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含参不等式恒成立问题求解策略


含参不等式恒成立问题的四大策略
山东省平度第一中学 宋同海 联系电话:15166630349 邮箱:649265828@qq.com

以含参不等式“恒成立”为载体,镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容, 是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化 归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略. 关键词:不等式、参数、恒成立、解题方法
策略一:分离参变量,构造函数求最值 分离参数法通常适用于参数与变量容易分离,并且函数的最值容易求出来的题型,通 常会用到下面两个性质: (1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) min (2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) max

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立, 典例1.函数 f ( x) ? x
求实数 a 的取值范围。 解析:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立, 即对 x ? [1,??) , f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x
2

考 虑 到 不 等 式 的 分 母 x ? [1,??) , 只 需 x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时 恒 成 立 , 即
2 a ? ? x 2 ? 2 x 在 x ? [1,??) 时恒成立。 而易求得二次函数 h( x) ? ? x ? 2 x 在 [1,??) 上的最

大值为 ? 3 ,所以 a ? ?3 。 策略二:变更主元、主参换位转化为一次函数问题 习惯上,我们常把 x 看做自变量,其余的字母看做参数。在解含参数的不等式时,若 能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。应用此方 法时要分清谁是变量,谁是参数。一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁 就是参数。通常会用到如下性质: 对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0
(a-6)x ? 9-3a ? 0 , a 典例2.求使不等式 x ?
2

? 1恒成立的 x 的取值范围。

解析:将原不等式整理为形式上是关于a的不等式 ? x ? 3? a ? x2 ? 6x ? 9 ? 0 , 令 f ( a ) = ? x ? 3? a ? x2 ? 6x ? 9 ,因为 f ( a ) ? 0 在 a (1) 若 x ? 3 ,则 f (a) ? 0不符合题意,应舍去。

? 1时恒成立,所以

(2) 若

x?3 , 则 由 一 次 函 数 的 单 调 性

? f (?1) ? 0 , 即 ? ? f (1) ? 0

? x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 ? , 解得x ? 2或x ? 4. ? 2 ? ? x ? 5x ? 6 ? 0
策略三:转化为两个函数图像之间的关系,数形结合求参数 若不等式两边的图像容易画出时,恒成立的代数问题立即变得直观化,数形结合可使解题 过程简单、快捷。数形结合法通常用到如下性质: (1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象上方; (2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象下上方。 典例3.当 x ? (1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求 a 的取值范围。
2

解析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,右边为对数函数,故可以采 用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值范围。
2 设 T1: f ( x ) = ( x ? 1) ,T2: g ( x) ? loga x ,则 T1 的图象为右

y

y1=(x-1)2 y2=logax

图所示的抛物线,要使对一切 x ? (1,2), f ( x ) < g ( x) 恒 1 成立即 T1 的图象一定要在 T2 的图象所的下方,显然 a>1, 并且必须也只需 g (2) ? f (2) 故 loga2>1,a>1,? 1<a ? 2. 策略四:联系不等式、函数、方程,转化为方程根的分布问题 o 2

x

典例 4.已知x ? ? 0, 则 m 的取值范围是: +?? 时,不等式9 ? m ? 3 ? m ?1 ? 0恒成立,
x x

A. 2 ? 2 2 ? m ? 2 ? 2 2 C. m ? 2 ? 2 2

B. m ? 2 D. m ? 2 ? 2 2

解析:令t ? 3x (t ? 1), 则由已知得函数f(t)=t2 ? mt ? m ? 1的图像在 t ? (1, ??)上恒在x轴的上方,则对于方程f(t)=0有? =(-m) 2 ? 4( m ? 1) ? 0 ?? ? 0 ?m ? 或? ?1 解得m ? 2 ? 2 2,答案C ?2 ? ? f (1) ? 1 ? m ? m ? 1 ? 0
易错提示:本题利用换元法简化了运算,但需要注意换元后自变量的取值范围。

结论:上述例子剖析了含参不等式恒成立问题的四种策略,值得一提的是,它们 之间并不是彼此孤立的,结合起来使用会使问题变得简单,思路变得灵活。


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