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2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第9章 第3节 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验 文


【锁定高考】 (新课标版)2015 届高考数学一轮总复习(基础达标+ 提优演练) 第 9 章 第 3 节 变量间的相关关系、 回归分析及独立性检 验 文
A 组 基础达标 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 2,3,8 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) (2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系, 并 求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423; ^ ②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y=5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(D) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ ①中 y 与 x 负相关而斜率为正, 不正确; ④中 y 与 x 正相关而斜率为负, 不正确. 故 选 D. ^ ^ 已知变量 x,y 之间具有线性相关关系,其回归方程为y=-3+bx,若

^ ,则b的值为(A) A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 17 4 ^ 依题意知,x= =1.7,y= =0.4,而直线y=-3+bx 一定经过点(x,y),∴ 10 10 -3+b×1.7=0.4,解得 b=2. 某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系,随机调查了部分工人,得到如 下表所示的数据(单位:人): 月收入 2000 元 以下 及以上 高中文化以上 高中文化及以下 合计 月收入 2000 元 合计 10 20 30 45 30 75 55 50 105
1

105×(10×30-20×45) 2 由上表中的数据计算,得 K = ≈6.109,则我们有多大把握 55×50×30×75 认为“文化程度与月收入有关系”(D) A. 1% B. 99% C. 5% D. 95% 2 由 K ≈6.109>3.841,∴有 95%的把握认为“文化程度与月收入有关系”,故选 D. (2013·河北模拟)对四组数据进行统计, 获得以下散点图, 关于其相关系数的比较, 正确的是(A)

2

A. B. C. D.

r2<r4<0<r3<r1 r4<r2<0<r1<r3 r4<r2<0<r3<r1 r2<r4<0<r1<r3 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义,可知 r2<r4<0<r3<r1,故选 A. 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) 考古学家通过始祖鸟化石标本发现: 其股骨长度 x(cm)与肱骨长度 y(cm)的线性回归 ^ 方程为 y = 1.197x - 3.660 ,由此估计,当股骨长度为 50 cm 时,肱骨长度的估计值为 __56.19__cm. ^ 根据回归方程y=1.197x-3.660,将 x=50 代入,得 y=56.19,则肱骨长度的估 计值为 56.19 cm. 2 在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 1 671 人,经过计算 K 的观测值 k= 27.63,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是__有关__的.(填“有关”或 “无关”) 由观测值 k=27.63 与临界值比较,我们有 99%的把握说打鼾与患心脏病有关. ^ ^ ^ (2013·大连测试)已知下列表格所示数据的回归直线方程为y=3.8x+a, 则a的值为 __242.8__. x y 2 251 3 254 4 257 5 262 6 266

^ 由已知得 x=4,y=258,∵点(x,y)在回归直线上,∴a=242.8. 三、 解答题(共 15 分)
2

(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先 拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

^ ^ ^ ^ ^ (1)求回归直线方程y=bx+a,其中 b=-20,a=y-bx; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 1 (1)由于 x= ×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,(1 分) 6 1 y= ×(90+84+83+80+75+68)=80.(2 分) 6 ^ ^ ^ ∴a=y-bx=80+20×8.5=250,从而回归直线方程为y=-20x+250.(7 分) (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x 2 +330x-1 000=-20(x-8.25) +361.25.(10 分) 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.(15 分)
2

B 组 提优演练 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 2,3,7 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分)

(2012·湖南高考)设某大学的女生体重 y(单位: kg)与身高 x(单位: cm)具有线性相 ^ 关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y= 0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是(D) A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(x,y) C. 若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D. 若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 由于回归直线的斜率为正值,故 y 与 x 具有正的线性相关关系,选项 A 中的结论 正确;回归直线过样本点的中心,选项 B 中的结论正确;根据回归直线斜率的意义易知选项 C 中的结论正确;由于回归分析得出的是估计值,故选项 D 中的结论不正确. 某产品在某零售摊位上的零售价 x(单位: 元)与每天的销售量 y(单位: 个)的统计资 料如下表所示:

x

16

17

18

19
3

y

49

33

41

33

^ ^ ^ ^ 由上表可得回归直线方程y=bx+a中的b=-4,据此模型预计零售价定为 15 元时,每 天的销售量约为(B) A. 48 个 B. 49 个 C. 50 个 D. 51 个 ^ 由题意知 x=17.5,y=39,代入回归直线方程得a=109,109-15×4=49,故选 B. 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品 中所含杂质的关系,调查结果如表所示: 杂质高 旧设备 新设备 37 22 杂质低 121 202

根据以上数据,则(A) A. 含杂质的高低与设备是否改造有关 B. 含杂质的高低与设备是否改造无关 C. 设备是否改造不能决定含杂质的高低 D. 以上说法都不对 由已知数据得到如下 2×2 列联表: 杂质高 旧设备 新设备 合计 37 22 59
2

杂质低 121 202 323

合计 158 224 382

382×(37×202-121×22) 2 由公式得 K = ≈13.11,由于 13.11>6.635,故有 99%的 158×224×59×323 把握认为含杂质的高低与设备是否改造有关. ^ ^ (2013·合肥检测)由数据(x1,y1),(x2,y2),?,(x10,y10)求得线性回归方程y=bx x1+x2+?+x10 ^ ^ ^ ^ + a , 则 “(x0 , y0) 满 足 线 性 回 归 方 程 y = b x + a ” 是 “x0 = , y0 = 10 y1+y2+?+y10 ”的(B) 10 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ^ ^ ^ x0,y0 为这 10 组数据的平均值,又回归直线y=bx+a必过样本中心点(x,y),因 此(x0,y0)一定满足线性回归方程,但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x,y). 二、 填空题(每小题 5 分,共 10 分) (2013·乌鲁木齐诊断)某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, ^ 为此进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程为y= 0.67x+54.9.
4

零件数 x(个) 加工时间 y(min)

10 62

20

30 75

40 81

50 89

表中有一个数据模糊不清,经推断,该数据的值为__68__. 10+20+30+40+50 ^ 设模糊不清部分的数据为 m,x= =30,由于y=0.67x+54.9 5 62+m+75+81+89 过点(x,y)得,y=0.67×30+54.9=75,∴ =75,m=68. 5 某校为了研究学生对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)和性别的关系,运 2 用 2×2 列联表进行独立性检验,经计算 K =7.069,则有__99%__的把握认为“学生是否支 持该活动与性别有关系” . 附:

P(K ≥k0) k0

2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

∵7.069 与附表中的 6.635 最接近(且大于 6.635),∴得到的统计学结论是有 99% 的把握认为“学生是否支持该活动与性别有关系”. 三、 解答题(共 20 分) (2013·江南十校联考)随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机 构随机调查了 n 个人,其中男性占 2 1 调查人数的 .已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性只有 的人的休闲方式 5 3 是运动. (1)完成下列 2×2 列联表: 运动 男性 女性 合计 (2)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下, 可认为“休闲方式有关与性别”, 那么本 次被调查的人数至少有多少? (3)根据(2)的结论,本次被调查的人中,至少有多少人的休闲方式是运动? n(ad-bc) 2 参考公式:K = ,其中 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 参考数据:
2

非运动

合计

P(K ≥k0) k0

2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

2n n (1)依题意,被调查的男性人数为 ,其中有 人的休闲方式是运动;被调查的女 5 5
5

3n n 性人数为 ,其中有 人的休闲方式是运动,则 2×2 列联表如下:(3 分) 5 5 运动 男性 女性 合计 n 5 n 5 2n 5 非运动 n 5 2n 5 3n 5 合计 2n 5 3n 5 n

(6 分) 2 ?n 2n n n? n? · - · ? n ?5 5 5 5? 2 (2)由表中数据,得 K = = ,(8 分) 2n 3n 2n 3n 36 · · · 5 5 5 5 要使在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“性别与休闲方式有关”,则 K ≥ n 3.841,∴ ≥3.841,(10 分) 36 n * * 解得 n≥138.276.又 n∈N 且 ∈N ,∴n≥140,(12 分) 5 即本次被调查的人数至少是 140.(14 分)
2

(3)由(2)可知,140× 动.(20 分)

=56,即本次被调查的人中,至少有 56 人的休闲方式是运

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