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高中数学 2.3.1 直线与平面垂直的判定及其性质课件 新人教A版必修2_图文

2.3.1 直线与平面垂直的判定 直线与平面的垂直 [提出问题] 鲁班是我国古代一位出色的发明家, 他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有 画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进, 做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒 是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方 向)检查两次,如右图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别 与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直. 问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂 直吗? 提示:不能. 问题2:上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什 么? 提示:直线垂直于平面内的两条相交直线. 问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与 平面垂直吗? 提示:不一定. [导入新知] 1.直线与平面垂直的定义 任意一条直线都 (1)自然语言:如果直线l与平面α内的________ l⊥α 直线l叫 垂直 ,就说直线l与平面α互相垂直,记作______. ______ 垂线 ,平面α叫做直线l的_______ 垂面 .直线与平面 做平面α的______ 垂足 . 垂直时,它们唯一的公共点P叫做________ (2)图形语言:如图. 画直线l与平面α垂直时,通常把直 线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. l⊥ α . (3)符号语言:任意a?α,都有l⊥a?________ 2.直线与平面垂直的判定定理 两条相交直线 都 (1)自然语言:一条直线与一个平面内的_____________ 垂直,则该直线与此平面垂直. (2)图形语言:如图所示. a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b ?l⊥α. (3)符号语言:______________________________ [化解疑难] 1.关于直线与平面垂直的定义的理解: (1)定义中的“任何一条直线”这一词语,它与“所有直 线”是同义语,定义是说这条直线和平面内所有直线垂直. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式. (3)若直线与平面垂直,则直线和平面内的任何一条直线 都垂直,即“线面垂直,则线线垂直”,这是我们判定两条 直线垂直时经常使用的一种重要方法. (4)在画线面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四 边形的横边垂直,符号语言表述为l⊥α. 2.判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键 性词语,此处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直 线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直. 3.要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在 该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两 条直线是否与已知直线有交点,这是无关紧要的. 直线与平面所成的角 [提出问题] 斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔 上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合 起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性 支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻 了结构重量,节省了材料。斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组 成. 问题1:上图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系, 其倾斜程度相同吗? 提示:不同. 问题2:能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程 度吗? 提示:能. 问题3:直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线 所成角一样把空间角转化为平面角吗? 提示:能. [导入新知] 射影 所成的 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的______ 锐角 ,叫做这条直线和这个平面所成的角. _______ 如图,__________ ∠PAO 就是斜线AP与平面α所成的角. (2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是______. 90° (3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是 0° _____. 0°≤θ≤90° (4)线面角θ的范围:_________________. [化解疑难] 关于直线与平面所成的角的认识 (1)把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点P 的选取是任意的;②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足 的一条直线而不是线段. (2)其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想, 即把空间角等价转化为平面角,并放在三角形内求解. 线面垂直的定义及判定定理的理解 [例1] 下列说法中正确的个数是( ) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α; ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α; ③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线; ④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂 直. A.0 C.2 B.1 D.3 [解析] 由直线和平面垂直的定理知①对;由直线与 平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α 内的无数条直线垂直,故③不对;④正确. [答案] D [类题通法] 1.对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内 的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不 是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜 交. 2.判定定理中要注意必须是平面内两相交直线. [活学活用] 1.下列说法中,正确的是( ) A.若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α B.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交, 可能异面,也可能平行 C.若a∥b,a?α,l⊥α,则l⊥b D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α 解析:当l与α内的任何一条直线都垂直时,l⊥α,故A错; 当l⊥α时,l与α内的直线相交或异面,但不会平行,故B 错;C显然是正确的;而D中,a可能在α内,所以D错误. 答案:C 线面垂直的判定 [例2] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1 ⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90° ,D为 BB1的中点. 求证:AD⊥平面A1DC1. [证明] ∵AA1⊥底面ABC, 平面A1B

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