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2013年深圳高三数学四模考试试题(文数)


数学(文科)试题
一.选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。. 1.“ a ? ?2 ”是“复数 z ? (a 2 ? 4) ? (a ? 1)i(a ? R) 为纯虚数”的 A.充分非必要条件 C.充要条件 2.已知 cos A ? sin A ? ? A. B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

12 5

7 ,A 为第二象限角,则 tanA= 13 5 12 B. C. ? 12 5

. D. ?

5 12

3.在数列 {an } 中, an?1 ? can c 为非零常数.,且前 n 项和为 Sn ? 3n ? k ,则实数 k 的值 为 A.0 . B.1 C.-1 D.2 .

4.在等腰直角三角形 ABC 中,若 M 是斜边 AB 上的点,则 AM 小于 AC 的概率为

A.

1 4
D.

(深圳家教

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)

B.

2 2

C.

1 2

3 2
ax ? b ? 0 的解集 x?2

5.若关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 是 . B. (?1, 2) D. (??,1) ? (2, ??) . C.44
2

A. (??, ?1) ? (2, ??) C. (1, 2) 6.右面程序运行后,输出的值是 A.42 B.43
2

D.45 ..

7.自点 P( x,3) 向圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 引切线,则切线长度的最小值等于 A. 5 2 B. 2 6 C. 2 3

D. 2 5

8. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直 线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为
用心 爱心 专心

A. 30

?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

9.若关于 x 的方程 4 ? x2 ? kx ? 3 ? 2k ? 0 有且只有两个不同的实数根,则实数 k 的 取值范围是 A. [

5 , ?? ) 12

B. (

5 ,1] 12

C. (0,

5 ] 12

D. (

5 3 , ] 12 4

x2 y2 10.过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线,与椭圆的另一个交点 a b
为 M ,与 y 轴的交点为 B 。若 AM ? MB ,则该椭圆的离心率为 .

A.

6 2

B.

2 3

C.

6 3

D.

1 3

? x 2 ? bx ? c( x ? 0) 11.设函数 f ( x) ? ? ,若 f -4.= f 0. -2 .= 0,则不等式 f ? x ? ≤ 1 ,f ??2( x ? 0)
的解集为 . B. [?3, ?1] D. [?3, ??)

A. [?3, ?1] ? (0, ??) C. (??, ?3] ? [?1, ??)
2

12.若方程 ax ? bx ? 4 ? 0 ? a, b ? R, a ? 0? 有两个实数根,其中一个根在区间 1,2.内, 则 a ? b 的取值范围是 A. ? ??,4? B. ? 4,??? C. ? ??, ?4? D. ? ?4, 4 ?

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶.酸奶.婴幼儿奶粉.成人奶粉,且纯奶.酸 奶.婴幼儿奶粉.成人奶粉分别有 30 种.10 种. 35 种. 25 种不同的品牌.现采用分 层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测, 若抽取的婴幼儿奶 粉的品牌数是 7 ,则 n ? .
A1 C1

14.如图,在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截

B1 D



?BC1 D 是 面 积 为 6 的 直 角 三 角 形 , 则 此 三 棱 柱 的 体 积
为 。

A

C B 第(11)题

用心

爱心

专心

15.以下五个命题中,正确命题的序号是______________ ①△ABC 中,A>B 的充要条件是 sin A ? sin B ; ②函数 y ? f ( x) 在区间 1,2.上存在零点的充要条件是 f (1) f (2) ? 0 ; ③等比数列{a n }中, a1 ? 1 ,公比 q>0, 则前 n 项和为 S n ? ④把 函数 y ? sin(2 x) 的图 象向左平移

1 ? qn ; 1? q

? 个 单位后, 得到的图象对 应的解析式 为 6

y ? cos(2 x ? ) ; 6
⑤若 loga (a2 ? 1) ? loga (2a) ? 0 ,则 a 的取值范围为 ?

?

?1 ? ,1? 。 ?2 ?

16.已知两点等分单位圆时,有相应正确关系为: sin ? ? sin ?? ? ? ? ? 0 ;三点等分单位 圆时,有相应正确关系为 sin ? ? sin ? ? ? 分单位圆时的相应正确关系:

? ?

2? 3

4? ? ? ? ? sin ? ? ? 3 ? ?

? ? ? 0 .由此可以推知四点等 ?


三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.本小题满分 12 分.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , | a ? b |? 1.求 cos(? ? ? ) 的值; 2.若 0 ? ? ?

?

?

? ?

2 5 , 5

?
2

,?

?
2

? ? ? 0 ,且 sin ? ? ?

5 ,求 sin ? 的值. 13

用心

爱心

专心

18.本小题满分 12 分.从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,据测量 被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组

?155,160? .第二组 ?160,165? ;…第八组 ?190,195? ,右图是按上述分组方法得到的频率
分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组.第七组.第八组人数依次构 成等差数列。 1.估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上含 180cm.的人数; 2.求第六组.第七组的频率并补充完整频率分布直方图; 3.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为

x、 y ,求满足: x ? y ? 5 的事件概率。

19.本小题满分 12 分.已知数列

?an?, a1 ? 1, an ? ?an?1 ? ? ? 2.? n ? 2?

1.当 ? 为何值时,数列 ?an ? 可以构成公差不为零的等差数列,并求其通项公式 2.若 ? ? 3, 令 bn ? 2n( an ? ), 求数列 ?bn ? 的前 n 项和

1 2

用心

爱心

专心

? 20. 本小题满分 12 分. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 ,
P

Q 为 AD 的中点。
1.若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; 2.点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定实数 t 的值,使
A Q D

M

C


B

PA∥平面 MQB 。

21.本小题满分 12 分.已知圆 A : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16,N 为圆上的一动点,点 B1,0., 点 M 是 BN 的中点,点 P 在线段 AN 上,且 MP?BN ? 0 。 1.求动点 P 的轨迹 C 的方程; 2.过 A 作一条与两坐标都不垂直的直线 l 交轨迹 C 于 P.Q 两点,在 x 轴上是否存在点 N,使得 NF 恰好为 PNQ 的内角评分线,若存在,求出点 N 的坐标,若不存在,请说明理 由。

???? ??? ?

用心

爱心

专心

22.本小题满分 14 分.设函数 f ( x ) ? 2ax ? Ⅰ.若 f ( x ) 在 x ? 1, x ? i .求 a、b 的值;

b ? 1nx 参考数据 e2 ? 7.389, e3 ? 20.08) x

1 处取得极值, 2

ii.在 [ , 2] 上存在 x0 ,使得不等式 f ( xo ) ? c ? 0 成立,求 c 的最小值 Ⅱ.当 b=a 时,若 f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围。

1 4

用心

爱心

专心

参考答案
17.本题满分 14 分.已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x 。 (1) 求函数 f (x) 在 [ ?

? ?

, ] 上的值域; 6 3

(2) 在 ?ABC 中,若 f (C ) ? 2,2 sin B ? cos(A ? C ) ? cos(A ? C ) ,求 tan A 的值。 16 sin ? ? sin ? ? ?

? ?

??

3? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ? ? 2? 2 ?

? ??0 ?

( II )假设存在满足条件的点N 0 ,0). 21.本小题满分 12 分. (x a 由题意可设直线l的方程为y=k(x+1) 已知函数 fx.=lnx- , x (k ? 0) 设p(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 ) ? NF为▲PNQ的内角平分线 ? K NP ? ? K NQ ..............................................................10分
的最小值为 (I) 求函数 fx.的单调增区间; (II) 若函数 fx. 在 [1,e]上

2 ,求实数 a 的值。 3


3.

y1 y2 ? x1 -x0 x2 -x0


?

已 k(x1 +1) k(x2 +1) ? ? (x1 +1)(x2 -x0 ) ? ?(x2 ? 1)(x1 -x0 ) x1 -x0 x2 -x0

? x0 ?

x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ..................................................................................11分 x1 ? x2 ? 2

? y ? k ( x ? 1) ? 又 ? x2 y 2 ? 3x 2 ? 4k 2 ( x ? 1) 2 ? 12 ?1 ? ? ? cos ? x 3 ?4 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?

( x ≤ 0) ( x ? 0)





4 4 8k 2 4k 2 ? 12 f ( ) ? f ( ? ) 的值为 . , x1 x2 ? 2 2 3 3 3 ? 4k 3 ? 4k 8k 2 8k 2 ? 24 A. - 2 B. - 1 C.1 ? + 2 2 3 ? 4k = ? 4 ? 3 ? 4k D.2 8k 2 23 ? 4k 2 19. 解: ?存在满足条件的点N,点N的坐标为(-4,0) ................................................14分
1.∵ a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?

?

用心

爱心

专心

∴ a ? b ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ) , ∵ | a ? b |?

? ?

? ?

2 5 , 5
2 2

∴ (cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? ) ? 即 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 2.∵ 0 ? ? ?

2 5 , 5

? ? ? 0 ,∴ 0 ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 ∵ cos(? ? ? ) ? ,∴ sin(? ? ? ) ? , 5 5 5 12 ∵ sin ? ? ? ,∴ cos ? ? , 13 13 2
,? ∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ]

?

?

4 3 , cos(? ? ? ) ? . 5 5

? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ?
4 12 3 5 33 ? ? ? (? ) ? , 5 12 5 13 65 33 sin ? ? . 65 ?
20.此题主要考查数列.等差.等比数列的概念.数列的递推公式.数列前 n 项和的求法 同时考查学生的分析问题与解决问题的能力,逻辑推理能力及运算能力. 解:I.

a2 ? ? a1 ? ? ? 2 ? 2? ? 2 a3 ? ? a2 ? ? ? 2 ? 2? 2 ? 2? ? ? ? 2 ? 2? 2 ? ? ? 2 ? a1 ? a3 ? 2a2 ,?1 ? 2? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2? ? 2 ? 得2? 2 ? 5? ? 3

? ? 1或? ?

3 2

? 数列?an ? 构成以a1 ? 1为首项,公差为 ? 1的等差数列, an ? ?n ? 2 ?
Ⅱ.

3 3 当? ? 时,a2 ? 2 ? ? 1 ? 1,a1 ? a2不合题意舍去 2 2 ? ? 1时,带入an ? ? an ?1 ? ? ? 2可得 : an ? an ?1 ? ?1

用心

爱心

专心

由? ? 3可得,an ? 3an ?1 ? 3 ? 2; ? an ? 3an ?1 ? 1 1 3 1 1? ? ? 3an ?1 ? ? an ? ? 3 ? an ?1 ? ? 2 2 2 2? ? 1 3 即bn ? 3bn ?1 ? n ? 2 ? , 又b1 ? a1 ? ? 2 2 3 ? 数列?bn ? 构成以b1 ? 为首项,公比为3的等比数列 2 3 n ?1 1 n ? bn ? ? 3 ? ? 3 2 2 3 ?1 ? 3n ? 3 n ? Sn ? 2 ? ? 3 ? 1? 1? 3 4 若由? ? 1时,直接得:an ? an ?1 ? 1 ? 2 ? an ?1 ? 1;即n ? 2时,an ? an ?1 ? ?1恒成立, ? an ? ? 数列数列?an ? 构成以a1 ? 1为首项,公差为1的等差数列; 则an ? 1 ? ? ?1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 2, 该解法不严谨本小题扣2分
16.本题满分 14 分. 解:1.连 BD ,四边形 ABCD 菱形

? AD ? AB , ?BAD ? 60?
P M

? ?ABD为正三角形 Q为AD中点
? AD ? BQ

? PA ? PD

Q 为 AD 的中点, AD ? PQ
Q

D O N A B

C

又 BQ ? PQ ? Q

? AD ? 平面PQB , AD ? 平面PAD ? 平面PQB ? 平面PAD
2.当 t ?

1 时,使得 PA || 平面MQB ,连 AC 交 BQ 于 N ,交 BD 于 O ,则 O 为 BD 的 3

中点,又? BQ 为 ?ABD 边 AD 上中线,? N 为正三角形 ABD 的中心,令菱形 ABCD 的 边长为 a ,则 AN ?

3 a , AC ? 3a 。 3
PA ? 平面P A C 平面PAC ? 平面MQB ? MN

? PA || 平面M Q B
? PA|| MN

用心

爱心

专心

3 a PM AN 3 ?1 ? ? PC AC 3a 3
22.本小题满分 14 分. 解:I.1.? f ( x) ? 2ax ?

即: PM ?

1 PC 3

t?

1 。 3

b ? 1nx , x

? f ' ( x ) 2? ? a

b 1 ? 。…………………………………………1 分 x2 x 1 处取得极值, 2

? f ( x) x? 1 , x 在 ? ? f ' ( 1? ) 0, f

1 ' ( )…………………………………………………2 分 ? 0 2

1 ? ?a ? ? 3 ? 2a ? b ? 1 ? 0 ? 解得 ? 即? ?2a ? 4b ? 2 ? 0 ?b ? ? 1 ? 3 ?
1 1 ? 所求a、b的值分别为- , ? ………………………………………4 分 3 3
ii.在 [ , 2]存在xo , 使得不等式 f ( xo ) ? c ? 0成立,只需c ? [ f ( x)]min , 由 f '( x ) ? ?

1 4

2 1 1 x? 2 ? 3 3x x

??
??

2 x 2 ? 3x ? 1 3x 2
(2 x ? 1)( x ? 1) , 3x 2

1 1 1 1 ?当x ? [ , ]时,f '( x) ? 0, 故 f ( x ) 在[ , 是单调递减 ; ] 4 2 4 2
当 x ? [ ,1]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[ ,1]是单调递增 ;

1 2

1 2

当x ?[ 1, 2 ] f 时,

x( ),故 f ( x ) [ 1,是单调递减 ; '? 0 在 2]

1 1 ? f ( )是f ( x)在[ , 2]上的极小值 .……………………………………6 分 2 4
面 f( )?

1 2

1 1 1 ? 1n ? ? 1n2 3 2 3

用心

爱心

专心

7 f(2) ? ? n , ? 1 2 6
且 f ( ) ? f (2) ?

1 2

3 3 ? 1n4 ? 1ne 2 ? 1n4, 2

又 e3 ? 16 ? 0,?1ne 2 ? 1n4 ? 0

3

?[ f ( x )m]i n? f ( ,) 2
7 ? c ?[ f ( x)m]i n ? ? 6 ?1 2 m

7 7 ? c的取值范围为[? ? 1n2, ??), 所以c的最小值为 ? ? 1n2. ……………9 分 6 6
Ⅱ.当 a ? b时,f '( x) ?

2ax 2 ? x ? a , x2

① 当a ? 0时,f ( x) ? 1mx.则f ( x)在(0, ??)上单调递增 ; ②当 a ? 0 时, , ? x ? 0 ,? 2 x ? x ? a ?0 a2

? f ' ( x )? ,则 f (x ) 0 , + 上单调递增; 0 在( ? )
③ 当a ? 0时,设g ( x) ? 2ax2 ? x ? a, 只需? ? 0 , 从面得 a ? ?

2 , 此时f ( x)在(0 ? ?)上单调递减 ; 4 2 .………………………14 分 (深圳 ] ? [0,+?) 4
提供此文。

综上得, a的取值范围是(? ?, ? 家教 www.0755zyjj.com )

用心

爱心

专心


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