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2015·全国卷1(理数)精校解析版

2015·全国卷Ⅰ(理科数学) 1+z 1.L4[2015· 全国卷Ⅰ] 设复数 z 满足 =i,则|z|=( ) 1-z

A.1 B. 2 C. 3 D.2 1+z -1+i [解析] 由 =i,得 z= =i,所以|z|=1. 1-z 1+i 2.C5[2015· 全国卷Ⅰ] sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) 3 3 A.- B. 2 2 1 1 C.- D. 2 2 2.D [解析] sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° 1 =sin 30°= . 2 1.A 3.A3[2015· 全国卷Ⅰ] 设命题 p:?n∈N,n2>2n,则綈 p 为( ) 2 n 2 n A.?n∈N,n >2 B.?n∈N,n ≤2 C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n 3.C [解析] 特称命题的否定是全称命题,故选 C. 4.K4[2015· 全国卷Ⅰ] 投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某 同学每次投篮投中的概率为 0.6, 且各次投篮是否投中相互独立, 则该同学通过测试的概率为 ( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 4.A [解析] 记事件 M={恰好投中 2 次},N={3 次都投中},E={通过测试},则事件 2 3 3 M 与 N 互斥,且 E=M∪N.又 P(M)=C2 3×(0.6) ×(1-0.6)=0.432,P(N)=C3×(0.6) =0.216, 所以 P(E)=P(M∪N)=P(M)+P(N)=0.648.故选 A. x2 5.H6[2015· 全国卷Ⅰ] 已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的 2 → → 两个焦点.若MF1·MF2<0,则 y0 的取值范围是( ) 3 3 3 3 A.?- , ? B.?- , ? ? 3 3? ? 6 6? 2 2 2 2? 2 3 2 3? C.?- D.?- ? 3 , 3 ? ? 3 , 3 ? → → 5.A [解析] 由题意不妨取 F1(- 3,0),F2( 3,0),所以MF1=(- 3-x0,-y0), MF2 2 x0 2 → → 2 =( 3-x0,-y0),所以MF1·MF2=x2 0+y0-3<0.又点 M 在曲线 C 上,所以有 -y0=1,即 2 3 3 2 2 1 x2 <y < ,故选 A. 0=2+2y0,代入上式得 y0< ,所以- 3 3 0 3 6.G12[2015· 全国卷Ⅰ] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如 下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米(如图 11,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的 高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周 率约为 3,估算出堆放的米约有( )

图 11 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 πR 6.B [解析] 由题意,题中图形为四分之一圆锥,设圆锥的底面半径为 R,则由 =8 2 16 2 16 1 1 1 320 320 320 得 R= , 所以 V 米= V 圆锥= × ×π ×?π ? ×5= ≈ (立方尺), 所以 ÷1.62≈21.95 4 4 3 9 9 ? ? π 3π ≈22(斛). → → 7.F1[2015· 全国卷Ⅰ] 设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则( ) 1→ 4 → → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 1→ 4 → B.AD= AB- AC 3 3 4 1 → → → C.AD= AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3 1→ 4 → → → → → 1→ → 1 → → 7.A [解析] 由题意知AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ (AC-AB)=- AB+ AC. 3 3 3 3 8.C4[2015· 全国卷Ⅰ] 函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图 12 所示,则 f(x)的单调递 减区间为( )

图 12 1 3 ? A.? ?kπ -4,kπ +4?,k∈Z 1 3? B.? ?2kπ -4,2kπ +4?,k∈Z 1 3 k- ,k+ ?,k∈Z C.? 4? ? 4 1 3? D.? ?2k-4,2k+4?,k∈Z 2π T 5 1 8.D [解析] 由图知 = - =1,所以 T=2,即 =2,所以 ω=± π. 2 4 4 |ω | 1 ? 因为函数 f(x)的图像过点? ?4,0?, ω π 所以当 ω=π 时, +φ= +2kπ ,k∈Z, 4 2 π 解得 φ= +2kπ ,k∈Z; 4 ω π 当 ω=-π 时, +φ=- +2kπ ,k∈Z, 4 2

π 解得 φ=- +2kπ ,k∈Z. 4 π π 1 3 所以 f(x)=cos?π x+ ?,由 2kπ <π x+ <π +2kπ 解得 2k- <x<2k+ ,k∈Z,故选 4 4 4 4? ? D. ( 9.L1[2015· 全国卷Ⅰ] 执行图 13 所示的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= )

图 13 A.5 B.6 C.7 D.8 9.C [解析] 逐次写出循环过程: 1 1 1 S=1- = ,m= ,n=1,S>0.01; 2 2 4 1 1 1 1 S= - = ,m= ,n=2,S>0.01; 2 4 4 8 1 1 1 1 S= - = ,m= ,n=3,S>0.01; 4 8 8 16 1 1 1 1 S= - = ,m= ,n=4,S>0.01; 8 16 16 32 1 1 1 1 S= - = ,m= ,n=5,S>0.01; 16 32 32 64 1 1 1 1 S= - = ,m= ,n=6,S>0.01; 32 64 64 128 1 1 1 1 S= - = ,m= ,n=7,S<0.01,循环结束.故输出的 n 值为 7. 64 128 128 256 10.J3[2015· 全国卷Ⅰ] (x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 2 r 5-r 10.C [解析] [(x2+x)+y]5 的通项 Tr+1=Cr ,由题意取 r=3,得 5(x +x) y 2 3 2 3 3 3 2 3 r′ r′ T4=C3 5(x +x) y =C5(x+1) x y ,记(x+1) 的通项 T′r′+1=C3 x , 5 2 3 2 由题意得 r′=2,所以 x y 的系数为 C5·C3=30. 11. G2[2015· 全国卷Ⅰ] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 14 所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r =( )

图 14 A.1 B.2 C.4 D.8 11.B [解析] 由三视图可知,此组合体的前半部分是一个底面半径为 r,高为 2r 的半 圆柱(水平放置),后半部分是一个半径为 r 的半球,其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆 1 1 面重合,所以此几何体的表面积为 2r· 2r+ π r2+ π r2+π r·2r+2π r2=4r2+5π r2=16+ 2 2 20π ,解得 r=2. 12.B14[2015· 全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( ) 3 3 3 ? ? ? A.? ?-2e,1? B.?-2e,4? 3 3? ? 3 ,1? , C.? D. 2e 4 ? ? ?2e ? 1 12.D [解析] 令 g(x)=ex(2x-1),则 g′(x)=ex(2x+1),由 g′(x)>0 得 x>- ,由 g′(x)<0 2 1 1 1 ? ? ? 得 x<- ,故函数 g(x)在? ?-∞,-2?上单调递减,在?-2,+∞?上单调递增.又函数 g(x) 2 1 1 在 x< 时,g(x)<0,在 x> 时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示. 2 2

直线 y=ax-a 过点(1,0). 若 a≤0,则 f(x)<0 的整数解有无穷多个,因此只能 a>0. 结合函数图像可知,存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)<0,即存在唯一的整数 x0,使得点(x0, ?f(-1)≥0, ax0 - a) 在 点 (x0 , g(x0)) 的 上 方 , 则 x0 只 能 是 0 , 故 实 数 a 应 满 足 ?f(0)<0, -3e +2a≥0, ? ? 3 ?-1+a<0, 解得 ≤a<1. 2e ? ?e≥0, 3 ? 故实数 a 的取值范围是? ?2e,1?. 13.B4[2015· 全国卷Ⅰ] 若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________. 13.1 [解析] 由 f(-x)=f(x)得-xln(-x+ a+x2)=xln(x+ a+x2),即 x[ln(x+ a+x2 +ln(-x+ a+x2]=xln a=0 对定义域内的任意 x 恒成立,因为 x 不恒为 0,所以 ln a=0, 所以 a=1. x2 y2 14.H3[2015· 全国卷Ⅰ] 一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴 16 4 上,则该圆的标准方程为________. 3 2 25 x- ? +y2= 14.? [解析] 设圆心为(t,0)(t>0),则半径为 4-t,所以 4+t2=(4-t)2, ? 2? 4 3 2 3 25 x- ? +y2= . 解得 t= ,所以圆的标准方程为? ? 2? 2 4 x-1≥0, ? ? y 15.E5[2015· 全国卷Ⅰ] 若 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 则 的最大值为________. x ? ?x+y-4≤0, y 15.3 [解析] 的几何意义为点(x,y)与坐标原点连线的斜率. x 画出可行域,如图中阴影部分所示.
-1

?

? ?f(1)≥0,



? ?x=1, 由? 得 C(1,3), ?x+y-4=0, ? 由题易知可行域上的 C 点与坐标原点连线的斜率最大,且最大值为 3. 16.C8[2015· 全国卷Ⅰ] 在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是________. 16.( 6- 2, 6+ 2) [解析] 如图所示.

MB<AB<EB,在△BMC 中,CB=CM=2,∠BCM=30°,由余弦定理知 MB2=22+22 -2×2×2cos 30°=8-4 3=( 6- 2)2,所以 MB= 6- 2.在△EBC 中,设 EB=x,由余 弦定理知 4=x2+x2-2×x×xcos 30°,得 x2=8+4 3=( 6+ 2)2,所以 x= 6+ 2,即 EB = 6+ 2,所以 6- 2<AB< 6+ 2. 2 17.D2、D4[2015· 全国卷Ⅰ] Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,an +2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. anan+1 2 17.解:(1)由 a2 n+2an=4Sn+3,可知 an+1+2an+1=4Sn+1+3, 2 2 可得 an+1-an+2(an+1-an)=4an+1,即 2 2(an+1+an)=a2 n+1-an=(an+1+an)(an+1-an). 又 an>0,所以 an+1-an=2. 又由 a2 1+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3, 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 可知 1 1 1 1 1 bn= = = ?2n+1-2n+3?. ? anan+1 (2n+1)(2n+3) 2? 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 1 ?1 1? ?1 - + - Tn=b1+b2+?+bn= ? 2??3 5? ?5 1? n ? 1 - 1 ?? 7?+?+?2n+1 2n+3??=3(2n+3). 18.G5、G11[2015· 全国卷Ⅰ] 如图 15,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

图 15 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 18.解:(1)连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC.又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 2 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= . 2 6 在 Rt△FDG 中,可得 FG= . 2 2 3 2 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2,DF= ,可得 EF= . 2 2 2 2 2 从而 EG +FG =EF ,所以 EG⊥FG.

又 AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC. 因为 EG?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC. → → → (2)如图,以 G 为坐标原点,分别以GB,GC的方向为 x 轴,y 轴正方向,|GB|为单位长, 2 建立空间直角坐标系 G - xyz.由(1)可得 A(0,- 3,0),E(1,0, 2),F?-1,0, ?, 2? ? 2 → → C(0, 3,0),所以AE=(1, 3, 2),CF=?-1,- 3, ?. 2? ?

→ → AE·CF 3 → → 故 cos〈AE,CF〉= =- . 3 → → |AE||CF| 3 . 3 19.I4[2015· 全国卷Ⅰ] 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,?,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为

图 16 x (yi-y) 46.6 y 563 w 6.8 错误!(wi-w) 289.8 1.6 1469 108.8

18 其中 wi= xi,w= ?wi. 8i=1 (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程. (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 ^ β =错误!v-错误!u. 19.解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型.

(2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于 ^ d=错误!=错误!=68, ^ c^=y-dw=563-68×6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y^=100.6+68w, 因此 y 关于 x 的回归方程为 y^=100.6 +68 x. (3)(i)由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 y^=100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值 z^=576.6×0.2-49=66.32. (ii)根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 z^=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12, 13.6 所以当 x= =6.8,即 x=46.24 时,z^取得最大值. 2 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. x2 20. B12、 H8[2015· 全国卷Ⅰ] 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C: y= 与直线 l: y=kx+a(a>0) 4 交于 M,N 两点. (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 20.解:(1)由题设可得 M(2 a,a),N(-2 a,a)或 M(-2 a,a),N(2 a,a). x x2 又 y′= ,故 y= 在 x=2 a处的导数值为 a,所以曲线 C 在点(2 a,a)处的切线方程 2 4 为 y-a= a(x-2 a),即 ax-y-a=0. x2 y= 在 x=-2 a处的导数值为- a,所以曲线 C 在点(-2 a,a)处的切线方程为 y-a 4 =- a(x+2 a),即 ax+y+a=0. 故所求切线方程为 ax-y-a=0 和 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0, 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. y1-b y2-b 从而 k1+k2= + x1 x2 2kx1x2+(a-b)(x1+x2) = x1x2 k(a+b) = . a 当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故∠OPM =∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意. 1 21.B14[2015· 全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. 4 (1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x) 零点的个数. 1 ? ?x3 0+ax0+ =0, 4 21. 解: (1)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点(x , 0), 则 f(x )=0, f′(x )=0, 即?
0 0 0

1 3 解得 x0= ,a=- . 2 4

?3x2 ? 0+a=0,

3 因此,当 a=- 时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线. 4 (2)当 x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,从而 h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故 h(x)在(1, +∞)上无零点. 5 5 当 x=1 时,若 a≥- ,则 f(1)=a+ ≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是 4 4 5 h(x)的零点;若 a<- ,则 f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是 h(x)的零点. 4 当 x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0,所以只需考虑 f(x)在(0,1)上的零点个数. (i)若 a≤-3 或 a≥0,则 f′(x)=3x2+a 在(0,1)上无零点,故 f(x)在(0,1)上单调.而 f(0) 1 5 = ,f(1)=a+ ,所以当 a≤-3 时,f(x)在(0,1)上有一个零点;当 a≥0 时,f(x)在(0,1)上 4 4 没有零点. a a (ii)若-3<a<0,则 f(x)在?0, - ?上单调递减,在? - ,1?上单调递增,故在(0, 3? 3 ? ? ? a 2 a a 1 a 1)上,当 x= - 时,f(x)取得最小值,最小值为 f? - ?= - + . 3 3 3 4 3 ? ? 3 a ①若 f? - ?>0,即- <a<0,则 f(x)在(0,1)上无零点; 4 3? ? 3 a ②若 f? - ?=0,即 a=- ,则 f(x)在(0,1)上有唯一零点; 4 3? ? 3 1 5 5 3 a ③若 f? - ?<0,即-3<a<- ,由于 f(0)= ,f(1)=a+ ,所以当- <a<- 时,f(x) 4 4 4 4 4 3? ? 5 在(0,1)上有两个零点;当-3<a≤- 时,f(x)在(0,1)上有一个零点. 4 3 5 3 5 综上,当 a>- 或 a<- 时,h(x)有一个零点;当 a=- 或 a=- 时,h(x)有两个零点; 4 4 4 4 5 3 当- <a<- 时,h(x)有三个零点. 4 4 22.N1[2015· 全国卷Ⅰ] 选修 41:几何证明选讲 如图 17,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小.

图 17 22.解:(1)证明:连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,即 DE 是⊙O 的切线. (2)设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 3,BE= 12-x2. 由射影定理可得,AE2=CE· BE,所以 x2= 12-x2,即 x4+x2-12=0, 可得 x= 3,所以∠ACB=60°.

23.N3[2015· 全国卷Ⅰ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的 4 面积. 23.解:(1)因为 x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ =-2,C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρ cos θ -4ρ sin θ +4=0. π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0,得ρ 2-3 2ρ +4=0,解得 ρ1=2 2, 4 ρ2= 2.故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 1 又 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2 24.N4[2015· 全国卷Ⅰ] 选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 24.解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1; 3 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. ? 2 ? 所以 f(x)>1 的解集为?x3<x<2?. ? ? ?x-1-2a,x<-1, (2)由题设可得,f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a,

?

? ?-x+1+2a,x>a,

所以函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? 2 C(a,a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2. 3 2 由题设得 (a+1)2>6,故 a>2. 3 所以 a 的取值范围为(2,+∞).

2a-1 ? ? 3 ,0?,B(2a+1,0),


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