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3.3离散型随机变量及其分布(2)


第三章 概率与统计
3.3 离散型随机变量及其分布

设在1000次重复实验中,离散随机变量 ? 取值为100有

? =100发生的频率为0.3, 300次,取值200有700次,即事件
事件? =200发生的频率为0.7. 这时可以认为离散随机变量?

的概率分布为

创 设 情 境 兴 趣 导 入

?
P

100 0.3

200 0.7

这里随机变量 ? 取值只有100和200.能否认为 ? 的平均 1 取为 (100 ? 200) ? 150 呢?显然是不可能的.因为 ? 取值只 2 有100和200的可能性是不同的.

1 (100 ? 300 ? 200 ? 700) ? 100 ? 0.3 ? 200 ? 0.7 ? 170. 值为 1000

? 取值为100有300次,取值200有700次,故? 的平均取

一般地,设离散型随机变量 ? 的所有取值为有限个值

x1,x2,x3, ?,xn, 其概率分布为
?

P

x1 p1

x2
p2

x3 p3




xn pn

动 脑 思 考 探 索 新 知

则将

x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ? ?? xn pn

叫做随机变量 ? 的均值(或数学期望),记作E (? ). 即

E (? ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ? ? ? xn pn.

( x1 ? E(? ))2 p1 ? ( x2 ? E(? ))2 p2 ? ( x3 ? E(? ))2 p3 ? ? ? ( xn ? E(? ))2 pn

叫做随机变量? 的方差,记作 D (? ).即
D(? ) ? ( x1 ? E(? ))2 p1 ? ( x2 ? E(? ))2 p2 ? ( x3 ? E(? ))2 p3 ? ? ? ( xn ? E(? ))2 pn

离散型随机变量的均值反映出随机变量取值的平均水平,

方差反映出离散型随机变量 ? 的可能取值与它的均值的偏离

动 脑 思 考 探 索 新 知

程度.可以证明:
D(? ) ? E(? 2 ) ? ( E(? ))2
2 2 2 2 2 其中 E(? ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ??? xn pn.

方差的算术平方根 D(? )叫做随机变量的标准差.

例3 某工厂生产一批商品,其中一等品占 ,每件一等品
获利3元;二等品占
1 1 ,每件二等品获利1元;次品占 ,每件 6 3

1 2

次品亏损2元. 设? 为任一件商品的获利金额(单位:元),求

巩 固 知 识 典 型 例 题

(1)随机变量? 的概率分布; (2)随机变量? 的均值;

(3)随机变量? 的方差.
解 (1)随机变量 ? 的所有取值为-2,1,3,取这些值的 概率依次为 、、. 故其概率分布为
1 1 1 6 3 2

?

-2

1

3

P

1 6

1 3

1 2

例3 某工厂生产一批商品,其中一等品占 ,每件一等品
获利3元;二等品占
1 1 ,每件二等品获利1元;次品占 ,每件 6 3

1 2

次品亏损2元. 设? 为任一件商品的获利金额(单位:元),求

巩 固 知 识 典 型 例 题

(1)随机变量? 的概率分布; (2)随机变量? 的均值;

(3)随机变量? 的方差.
(2)E (? ) ? (?2) ?

故变量 ? 的均值为1.5,即每件商品平均获利1.5元.

1 1 1 3 ? 1? ? 3 ? ? , 6 3 2 2

例3 某工厂生产一批商品,其中一等品占 ,每件一等品
获利3元;二等品占
1 1 ,每件二等品获利1元;次品占 ,每件 6 3

1 2

次品亏损2元. 设? 为任一件商品的获利金额(单位:元),求

巩 固 知 识 典 型 例 题

(1)随机变量? 的概率分布; (2)随机变量? 的均值; 概率分布是对离 1 1 散型随机变量的一 2 1 11 (3)    E(? 2 ) ? (?2)2 ? ? 12 ? ? 3 ? ? , 种完整的描述,均 6 3 2 2 值和方差反映出随 11 3 2 13 2 2 机变量的一些综合 所以 D(? ) ? E (? ) ? ( E(? )) ? ?( ) ? . 2 2 4 指标,一般称为随 机变量的数字特 征.

(3)随机变量? 的方差.

已知离散型随机变量 ? 的概率分布为

?

1

2

3

运 用 知 识 强 化 练 习

P

1 2

1 3

1 6

求随机变量 ? 的均值与方差.

5 5 E ?? ? ? ,E ?? ? ? . 3 9

什么叫做随机变量 ? 的均值(或数学期望)? 一般地,设离散型随机变量 ? 的所有取值为有限个值

理 论 升 华 整 体 建 构

x1,x2,x3, ?,xn, 其概率分布为
?

P

x1 p1

x2
p2

x3 p3

… …

xn pn

则将

x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ? ?? xn pn
叫做随机变量 ? 的均值(或数学期望),记作E (? ).即

E (? ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ? ? ? xn pn.

学习效果

自 我 反 思 目 标 检 测

学习行为 学习方法

已知离散型随机变量 ? 的概率分布为

?

-2

-1

1

3

自 我 反 思 目 标 检 测

P

1 2

1 6

1 4

1 12

求随机变量 ? 的均值与方差.

2 49 E ?? ? ? ? ,E ?? ? ? . 3 18

读书部分:阅读教材相关章节

继 续 探 索 活 动 探 究

书面作业:教材习题3.3(必做) 学习指导3.3(选做)

实践调查:用本课所学知识解决
生活中的实际问题


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