域为 {x | x ? 0} ,对于定义域的每一个 x,都有 1 1 f (? x) ? (? x)3 ? ? ?( x3 ? ) ? ? f ( x) , 所以为奇函数. ?x x (2) (3) 【例 2】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 解:∵ f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x ) , g ( ? x) ? g ( x) .
1 1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? ? ? x ?1 x ?1 则? ,即 ? . ? f (? x) ? g (? x) ? 1 ?? f ( x) ? g ( x) ? 1 ? ? ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? x 1 两式相减,解得 f ( x) ? 2 ;两式相加,解得 g ( x) ? 2 . x ?1 x ?1 【例 3】已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,求 x ? 0 时 f ( x) 的解析式.

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

点评:此题中的函数实质就是 y ? ?2x2 ? 4 | x | . 注意两抛物线形状一致,则二次项系数 a 的绝对值相同. 此类 问题,我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求,过程如下. 【 例 4 】 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 (??,0) 上 是 减 函 数 , 实 数 a 满 足 不 等 式
f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围. 解:∵ f ( x) 在区间 (??,0) 上是减函数, ∴ f ( x) 的图象在 y 轴左侧递减. 又 ∵ f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称,则在 y 轴右侧同样递减. 又 f (?0) ? ? f (0) ,解得 f (0) ? 0 , 所以 f ( x) 的图象在 R 上递减.

∵ f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) , ∴ 3a 2 ? a ? 3 ? 3a 2 ? 2a ,解得 a ? 1 . 点评:定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间上单调 性一致,偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

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集合和函数基础知识

第 10 讲 集合与函数概念 复习 ¤复习目标:强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究 问题,注意运用文氏图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练. 深刻理解函数的有关概念.掌握 对应法则、图象等有关性质. 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念,并掌握基本的判定方法和步骤,并会运用. ¤例题精讲: 【例 1】已知 a,b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24 ,则 5a ? b ? . 解:由 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ,则 f (ax ? b) ? (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x2 ? 10x ? 24 , 整理得 a 2 x2 ? 2abx ? b2 ? 4ax ? 4b ? 3 ? x2 ? 10 x ? 24 , ?a 2 ? 1 ? 比较系数得: ?2ab ? 4a ? 10 , 2 ? ?b ? 4b ? 3 ? 24 解得: a ? ?1, b ? ?7 ;或 a ? 1, b ? 3 【例 2】已知 f ( x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数还是减函数,并加以 证明.

【例 3】集合 A ? {x | ?1 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? m ? x ? 3m ? 1} ,若 A B ? B ,求实数 m 的取值范围. 解:由 A B ? B ,得 B ? A . 1 当 B ? ? 时,有: 2 ? m ? 3m ? 1 ,解得 m ? . 4 当 B ? ? 时,如右图数轴所示,则 ?2 ? m ? 3m ? 1 1 ? ,解得 ? m ? 2 . ? 2 ? m ? ?1 4 ?3m ? 1 ? 7 -1 2-m 3m+1 7 x ? 综上可知,实数 m 的取值范围为 m ? 2 . 点评:已知两个含参集合的关系或者运算结果时,可以结合数轴分析区间端点的位置情况,列出相关不等式后 求解参数范围. 注意当 B ? A 时,不能忽视 B ? ? 的情况.

A

B

【经典例题】
2 【例 1】已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关系的韦恩(Venn)图是(

?

?



【例 2】已知集合 A ? ?( x, y) | x, y 为实数,且 x ? y ? 1? , B ? ?( x, y) | x, y为 实数,且 y ? x? , 则A
2 2

B 的元素

个数为( ) A、0 B、1

C、2

D、3

【例 3】设集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B,则实数 a,b 必满足( A、 | a ? b |? 3 B、 | a ? b |? 3 C、 | a ? b |? 3 D、 | a ? b |? 3

)

9

集合和函数基础知识

【 例 4 】 已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2, } 的关系的韦恩(Venn) 图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 C. 1 个 ( ) B. 2 个 D. 无穷多个

【 例 5 】 设 集 合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R? , B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值范围是 ( ) B、 a | a ? 2, 或a ? 4

A、 ?a | 0 ? a ? 6?

?

?

C、 a | a ? 0, 或a ? 6

?

?

D、 ?a | 2 ? a ? 4?

【例 6】已知集合 A ? 1,3, m , B ? ?1, m? , A ? B ? A ,则 m ? ( A 、0 或 3 B、0 或 3 C、1 或 3

?

?

) D、1 或 3

2 【例 7】设集合 S ? x | x ? 5 , T ? x | x ? 4 x ? 21 ? 0 , 则 S

?

?

?

?

T?

( D、 ?x | ?7 ? x ? 5?

)

A、 ?x | ?7 ? x ? ?5?

B、 ?x | 3 ? x ? 5?

C、. ?x | ?5 ? x ? 3?

【 例 8 】 若 U ? { n n是 小 于 9 的 正 整 数 } , A ? {n ?U n 是 奇 数 } , B ? {n ?U n 是 3 的 倍 数 } , 则

? B) ? U (A



【 例 9 】 已 知 集 合 A={x ? R||x+2|<3} , 集 合 B={x ? R|(x ? m)(x ? 2)<0} , 且 A

B=( ? 1,n) , 则 m=

,

n=

.

【例 10】某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮 球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ __. 【课堂练习】 1、设全 集 U ? x ? N x ? 6 ,集合 A ? ?1,3?,B ? ?3,5? ,则 ?U ( A
*

?

?

B) ?





A、 ?1,4?

B、 ?1,5?
2

C、 ?2,4?

D、 ?2,5? ( )

2、已知集合 P={x︱x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 A、(-∞, -1] B、[1, +∞) C、[-1,1] D、 (-∞,-1] ∪[1,+∞) 3、已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} , A ? {2, 4,5, 7} , B ? {3, 4,5} ,则 (CU A) A、 {1, 6} B、 {4,5} C、 {2,3, 4,5,7}
2

(CU B) ? (



D、 {1, 2,3,6,7} (
10

4、设 P={x︱x<4},Q={x︱ x <4} ,则



集合和函数基础知识

A、 p ? Q 5、集合 A={x A、{x

B、 Q ? P -1≤x≤2},B={x B、{x

C、 p ? C Q R

D、 Q ? C P R ( -1≤x≤1} D、 {x )

x<1},则 A∩B=
C、 {x

x<1}

-1≤x≤2}

-1≤x<1} ( )

6、已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 CU A ? A、 ?1,3? B、 ?3,7,9? C、 ?3,5,9? D、 ?3,9?

7、已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, ?u B∩A={9},则 A= A、{1,3} B、{3,7,9} C、{3,5,9} D、{3,9}
2 8、若集合 A= x | x ? 1,x ? R , B= y | y ? x ,x ? R ,则 A ? B =

?

?

?

?

( D、 ?



A、 ?x | ?1 ? x ? 1?

B、 ?x | x ? 0?

C、 ?x | 0 ? x ? 1 ?

9、若 A= ?x | x ?1 ? 0? ,B= ?x | x ? 3 ? 0? ,则 A A、(-1,+∞) B、(-∞,3) C、(-1,3)

B=





D、(1,3) )

2 10、集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A

?

?

B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为 (
D、4 ( )

A、0

B、1

C、2

2 12、集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M =

A、{1,2}

B、{0,1,2}

C、{1,2,3}

(D、{0,1,2,3} )

2 13、集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M =(

A、 {1,2}

B、 {0,1,2}

C、{x|0≤x<3}

D、{x|0≤x≤3} ) D、 { x 0< x <1} .

14、若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A∩B=( A、 { x -1< x <1} B、 { x -2< x <1}

C、 { x -2< x <2}

15、若集合 A ? {x ? R | x 2 ? 4x ? 3 ? 0}, B ? {x ? R | ( x ? 2)(x ? 5) ? 0} ,则 A ? B ? 16、设集合 A=(x∣log2x<1), B=(X∣

X ?1 <1), 则 A ? B = X ?2

. .

5? ,则 A ? 17、已知集合 ?=?1,2,3,4,5?,A=?2,3,4?,B =?4, (C U B )=
18.设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2 B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是______________.

19、 设全集 U ? A ? B ? x ? N | lg x ? 1 , 若 A ? CU B ? ?m | m ? 2n ? 1, n ? 0,1,2,3,4?, 则集合 B=__________.
*
x 20、若 A ? x ? R x ? 3 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A

?

?

?

?

?

?

B?



【课后作业】 1、若集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ? 1,2,4?则集合 A ? B ?
11





集合和函数基础知识

A、 ?0,1,2,3,4?

B、 ? 1,2,3,4?

C、 ? 1,2?

D、

?0?
( )

2、设集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5, 7,8},则 A∩B 等于 A、{3,4,5,6,7,8} B、{3,6} C、 {4,7} D、{5,8} 3、若集合 A=?x|1 ? x ? 3? , B=?x|x>2? ,则 A ? B 等于 A、 ?x|2<x ? 3? B、 ?x|x ? 1? C、 ?x|2 ? x<3? )

( D、 ?x|x>2?



4、设 U ? R, M ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, ,则 CU M =( A、[0,2] 6、若集合 A ? ? x log 1 x ? B、 ? 0, 2 ?

C、 ? ??,0? ? ? 2, ??? )

D、 ? ??,0? ? ?2, ???

? ? ? ?

2

? 1? ? ,则 ?R A ? ( 2? ?
B、 ?

A、 (??, 0]

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ? ? ?

? 2 ? , ?? ? ? 2 ? ? ?

C、 (??, 0] [ )

2 , ??) 2

D、 [

2 , ??) 2

7、已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则 ( A、 M ? N 9、设集合 A ? {x | ? B、 N ? M

C、 M ? N ? {2,3}

D、 M ? N{1, 4}

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A B ? ( ) 2 1 A、 {x ?1 ? x ? 2} B、 {x | ? ? x ? 1} C、 {x | x ? 2} 2

D、 {x |1 ? x ? 2}

10、设 P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x2 ? 4}, 则 P A、 {x | ?1 ? x ? 2}

Q ?(

) D、 {x | ?2 ? x ? 1}

B、 {x | ?3 ? x ? ?1}

C、 {x |1 ? x ? ?4} )

2 11、已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =(

?

?

A、

? x ?2 ? x ? 2?

B、

? x ?2 ? x ? 2?

C、 x x ? ?2或x ? 2

?

?

D、

? x x ? ?2或x ? 2?

12、设集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? x | A、 ? B、

? ?

x ?1 ? ? 0? ,则 A B =( x?4 ?
C、 ? ?2,1?



? 3, 4?

D、

? 4. ? ??

13、若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是( ? 3? x ?



1 ? A、 ? ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?

B、 x 2 ? x ? 3

?

?

? 1 ? C、 ? x ? ? x ? 2? ? 2 ?

1? D、 ? ? x ?1 ? x ? ? ? ? 2?

14、已知全集 U ? R ,集合 M ? x x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 , N ? ?x x ? 1 ?,则 M ? (CU N ) = 16、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B={3},则实数 a=___________.
2 18、已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 , B ? ? x | x ? 2? ,则 A
2

?

?



?

?

B=

.

12


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