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浙江省绍兴市诸暨市草塔中学2014-2015学年高二上学期期中数学(文)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高二(上)期中数 学试卷(文科)
一、选择题 1.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命 题: ①若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ③若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β; ④若 m、n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β. ) 其中正确的是( A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④ 2.若 a,b 是异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是( A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 )

3.已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°,AB?α,AB⊥l,A 为垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°, ) 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( A. B. C. D.

4.已知圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 ( ) A. (x+1)2+(y﹣1)2=2 B. (x﹣1)2+(y+1)2=2 C. (x﹣1)2+(y﹣1)2=2 2 2 D. (x+1) +(y+1) =2 5.已知 a≠b 且 a2sinθ+acosθ﹣1=0、b2sinθ+bcosθ﹣1=0,则连接(a,a2) 、 (b,b2)两点的 ) 直线与单位圆 x2+y2=1 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定

6. 当曲线 ( A. ) B.

与直线 kx﹣y﹣2k+4=0 有两个相异的交点时, 实数 k 的取值范围是

C.

D.

7.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=1 引切线,则切线长的最小值为( A. ﹣1 B.1 C. D.

)

8.设集合 A={(x,y)| ≤(x﹣2)2+y2≤m2,x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x, y∈R},若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是( A. ﹣2≤m≤1 B.0<m<2+ C.m<2﹣ ) 或 m>1 D.m< 或 m>2+

9.一个圆柱形的罐子半径是 4 米,高是 9 米,将其水平躺倒,并在其中注入深 2 米的水, )立方米. 截面如图所示,水的体积是(

A.24

B.36

C.36

D.48

10. Q 分别在棱 BB1、 DD1 上, 已知如图所示的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1, 点 P、 且

=



过点 A、P、Q 作截面截去该正方体的含点 A1 的部分,则下列图形中不可能是截去后剩下几 ) 何体的主视图的是(

A.

B.

C.

D.

11.用斜二测画法画出长为 6,宽为 4 的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( A.12 B.24 C. D. 12.两圆(x﹣1)2+(y+2)2=1 与(x+3)2+(y﹣1)2=16 的位置关系是( A.内切 B.外切 C.相离 D.相交 )

)

二、填空题 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.

14.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β; ④l⊥m?α∥β 其中正确命题的序号是__________. 15.已知 a,b 为异面直线,且 a,b 所成角为 40°,直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为 θ, 若这样的 c 共有四条,则 θ 的范围为__________. 16.如图,已知六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下 列结论正确的是__________(写出所以正确结论的序号) ①PB⊥AD; ②平面 PAB⊥平面 PAE; ③BC∥平面 PAE; ④直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°.

17.已知直线

ax+by=1(其中 a,b 为非零实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,O 为 + 的最小值为__________.

坐标原点,且△ AOB 为直角三角形,则

18. 2sinα) 3sinβ) 已知向量 = (2cosα, ,= (3cosβ, , 其夹角为 60°, 则直线 xcosα﹣ysinα+ =0 与圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2= 的位置关系是__________. 19.已知圆 C: (x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)与直线 y=3x 相交于 P,Q 两点,则当△ CPQ 的面积最大时,此时实数 a 的值为__________.

三、解答题

20. BA=BD= 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, E,F 分别是棱 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明 EF∥平面 PAB; (Ⅱ)若二面角 P﹣AD﹣B 为 60°, (i)证明平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

AD=2, PA=PD= ,



21.圆 M 的圆心在直线 y=﹣2x 上,且与直线 x+y=1 相切于点 A(2,﹣1) , (Ⅰ)试求圆 M 的方程; (Ⅱ)从点 P(3,1)发出的光线经直线 y=x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在 直线的斜率取值范围. 22.已知曲线 C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)在(1)的条件下,若曲线 C 与直线 3x+4y﹣6=0 交于 M、N 两点,且|MN|=2 ,求 m 的值. (3)在(1)的条件下,设直线 x﹣y﹣1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使 得以 AB 为直径的圆过原点,若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 23.已知圆 C 经过点 A(1,3) 、B(2,2) ,并且直线 m:3x﹣2y=0 平分圆 C. 1 C ( )求圆 的方程; (2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若 ? =12,求 k 的值. 24.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,点 E 是 PD 的中点. (1)证明:AC⊥PB; (2)证明:PB∥平面 AEC; (3)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小.

2014-2015 学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高二(上) 期中数学试卷(文科)
一、选择题 1.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命 题: ①若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ③若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β; ④若 m、n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β. ) 其中正确的是( A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据面面平行和垂直的性质分别进行判断即可得到结论. 【解答】解:①根据线面垂直的性质可知若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β 成立; ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 或 α 与 β 相交;故②不成立; ③根据面面平行的可知,当 m 与 n 相交时,α∥β,若两直线不相交时,结论不成立; ④若 m、n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β 成立. 故正确的是①④, 故选:D 【点评】本题主要考查空间直线和平面,平面和平面直线平行和垂直的判断,根据相应的判 定定理和性质定理是解决本题的关键. 2.若 a,b 是异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是( A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 )

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】若 a,b 是异面直线,直线 c∥a,所以 c 与 b 可能异面,可能相交. 【解答】解:由 a、b 是异面直线,直线 c∥a 知 c 与 b 的位置关系是异面或相交, 故选 D. 【点评】此题考查学生的空间想象能力,考查对异面直线的理解和掌握. 3.已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°,AB?α,AB⊥l,A 为垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°, ) 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( A. B. C. D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线 AB 与 CD 所成角,利用解直角 三角形和余弦定理,求出问题的答案.

【解答】解:如图,过 A 点做 AE⊥l,使 BE⊥β,垂足为 E,过点 A 做 AF∥CD,过点 E 做 EF⊥AE,连接 BF, ∵AE⊥l ∴∠EAC=90° ∵CD∥AF 又∠ACD=135° ∴∠FAC=45° ∴∠EAF=45° 在 Rt△ BEA 中,设 AE=a,则 AB=2a,BE= a, 在 Rt△ AEF 中,则 EF=a,AF= a, 在 Rt△ BEF 中,则 BF=2a, ∴异面直线 AB 与 CD 所成的角即是∠BAF, ∴cos∠BAF= 故选:B. = = .

【点评】 本题主要考查了二面角和异面直线所成的角, 关键是构造二面角的平面角和异面直 线所成的角,考查了学生的空间想想能力和作图能力,属于难题. 4.已知圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 ( ) A. (x+1)2+(y﹣1)2=2 B. (x﹣1)2+(y+1)2=2 C. (x﹣1)2+(y﹣1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=2 【考点】圆的标准方程. 【分析】圆心在直线 x+y=0 上,排除 C、D,再验证圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相 切,就是圆心到直线等距离,即可. 【解答】解:圆心在 x+y=0 上,圆心的纵横坐标值相反,显然能排除 C、D; 验证:A 中圆心(﹣1,1)到两直线 x﹣y=0 的距离是 圆心(﹣1,1)到直线 x﹣y﹣4=0 的距离是 ; .故 A 错误.

故选 B. 【点评】一般情况下:求圆 C 的方程,就是求圆心、求半径.本题是选择题,所以方法灵 活多变,值得探究. 5.已知 a≠b 且 a2sinθ+acosθ﹣1=0、b2sinθ+bcosθ﹣1=0,则连接(a,a2) 、 (b,b2)两点的 ) 直线与单位圆 x2+y2=1 的位置关系是(

A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由 ,得 .过 M(a,a2)与 N(b,b2)

的直线方程为(a+b)x﹣y﹣ab=0.由此求出单位圆 x2+y2=1 的圆心(0,0)到直线 MN 的 距离 d=1,从而连接(a,a2) 、 (b,b2)两点的直线与单位圆 x2+y2=1 相切. 【解答】解:由 ,





过 M(a,a2)与 N(b,b2)的直线方程为

=



整理得(a+b)x﹣y﹣ab=0. ∴单位圆 x2+y2=1 的圆心(0,0)到直线 MN 的距离:

d=

=

=1.

∴连接(a,a2) 、 (b,b2)两点的直线与单位圆 x2+y2=1 相切. 故选:B. 【点评】本题考查直线与单位圆的位置关系的判断,是中档题,解题时要注意点到直线的距 离公式的合理运用.

6. 当曲线 ( A. ) B.

与直线 kx﹣y﹣2k+4=0 有两个相异的交点时, 实数 k 的取值范围是

C.

D.

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】将曲线方程化简,可得曲线表示以 C(0,1)为圆心、半径 r=2 的圆的上半圆.再 将直线方程化为点斜式,可得直线经过定点 A(2,4)且斜率为 k.作出示意图,设直线与 半圆的切线为 AD,半圆的左端点为 B(﹣2,1) ,当直线的斜率 k 大于 AD 的斜率且小于 或等于 AB 的斜率时,直线与半圆有两个相异的交点.由此利用直线的斜率公式与点到直线 的距离公式加以计算,可得实数 k 的取值范围. 【解答】解:化简曲线 ,得 x2+(y﹣1)2=4(y≥1)

∴曲线表示以 C(0,1)为圆心,半径 r=2 的圆的上半圆. ∵直线 kx﹣y﹣2k+4=0 可化为 y﹣4=k(x﹣2) ,

∴直线经过定点 A(2,4)且斜率为 k. 又∵半圆 与直线 kx﹣y﹣2k+4=0 有两个相异的交点,

∴设直线与半圆的切线为 AD,半圆的左端点为 B(﹣2,1) , 当直线的斜率 k 大于 AD 的斜率且小于或等于 AB 的斜率时, 直线与半圆有两个相异的交点. 由点到直线的距离公式,当直线与半圆相切时满足 ,

解之得 k=

,即 kAD=

. = ,∴直线的斜率 k 的范围为 k∈ .

又∵直线 AB 的斜率 kAB= 故选:C

【点评】本题给出直线与半圆有两个不同的交点,求直线的斜率 k 的取值范围.着重考查了 直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 7.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=1 引切线,则切线长的最小值为( A. ﹣1 B.1 C. D. )

【考点】圆的切线方程. 【专题】直线与圆. 【分析】设直线 y=x+1 上任一点 P(a,a+1) ,由点 P 向已知圆所引的切线长为 m,点 P 到 圆心的距离|PC|= ,由勾股定理,得(a﹣2)2+a2=1+m2=2(a﹣1)2+1,

由此求出当 a=1 时,切线长 m 的最小值 1. 【解答】解:设直线 y=x+1 上任一点 P(a,a+1) ,由点 P 向已知圆所引的切线长为 m 2 2 由圆方程(x﹣2) +(y﹣1) =1 可得其圆心在 C(2,1) ,半径 r=1 则点 P 到圆心的距离|PC|= 由勾股定理,得:|PC|2=r2+m2 (a﹣2)2+a2=1+m2 m2=2a2﹣4a+3 =2(a﹣1)2+1 则当 a=1 时,m2 取得最小值为 1, 所以此时切线长 m 的最小值为 1. ,

故选:B. 【点评】本题考查圆的切线长的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性 质的合理运用. 8.设集合 A={(x,y)| ≤(x﹣2)2+y2≤m2,x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x, y∈R},若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是( A. ﹣2≤m≤1 B.0<m<2+ C.m<2﹣ ) 或 m>1 D.m< 或 m>2+

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】首先求出 A∩B≠?时 m 的范围,方法为:由集合 B 得到其表示的点集,然后对是否 为空集分类,当 A 不是空集时,再由 m≤0 或 m≥ 时分类,若 m≤0,则 A={(x,y)|(x﹣2)
2

+y2≤m2,x,y∈R}表示以点(2,0)为圆心,半径为|m|的圆面(m=0 时是点(2,0) ) ,由

点(2,0)到直线 x+y=2m+1 的距离不大于半径|m|求解 m 的范围;若 m≥ ,则 A={(x,y) | ≤(x﹣2)2+y2≤m2,x,y∈R}表示以点(2,0)为圆心,大圆半径为|m|,小圆半径为 的

圆环.然后再把 m 由 1 分界,m 小于等于 1 时显然成立,m>1 时再由点(2,0)到直线 x+y=2m 的距离不大于半径|m|列式求解 m 的范围,即可确定出 A∩N=?时 m 的范围. 【解答】解:∵对任意 m∈R,都有 2m≤2m+1,所以 B≠?, 集合 B 表示在直线 x+y=2m 与直线 x+y=2m+1 之间的平面区域(包含边界) . 当 当 >m2,即 0<m< 时,A=?,不满足条件; ≤m2,即 m≤0 或 m≥ 时,A≠?.

(1)若 m≤0,则 A={(x,y)|(x﹣2)2+y2≤m2,x,y∈R}表示以点(2,0)为圆心, 半径为|m|的圆面(m=0 时是原点) , A∩B≠?等价于点(2,0)到直线 x+y=2m+1 的距离不大于半径|m|, 即
2 ≤|m|, ≤ , 即 2m2﹣4m+1≤0, 即 (m﹣1) 解得 1﹣

≤m≤1+

, 所以 m∈?;

(2)若 m≥ ,则 A={(x,y)| ≤(x﹣2)2+y2≤m2,x,y∈R}表示以点(2,0)为圆心, 大圆半径为|m|,小圆半径为 的圆环. ≤m≤1 时,A∩B≠?,满足条件;

当(2,0)∈B,即 2m≤2≤2m+1,即

若 m>1,则 A∩B≠?等价于点(2,0)到直线 x+y=2m 的距离不大于半径|m|, 即 满足条件. 综上,A∩B≠?时,实数 m 的取值范围是[ ,2+ ],
2 ≤|m|, ≤2, 即 m2﹣4m+2≤0, 即 (m﹣2) 解得 2﹣

≤m≤2+

, 所以 1<m≤2+



则 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是 m< 或 m>2+



故选:D. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 9.一个圆柱形的罐子半径是 4 米,高是 9 米,将其水平躺倒,并在其中注入深 2 米的水, )立方米. 截面如图所示,水的体积是(

A.24

B.36

C.36

D.48

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底,以 9 为高的柱体,求出 底面面,代入柱体体积公式,可得答案. 【解答】解:由已知中罐子半径是 4 米,水深 2 米, 故截面中阴影部分的面积 S= ﹣ = 平方米,

又由圆柱形的罐子的高 h=9 米, 故水的体积 V=Sh=48 立方米, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是柱体的体积公式,扇形面积公式,弓形面积公式,难度中档.

10. Q 分别在棱 BB1、 DD1 上, 已知如图所示的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1, 点 P、 且

=



过点 A、P、Q 作截面截去该正方体的含点 A1 的部分,则下列图形中不可能是截去后剩下几 ) 何体的主视图的是(

A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】规律型. 【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到该几何体的主视图.

【解答】解:过点 A,P,Q 的平面截去该正方体的上半部分后,剩余部分的直观图如图:



,它的主视图是 B 选项中的图;



,它的主视图是 C 选项中的图;



,它的主视图是 D 选项中的图;

∴该几何体的主视图不可能是 A. 故选:A. 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的问题, 解题时应利用空间几何体的直观图来解答, 是基础题. 11.用斜二测画法画出长为 6,宽为 4 的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( A.12 B.24 C. D. 【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】规律型. 【分析】根据斜二测画法的规则,分别求出直观图的边长关系,即可求直观图的面积. 【解答】解:根据斜二测画法的规则可知,矩形的直观图为平行四边形, 其中 O'C'=OC=6,O'A'= OA=2,∠A'O'C'=45°, ∴平行四边形的面积 S=2S△ O'A'C'=2× 故选:C. = , )

【点评】本题主要考查斜二测画法的应用,熟练掌握斜二测画法的基本原则. 12.两圆(x﹣1)2+(y+2)2=1 与(x+3)2+(y﹣1)2=16 的位置关系是( ) A.内切 B.外切 C.相离 D.相交 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径, 然后利用圆心之 间的距离 d 与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系. 【解答】解:圆(x﹣1)2+(y+2)2=1 圆心坐标为(1,﹣2) ,半径 r=1; 2 2 (x+3) +(y﹣1) =16 圆心坐标为(﹣3,1) ,半径 R=4. 两个圆心之间的距离 d= =5, 而 d=R+r, 所以两圆的位置关系是

外切. 故选 B. 【点评】考查学生会根据 d 与 R+r 及 R﹣r 的关系判断两个圆的位置关系,会利用两点间的 距离公式进行求值. 二、填空题 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 200.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】规律型. 【分析】由三视图可知该几何体为四棱柱,然后根据棱柱体积公式计算体积即可. 【解答】解:由三视图可知该几何体为平放的四棱柱,其中以侧视图为底. 底面为等腰梯形, 梯形的上底长为 2,下底长为 8, 梯形的高为 4, 棱柱的高为 10. ∴梯形的面积为 ∴棱柱的体积为 20×10=200. 故答案为:200. ,

【点评】本题主要考查三视图的识别和判断,以及棱柱的体积公式,利用三视图确定几何体 的直观图是解决此类问题的关键. 14.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β; ④l⊥m?α∥β 其中正确命题的序号是①③. 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】计算题. 【分析】直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,当 α∥β 有 l⊥m,当 α⊥β 有 l∥m 或 l 与 m 异面 或相交,当 l∥m 有 α⊥β,当 l⊥m 有 α∥β 或 α∩β,得到结论 【解答】解:直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β, 当 α∥β 有 l⊥m,故①正确 当 α⊥β 有 l∥m 或 l 与 m 异面或相交,故②不正确 当 l∥m 有 α⊥β,故③正确, 当 l⊥m 有 α∥β 或 α∩β,故④不正确, 综上可知①③正确, 故答案为:①③ 【点评】本题考查平面的基本性质即推论,本题解题的关键是看出在所给的条件下,不要漏 掉其中的某一种位置关系,本题是一个基础题. 15.已知 a,b 为异面直线,且 a,b 所成角为 40°,直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为 θ, 若这样的 c 共有四条,则 θ 的范围为(70°,90°) . 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知中 a,b 所成角为 40°,平面 α 上两条直线 m,n 分别满足 m∥a,n∥b,则 m,n 相交,且夹角为 40°,且直线 c 与 m,n 所成角均为 θ,分类讨论 θ 取不同值时,直线 c 的条数,最后根据讨论结果,可得答案. 【解答】解:设平面 α 上两条直线 m,n 分别满足 m∥a,n∥b 则 m,n 相交,且夹角为 40°, 若直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为 θ, 则直线 c 与 m,n 所成角均为 θ, 当 0°≤θ<20°时,不存在这样的直线 c, 当 θ=20°时,这样的 c 只有一条, 当 20°<θ<70°时,这样的 c 有两条, 当 θ=70°时,这样的 c 有三条, 当 70°<θ<90°时,这样的 c 有四条, 当 θ=90°时,这样的 c 只有一条, 故答案为: (70°,90°) 【点评】 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角, 熟练掌握空间直线与直线夹角的定义 及几何特征是解答的关键.

16.如图,已知六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下 列结论正确的是②④(写出所以正确结论的序号) ①PB⊥AD; ②平面 PAB⊥平面 PAE; ③BC∥平面 PAE; ④直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°.

【考点】棱锥的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用题中条件,逐一分析答案,通过排除和筛选,得到正确答案. 【解答】解:∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直,∴①不成立; ∵PA⊥平面 ABC,AE⊥AB,∴平面 PAB⊥平面 PAE,故②成立; ∵BC∥AD∥平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,即③不成立. 在 Rt△ PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,故④成立. 故答案为:②④. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意直线与平面成的角、直线与平 面垂直的性质的合理运用. 17.已知直线 ax+by=1(其中 a,b 为非零实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,O 为 + 的最小值为 4.

坐标原点,且△ AOB 为直角三角形,则

【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由直线 ax+by=1(其中 a,b 为非零实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且 △ AOB 为直角三角形,可得|AB|= .圆心 O(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d= ,

可得 2a2+b2=2.再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵直线 ax+by=1(其中 a,b 为非零实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点, 且△ AOB 为直角三角形, ∴|AB|= r= . ∴圆心 O(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d= = ,化为 2a2+b2=2.



+

=

=



=4

,当且仅当 b2=2a2=1 取等号. ∴ + 的最小值为 4.

故答案为:4.

【点评】 本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、 点到直线的距离公式、 基本不等式的性质, 属于中档题.

18. 2sinα) 3sinβ) 已知向量 = (2cosα, ,= (3cosβ, , 其夹角为 60°, 则直线 xcosα﹣ysinα+ =0 与圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2= 的位置关系是相离. 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量夹角公式可得:cos60°= 离与半径半径大小即可判断出位置关系. 【解答】解: = = =3, =2, =cos(α﹣β)= .求出圆心到直线的距

=6(cosαcosβ+sinαsinβ)=6cos(α﹣β) . ∴cos60°= =cos(α﹣β)= .

由圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2= 可得圆心 M(cosβ,sinβ) ,半径 r=



圆心 M 到直线 xcosα﹣ysinα+ =0 距离 d=

=1



∴直线与圆相离. 故答案为:相离. 【点评】 本题考查了向量夹角公式、 直线与圆的位置关系、 点到直线的距离公式、 和差公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.已知圆 C: (x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)与直线 y=3x 相交于 P,Q 两点,则当△ CPQ 的面积最大时,此时实数 a 的值为 .

【考点】直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】求出圆的圆心坐标与半径,利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积,然 后求出最大值即可. 【解答】解:圆 C: (x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)的圆心(a,a)半径为 1, 圆心到直线的距离 d= ,半弦长为: = ,

∴△CPQ 的面积 S= 当 a2=

=

=



时 10a2﹣4a4 取得最大值,最大值为:



∴△CPQ 的面积 S 的最大值为:

= .

此时 a= 故答案为: .

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,三角形面积的最值的求法,点到直线的距离 公式的应用等知识,考查分析问题解决问题的能力. 三、解答题 20. BA=BD= 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, E,F 分别是棱 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明 EF∥平面 PAB; (Ⅱ)若二面角 P﹣AD﹣B 为 60°, (i)证明平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

AD=2, PA=PD= ,



【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定;直线与 平面所成的角. 【专题】空间角;空间向量及应用;立体几何. 【分析】 (Ⅰ)要证明 EF∥平面 PAB,可以先证明平面 EFH∥平面 PAB,而要证明面面平 行则可用面面平行的判定定理来证; (Ⅱ) (i)要证明平面 PBC⊥平面 ABCD,可用面面垂直的判定定理,即只需证 PB⊥平面 ABCD 即可; (ii)由(i)知,BD,BA,BP 两两垂直,建立空间直角坐标系 B﹣DAP,得到直线 EF 的 方向向量与平面 PBC 法向量,其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:连结 AC,AC∩BD=H, ∵底面 ABCD 是平行四边形,∴H 为 BD 中点, ∵E 是棱 AD 的中点.∴在△ ABD 中,EH∥AB, 又∵AB?平面 PAB,EH?平面 PAD,∴EH∥平面 PAB.

同理可证,FH∥平面 PAB. 又∵EH∩FH=H,∴平面 EFH∥平面 PAB, ∵EF?平面 EFH,∴EF∥平面 PAB;

(Ⅱ) (i)如图,连结 PE,BE. ∵BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,∴BE=1,PE=2. 又∵E 为 AD 的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD, ∴∠PEB 即为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角,即∠PEB=60°,∴PB= . ∵△PBD 中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理 PB⊥BA, ∴PB⊥平面 ABD, ∵PB?平面 PBC,∴平面 PAB⊥平面 ABCD; (ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA, ∵BA=BD= ,AD=2,∴BD⊥BA, ∴BD,BA,BP 两两垂直, 以 B 为坐标原点,分别以 BD,BA,BP 为 X,Y,Z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B ﹣DAP, 则有 A(0, ,0) ,B(0,0,0) ,C( ,﹣ ,0) ,D( ,0,0) ,P(0,0, ) , ∴ =( ,﹣ ,0) , =(0,0, ) , 设平面 PBC 的法向量为 ,



,∴

,令 x=1,则 y=1,z=0,

故 =(1,1,0) ,

∵E,F 分别是棱 AD,PC 的中点, ∴E( ∴ , ,0) ,F( , ) , ,﹣ , ) ,

=(0,



=

=

=﹣



即直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为



【点评】 本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法, 要求熟练掌 握相关的判定定理. 21.圆 M 的圆心在直线 y=﹣2x 上,且与直线 x+y=1 相切于点 A(2,﹣1) , (Ⅰ)试求圆 M 的方程; (Ⅱ)从点 P(3,1)发出的光线经直线 y=x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在 直线的斜率取值范围. 【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)先确定出圆心坐标,进而求出圆的半径,根据圆心和半径写出圆的标准方程 即可; (Ⅱ)设发出光线所在直线的斜率为 k,求出发射光线所在直线的方程,再利用圆心到直线 的距离不大于半径,建立不等式,即可得出结论. 【解答】解: (I)由题意知:过 A(2,﹣1)且与直线 x+y=1 垂直的直线方程为:y=x﹣3 ∵圆心在直线:y=﹣2x 上, ∴由 ? 即 M(1,﹣2) ,且半径

, ∴所求圆的方程为: …(得到圆心给 2 分) (x﹣1)2+(y+2)2=2. 2 (Ⅱ)圆 M 关于直线 y=x 对称的圆为(x+2) +(y﹣1)2=2, 设发出光线为 y﹣1=k(x﹣3) 化简得 kx﹣y﹣3k+1=0,由 得 ,

所以发出光线所在直线的斜率取值范围为





【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有两点间的距离公式,点到直线的距 离公式,圆的标准方程,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,常常利用此 性质列出方程来解决问题. 22.已知曲线 C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆;

(2)在(1)的条件下,若曲线 C 与直线 3x+4y﹣6=0 交于 M、N 两点,且|MN|=2 ,求 m 的值. (3)在(1)的条件下,设直线 x﹣y﹣1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使 得以 AB 为直径的圆过原点,若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (1)由 D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m>0,由求出当 m<5 时,曲线 C 表示圆. (2)由已知条件推导出圆心 C(1,2) ,半径 ,由此利用点到直线的距离公式结

合已知条件能求出 m=1. (3)假设存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB,设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,则 x1x2+y1y2=0,由 ,得 2x2﹣8x+5+m=0,由此能求出存在实

数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点,m=﹣2. 【解答】解: (1)∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 由 D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m>0,得 m<5, ∴当 m<5 时,曲线 C 表示圆.… (2)∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0, ∴(x﹣1)2+(y﹣2)2=5﹣m, ∴圆心 C(1,2) ,半径 ,…

∵圆心 C(1,2)到直线 3x+4y﹣6=0 的距离 又 ∴ , ,即 5﹣m=4,解得 m=1.…



(3)假设存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1x2+y1y2=0,… 由 ,

得 2x2﹣8x+5+m=0,… ∴△=64﹣8(m+5)=24﹣8m>0,即 m<3,又由(1)知 m<5, 故 m<3… … ∴ ∴ , …

∴m=﹣2<3… 故存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点,m=﹣2.…

【点评】本题考查方程表示圆时实数 m 的取值范围的求法,考查满足条件的实数的取值范 围的求法,考查满足条件的实数是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意点到直线 的距离公式的合理运用. 23.已知圆 C 经过点 A(1,3) 、B(2,2) ,并且直线 m:3x﹣2y=0 平分圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若 ? =12,求 k 的值. 【考点】圆的标准方程;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1)设圆 C 的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.由圆 C 被直线平分可得 3a﹣ 2b=0,结合点 A、B 在圆上建立关于 a、b、r 的方程组,解出 a、b、r 的值即可得到圆 C 的 方程; (2) (I)由题意,得直线 l 方程为 kx﹣y+1=0,根据直线 l 与圆 C 有两个不同的交点,利用 点到直线的距离建立关于 k 的不等式,解之即可得到实数 k 的取值范围; (II)直线 l 方程与圆 C 方程联解消去 y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.设 M(x1,y1) 、 N y2) (x2, , 利用根与系数的关系、 直线 l 方程和向量数量积的坐标运算公式, 化简 ? =12 得到关于 k 的方程,解之即可得到 k 的值. 【解答】解: (1)设圆 C 的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 ∵圆 C 被直线 m:3x﹣2y=0 平分,∴圆心 C(a,b)在直线 m 上,可得 3a﹣2b=0…①, 又∵点 A(1,3) 、B(2,2)在圆上,∴ …②,

将①②联解,得 a=2,b=3,r=1. ∴圆 C 的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1; (2)过点 D(0,1)且斜率为 k 的直线 l 方程为 y=kx+1,即 kx﹣y+1=0, (I)∵直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N, ∴点 C(2,3)到直线 l 的距离小于半径 r, 即 ,解之得 <k< ;

(II)由

消去 y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.

设直线 l 与圆 C 有两个不同的交点坐标分别为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 可得 x1+x2= ,x1x2= ,

∴y1y2=(kx1+1) (kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=

+

+1,



?

=

+(

+

+1)=12,解之得 k=1.

【点评】本题着重考查了圆的标准方程、直线的方程、直线与圆的位置关系、向量的坐标运 算公式和一元二次方程根与系数的关系等知识,属于中档题. 24.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,点 E 是 PD 的中点. (1)证明:AC⊥PB; (2)证明:PB∥平面 AEC; (3)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1) 利用线面垂直的性质及判定定理, 即可证明 AC⊥平面 PAB, 从而可得 AC⊥PB; (2)连结 BD,与 AC 相交于 O,连结 EO,证明 PB∥EO,即可证明 PB∥平面 AEC; (3)过 O 作 FG∥AB,交 AD 于 F,交 BC 于 G,则∴∠EOG 是二面角 E﹣AC﹣B 的平面 角,连结 EF,即可求二面角 E﹣AC﹣B 的大小. 【解答】 (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,AC 在平面 ABCD 内,∴AC⊥PA 又 AC⊥AB,PA∩AB=A,∴AC⊥平面 PAB 又 PB 在平面 PAB 内,∴AC⊥PB (2)证明:连结 BD,与 AC 相交于 O,连结 EO ∵ABCD 是平行四边形,∴O 是 BD 的中点 又 E 为 PD 中点,∴PB∥EO 又 PB 在平面 AEC 外,EO 在 AEC 平面内,∴PB∥平面 AEC (3)解:过 O 作 FG∥AB,交 AD 于 F,交 BC 于 G,则 F 为 AD 中点 ∵AB⊥AC,∴OG⊥AC 又由 (1) (2)知,AC⊥PB,EO∥PB, ∴AC⊥EO ∴∠EOG 是二面角 E﹣AC﹣B 的平面角 连结 EF,在△ EFO 中,

又 PA=AB,EF⊥FO,∴∠EOF=45° ∴∠EOG=135°,即二面角 E﹣AC﹣B 的大小为 135°.

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查线面平行,考查面面角,考查学生分析解决 问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.


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