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2013届高三数学考前冲刺练习3_图文

2013 届高三数学考前冲刺练习 3 1.有序数对 ( a, b) 满足 a??0,3? , b???2,2? ,关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 有实 根的概率 .

2.已知 {an } 是等差数列,设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | (n ?N? ) .某学生设计了一个求 Sn 的部分算法流程图(如图) ,图中空白处理框中是用 n 的表达式对 Sn 赋值,则空白处理框中 应填入: Sn ← .

3.设 a , b 为不重合的两条直线, ? , ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若

a ? ? , b ? ? , a, b是异面直线,那么 b // ? ; (2)若 a ∥ ? 且 b ∥ ? ,则 a ∥ b ; (3)若
a ? ? , b //? , a ,b 共面,那么 a // b ; (4)若 a ? ? 且 a ? ? ,则 ? ∥ ? .上面命题中,所有真 .
命题的序号是 .. .

4.将函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图像沿坐标轴右移,使图像的对称轴与函数 y ? cos(2x ? ) 的 3 3
. .

?

对称轴重合,则平移的最小单位是

3 3 x, y ?[? , ] x ? sin x ? 2a ? 0, 4 y ? sin y cos y ? a ? 0 则 tan( x ? 2 y ) ? 4 4 , 5.

? ?

6.若函数 y ? mx2 ? x ? 5 在 ? ?2, ??) 上是增函数,则 m 的取值范围是_______

1 ? f ( x) 且 7.f ( x) 满足 ln x ? 1 ? f ( x) , x1 , x2 均大于 e ,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , f ( x1 x2 ) 最小值为
8 . 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , a 2 ? 为 。
2 2



1 2 1 1 , ? ? (n ? N * ) , 则 该 数 列 的 通 项 2 a n ?1 a n a n ? 2
1 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为 2

9.已知对称中心为原点的双曲线 x ? y ?

倒数,则该椭圆的标准方程为___________________。

b 的最大值是_____________ a?3 ??? ? ??? ? ??? ? 0 11 . O 是 ?ABC 外 心 , AB=2 , AC=1 , ?BAC ? 120 , AO ? ?1 AB ? ?2 AC , 则
10.设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6 ,则

?1 ? ?2 ?
??? ? ??? ?



12. PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 ,设 PC ? 2 PA? PB,则 PC 的最小值 是 。

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? ? ? ? ? 13. a =(1+cos ? ,sin ? ), b =( 1-cos ? ,sin? ), c ? (1,0) , ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) , a 与 c 夹角
1

为 ?1 , b 与 c 夹角为 ?2 , ?1 - ?2 = 且

?

?

? , ? ? ? .求 A= (Ⅰ) 求角 A 的大小;(Ⅱ) ?ABC 若 6

的外接圆半径为 4 3 ,试求 b+c 取值范围.

14.直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为 AA1 , CC1 的中点, AC ? BE ,点 F 在线段 AB 上, 且 AB ? 4AF .⑴求证: BC ? C1D ;⑵若 M 为线段 BE 上一点,试确定 M 在线段 BE 上的 位置,使得 C1 D / / 平面 B1 FM .
B1
C1
A1

E C B
? F

D A

15.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

?

Sn ? 1 是公比为 2 的等比数列。 (1)证明: ?an ? 成

?

等比数列的充要条件是 a1 ? 3 ;2) n ? 5n ? (?1)n an (n ? N ? ).若bn ? bn?1对n ? N ?恒成立, ( b

求a1的取值范围。

15.已知定圆 A : ( x ? 3) ? y ? 16, 圆心为 A,动圆 M 过点 B(
2 2

3,0) ,且和圆 A 相切,

2

动圆的圆心 M 的轨迹记为 C.(Ⅰ)求曲线 C 的方程;(Ⅱ)若点 P( x0 , y0 ) 为曲线 C 上一点, 探究直线 l : x0 x ? 4 y0 y ? 4 ? 0 与曲线 C 是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存 在请说明理由.

2 16.已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x .( a ? R ) (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f (x) 在区间[1,e]

1 2

上的最大值和最小值; (Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下 方,求 a 的取值范围.

3

4

解:(Ⅰ) 圆 A 的圆心为 A(? 3,0),半径r1 ? 4 ,

……………… 1 分

设动圆 M 的圆心为 M ( x, y),半径为r2 , 依题意有 r2 ?| MB | . ………… 2 分 , 由|AB|= 2 3 ,可知点 B 在圆 A 内,从而圆 M 内切于圆 A,故|MA|=r1-r2, 即|MA|+|MB|=4, ……………… 4 分

x2 y2 所以,点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
由 2a ? 4,2c ? 2

3, 可得a 2 ? 4, b 2 ? 1.
x2 ? y 2 ? 1. 4
……………… 6 分

故曲线 C 的方程为

(Ⅱ)当 y 0 ? 0时,由

2 x0 2 ? y 0 ? 1, 可得x0 ? ?2 , 4

当x0 ? 2, y0 ? 0时, 直线l的方程为 0 ? 2, 直线l与曲线C有且只有一个交点2,0).. x (

当x0 ? ?2, y0 ? 0时, 直线l的方程为 0 ? ?2, 直线l与曲线C有且只有一个交点?2,0). x (

5

4 ? x0 x ? ?y ? 4y , 4 ? x0 x ? 0 当y 0 ? 0时, 直线l的方程为y ? , 联立方程组: ? 2 4 y0 ? x ? y 2 ? 1. ?4 ?
2 2 2 消去 y, 得(4 y0 ? x0 ) x 2 ? 8x0 x ? 16 ? 16y0 ? 0.

………………8 分



…………… 10 分

2 x0 2 2 2 ? y 0 ? 1. 可得4 y 0 ? x0 ? 4. 由点 P( x0 , y0 ) 为曲线 C 上一点, 得 4

2 于是方程①可以化简为 x 2 ? 2x0 x ? x0 ? 0. 解得 x ? x0 ,

…………… 12 分

将x ? x0 代入方程y ?

4 ? x0 x 可得y ? y 0 , 故直线l与曲线C有且有一个交点 ( x0 , y 0 ), P 4 y0
……………………………………………………………13 分

综上,直线 l 与曲线 C 存在唯一的一个交点,交点为 P( x0 , y0 ) .

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 2 1 x2 ?1 x ? ln x , f ?( x) ? x ? ? ;………………2 分 2 x x

对于 x ?[1,e],有 f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在区间[1,e]上为增函数,…………3 分 ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

1 e2 , f min ( x ) ? f ( 1 ) ? .……………………………5 分 2 2

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,则 g (x) 的定义域为(0,+∞).
2

1 2

……………………………………………6 分 在区间(1,+∞)上,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区 间(1,+∞)上恒成立. ∵ g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ① 若a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x 2 ? ,………………8 分 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x2 ,+∞)上有 g ?( x) ? 0 , 2
此时 g (x) 在区间( x2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有

6

g (x) ∈( g ( x2 ) ,+∞),不合题意;………………………………………10 分
当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g (x) 在区间(1,+∞)上,有

g (x) ∈( g (1) ,+∞),也不合题意;………………………………………12 分
② 若a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g (x) 在区间(1,+∞)上是减函数;……………………………………14 分 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? 由此求得 a 的范围是[ ?

1 1 ?0?a?? , 2 2

1 1 , ]. 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ∈[ ? , ]时,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方. 2 2

7


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