当前位置:首页 >> 高考 >> 高考数学综合能力题30讲第16讲 立体几何综合问题

高考数学综合能力题30讲第16讲 立体几何综合问题


数学高考综合能力题选讲 16

立体几何综合问题
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
立体几何是高中数学的重要内容, 是考察各种能力的重要载体, 考察的方法常常是将计 算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。

梁丽平

范例选讲 例 1. 如图, 已知 PA ? 面 ABC , ? BC AD 于 D, BC ? CD ? AD ? 1 。 (1)令 PD ? x , ?BPC ? ? ,试把 tan? 表示为 x 的函数,并求其最大值; (2)在直线 PA 上是否存在一点 Q,使 得 ?BQC ? ?BAC ? 讲解 (1)为寻求 tan? 与 x 的关系, B 首先可以将 ? 转化为 ?PCD ? ?PBD 。 C ∵ PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D, ∴ PD ? BD 。 PD PD x ∴ tan ?PCD ? ? x, tan ?PBD ? ? 。 DC BD 2 x x? 2 ? x 。 ∴ tan? ? tan??PCD ? ?PBD? ? x x2 ? 2 1? x ? 2 ∵ AD 为 PD 在面 ABD 上的射影。 ∴ PD ? AD ? 1 ,即 x ? 1。 ∴ tan? ?
x ? x ?2
2

P

A

D

1 x? 2 x

?

1 2 2

?

2 。 4

即 tan? 的最大值为

2 ,等号当且仅当 x ? 2 时取得。 4

(2)由正切函数的单调性可知:点 Q 的存在性等价于:是否存在点 Q 使得

tan ?BQC ? tan ?BAC 。
tan ?BAC ? tan??ACD ? ?ABD? ? 1 。 3

x 1 ? ,解得: 1 ? x ? 2 ,与 x ? 1交集非空。 x ?2 3 ∴ 满足条件的点 Q 存在。

令 tan? ?

2

点评 本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求学生有一定的空间想象 力,而且,作好问题的转化是解决此题的关键。

例 2. 如图所示:正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的
6 正切值为 。 2
P

(1) 求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2)若 E 是 PB 中点,求异面 直线 PD 与 AE 所成角的正切值; (3)在侧面 PAD 上寻找一点 F,使得 EF ? 侧面 PBC。试确定点 F 的位置,并加以证明。

E D

C

A

B

讲解: (1)连 AC, BD 交于点 O ,连 PO,则 PO⊥面 ABCD, ∴ ∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角, ∴ tan∠PAO=
6 。 2
3 。 2

设 AB=1,则 PO=AO? tan∠PAO =

设 F 为 AD 中点,连 FO、PO,则 OF⊥AD,所以,PF⊥AD,所以, ?PFO 就是 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。 PO 在 Rt ?PFO 中, tan ?PFO ? ? 3, FO ? ? ∴ ?PFO ? 。即面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 3 3 1 (2)(1) 由 的作法可知: 为 BD 中点, O 又因为 E 为 PD 中点, 所以, // PD 。 EO ? 2 ∴ ?EOD 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。 在 Rt ?PDO 中, PD ? OD 2 ? PO 2 ?
5 。 2

∴ EO ?

5 。 4

由 AO ? BD , AO ? PO 可知: AO ? 面 PBD 。所以, AO ? EO 。 在 Rt ?AOE 中 , P AO 2 10 tan ?AEO ? ? 。 EO 5 ∴ 异面直线 PD 与 AE 所成的角为 arctan
2 10 。 5

H

E

(3)对于这一类探索 性的问题,作为一种探索, 我们首先可以将条件放宽 D 一些,即先找到面 PBC 的 一条垂线, 然后再平移到点 E 即可。 为了达到上述目的, 我

C G F K O A B

们可以从考虑面面垂直入手,不难发现: 面PFO ? 面PBC 。 延长 FO 交 BC 于点 G ,连接 PG 。设 H 为 PG 中点,连接 EH, GH 。 ∵ 四棱锥 P ? ABCD 为正四棱锥且 F 为 AD 中点,所以, G 为 BC 中点, ∴ BC ? PG , BC ? FG 。 ∴ BC ? 面PFG 。∴ 面 PBC ⊥ 面PFG 。 ∵ PF ? PG , ?PFO ?

?
3

,∴ ?PFG 为正三角形。

∴ FH ? PG ,∴ FH ? 面PBC 。 取 AF 中点为 K,连 EK,则由 HE // FK 及 HE ? FK 得四边形 HEKF 为平行四 边形,所以, KE // FH 。 ∴ KE ? 面PBC 。 点评 开放性问题中,“退一步去想”(先只满足部分条件)、“将命题 加强”往往是找到解题的突破口的方法。

高考真题

1. (2000 年全国高考题) 如图, 已知平行六面体 ABCD- A1 B1C1 D1 的底面 ABCD

是菱形,且 ?C1CB = ?BCD = 60? 。 (I)证明: C1C ⊥BD; (II)假定 CD=2, C1C = ,记面 C1 BD 为 ? ,面 CBD 为 ? ,求二面角 ? ? BD ? ? 的平面角的余弦值; (III)当
CD 的值为多少时,能使 A1C? 平面 C1 BD ?请 CC1

3 2

给出证明。 2. (2002 年全国高考) 如图: 正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1, 而且平面 ABCD、 ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN= a 0 ? a ? 2 . (Ⅰ)求 MN 的长; (Ⅱ)当 a 为何值时,MN 的长最小; (Ⅲ)当 MN 的长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 ? 的大小。
D M B N A F E

?

?

C

[答案与提示:1。(Ⅰ)略;(Ⅱ)
CD (Ⅲ) =1。 CC1

3 ; 3
2

? 2 2? 1 ? ? 0 ? a ? 2 ;(Ⅱ) a ? 2.(Ⅰ) MN ? ? a ? ? ? 2 2 ? 2 ?
2 ? 1? ;(Ⅲ) arccos? ? ? ] 2 ? 3?

?

?

时,MN 的长最小,为


赞助商链接
更多相关文档:

高考数学 立体几何大题30题

立体几何大题 1.如下图,一个等腰直角三角形的硬纸片 ABC 中,∠ACB=90°,...高考数学综合能力题30讲... 4页 免费 2011届高考数学第一轮复... 暂无...

近五年高考数学立体几何试题的研究(1)

35 III 1 引言 1.1 问题的提出 立体几何高考命题的重点内容,也是考查考生的空间观念、逻辑思维能力、空间想象能力及 推理运算能力的有效载体. 随着数学新课程...

数学高考(理)第一轮复习(江苏版):第16讲空间立体几何20...

数学高考(理)第一轮复习(江苏版):第16讲空间立体几何2018新题赏析 - 数学 第 16 讲 空间立体几何 2018 新题 赏析 金题精讲 题一:如图,在下列四个正方体...

数学高考(文)第一轮复习(江苏版):第16讲空间立体几何20...

数学高考(文)第一轮复习(江苏版):第16讲空间立体几何2018新题赏析 - 数学 第十六讲 空间立体几何 2018 新题赏析 金题精讲 题一:如图,在下列四个正方体中,...

高二第五讲 立体几何综合高考专题

第5 讲 立体几何综合高考专题 (A 级试题) 1. (2009 湖北理) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S -ABCD 的底面是正方形, SD ? 平面ABCD,SD ? 2a...

全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

全国高考文科数学立体几何综合题型汇总_数学_高中教育_教育专区。新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 ...

高考文科数学试题分类汇编—立体几何

高中数学 文科试题解析分类汇编:立体几何 一、选择题 1.【高考新课标文 7】...命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题,体现了对学生空间想象能力综合考...

2015江苏高考数学考点热点立体几何专题

2015江苏高考数学考点热点立体几何专题_高三数学_数学...想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力...平面 PCD . P M A O B C D (第 16 题) ...

高考数学立体几何分析及备考建议

根据试题所涵盖的知 识内容以及解决问题所采用的思维...年高考立体几何试题体现了“基于基础,关 注能力,...文科第 7 题我校平均得分 3.30 分, 黄石市平均...

高考立体几何经典30题__详细解释

高考立体几何经典30题__详细解释_数学_高中教育_...的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题能力。...D.16【答案】D 【解析】由正视图知:三棱柱是以...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com