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2011年上海市长宁区中考数学二模试卷


2011 年上海市长宁区中考数学二模试卷 小题, 一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 选择题( 1.已知 42=6×7,6 和 7 都是 42 的( ) A.素因数 B.合数 C.因数 D.倍数

2. (2010?广州)若 a<1,化简 A.a﹣2 B.2﹣a C.a

﹣1=( D.﹣a



3. (2010?南宁)如图所示,在 Rt∴ABC 中,∴A=90°,BD 平分∴ABC,交 AC 于点 D,且 AB=4,BD=5,则点 D 到 BC 的距离是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

4. (2010?深圳)已知点 P(a﹣1,a+2)在平面直角坐标系的第二象限内, a 的取值范围在数轴上可表示为( 则



A.

B.

C.

D.

5. (2010?深圳)升旗时,旗子的高度 h(米)与时间 t(分)的函数图象大致为(



A.

B.

C.

D.

6.已知下列命题: ①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直平分的四边形是菱形; ③对角线相等的四边形是矩形;④对角线相等的梯形是等腰梯形. 其中真命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 小题, 二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 填空题( 2 2 7. (2010?广州)因式分解:3ab +a b= _________ . 8.计算: (m﹣1) (m+2)= _________ .

9.已知点 A(﹣3,2)与点 B 关于 y 轴对称,若反比例函数 的增大而 _________

的图象经过点 B,则

的图象在 x<0 时 y 随 x

. (填“增大”或“减小”)

10.2010 年以“城市让生活更美好”为主题的上海世博会成功举办.在 2010 年 10 月 16 日上海世博会单日入园人数 1032700 人,刷新世博会单日入园人数的历史记录.将 1032700 用科学记数法表示为 _________ . 11.已知在 Rt∴ABC 中,在斜边 BC 上取一点 D,使得 BD=CD,则 BC:AD 的比值为 _________ .

12. (2009?广州)已知函数 y= ,当 x=1 时,y 的值是

_________ .

13.如图所示,一块正八边形的游戏板,用纸板沿着正八边形的边做一围栏,随意投掷一个骰子.规定:如果骰子 落在分界线上,则算落在其逆时针方向的区域.骰子落在黑色区域的概率是 _________ .

14.已知平行四边形 ABCD(AB>BC) ,分别以点 A、B、C、D 为起点或终点的向量中,与向量 量是 _________ .

的模相等的向

15. 已知∴ABC 中, 是 BC 边上的点, 恰是 BC 边上的垂直平分线, D AD 如果

, tanC= 则

_________ .

16.如图,在直角坐标系中,以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点,已知 P(4,2)和 A(2,0) ,则点 B 的坐标是 _________ .

17.长度为 2 的线段 AB 被点 P 分成 AP 和 BP 两段,已知较长的线段 BP 是 AB 与 AP 的比例中项,则较短的一条 线段 AP 的长为 _________ . 18. (2010?厦门)如图,将矩形纸片 ABCD(AD>DC)的一角沿着过点 D 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上,落 点为 E,折痕交 AB 边交于点 F.若 BE=1,EC=2,则 sin∴EDC= _________ ;若 BE:EC=m:n,则 AF:FB= _________ (用含有 m、n 的代数式表示) .

小题, 三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 解答题( 19.计算: .

20. (2002?曲靖)解方程:

21. 2010 年 9 月起, 长宁区为推进课程改革, 落实“减负增效”, 在部分学校六年级实施“阅读领航计划”试点研究. 为 了解在数学课堂内“阅读”指导对学生学习方法改进的程度,在社会实践阅读活动组织内容的受欢迎程度.在试点学 校六年级随机抽取 200 名学生, 对“学习方法改进”情况与“社会实践阅读活动组织内容”受欢迎程度两项作了调查. 根 据统计数据分别绘制成了下面扇形统计图与条形统计图.

(1)对“学生学习方法改进”程度的调查反馈中回答“显著改进”的学生有多少名? (2)请将“社会实践阅读活动组织内容”受欢迎程度条形统计图补完整; (3)若参加“社会实践阅读”试点学校的六年级学生约有 1600 名,根据上述统计数据,请你估计试点学校对“社会实 践阅读活动组织内容”表示非常喜欢、喜欢及比较喜欢的学生共有多少名? 22.为缓解交通压力,节约能源减少大气污染,上海市政府推行“P+R”模式(即:开自驾车人士,将车开到城郊结 合部的轨道车站附近停车,转乘轨道交通到市中心) .市郊某地正在修建地铁站,拟同步修建地下停车库. 如图,是停车库坡道入口的设计图,其中 MN 是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为 D、F,坡道 AB 的坡度 i=1: AD=9 米, 在 DE 上, 3, C DC=0.5 米, 是限高标志牌的高度 CD (标志牌上写有: 限高_2.3____米) 如 . 果进入该车库车辆的高度不能超过线段 CF 的长,计算该停车库限高多少米. (结果精确到 0.1 米) (提供可选用的数据: )

23.如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形 OABC,CB∥OA,且点 A 在 x 轴正半轴上.已知 C



2,4) ,BC=4.

(1)求过 O、C、B 三点的抛物线解析式,并写出顶点坐标和对称轴; (2)经过 O、C、B 三点的抛物线上是否存在 P 点(与原点 O 不重合) ,使得 P 点到两坐标轴的距离相等?如果存 在,求出 P 点坐标;如果不存在,请说明理由. 24.如图,AD∥BC,点 E、F 在 BC 上,∴1=∴2,AF⊥DE,垂足为点 O. (1)求证:四边形 AEFD 是菱形; (2)若 BE=EF=FC,求∴BAD+∴ADC 的度数; (3)若 BE=EF=FC,设 AB=m,CD=n,求四边形 ABCD 的面积.

25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣2x +4x+6 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,与 y 轴交于 C 点,顶点为 D.过点 C、D 的直线与 x 轴交于 E 点,以 OE 为直径画⊙O1,交直线 CD 于 P、E 两点. (1)求 E 点的坐标; (2)连接 PO1、PA.求证:∴BCD∽∴PO1A; (3)①以点 O2(0,m)为圆心画⊙O2,使得⊙O2 与⊙O1 相切,当⊙O2 经过点 C 时,求实数 m 的值; ②在①的情形下,试在坐标轴上找一点 O3,以 O3 为圆心画⊙O3,使得⊙O3 与⊙O1、⊙O2 同时相切.直接写出满

2

足条件的点 O3 的坐标(不需写出计算过程) .

2011 年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
小题, 一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 选择题( 1.已知 42=6×7,6 和 7 都是 42 的( ) A.素因数 B.合数 C.因数 D.倍数 考点:有理数的乘法。 专题:计算题。 分析:根据有理数的乘法各部分的名称即可得出 6 和 7 都是 42 的因数. 解答:解:∵6 是合数,7 是质数, ∴在 42=6×7,6 和 7 都是 42 的因数,不是素因数. 故选 C. 点评:本题考查了有理数的乘法各部分之间的关系,掌握基础概念是解题的关键.

2. (2010?广州)若 a<1,化简 A.a﹣2 B.2﹣a C.a 考点:二次根式的性质与化简。 分析:根据公式 =|a|可知:

﹣1=( D.﹣a



﹣1=|a﹣1|﹣1,由于 a<1,所以 a﹣1<0,再去绝对值,化简.

解答:解:

﹣1=|a﹣1|﹣1,

由于 a<1, 所以 a﹣1<0, 所以,原式=|a﹣1|﹣1=(1﹣a)﹣1=﹣a, 故选 D. 点评:本题主要考查二次根式的化简,难度中等偏难. 3. (2010?南宁)如图所示,在 Rt∴ABC 中,∴A=90°,BD 平分∴ABC,交 AC 于点 D,且 AB=4,BD=5,则点 D 到 BC 的距离是( )

A.3 B.4 C.5 D.6 考点:勾股定理的证明。 分析:先根据勾股定理求出 AD 的长度,再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答. 解答:解:过 D 点作 DE⊥BC 于 E. ∵∴A=90°,AB=4,BD=5, ∴AD= = =3,

∵BD 平分∴ABC,∴A=90°, ∴点 D 到 BC 的距离=AD=3. 故选 A.

点评:本题利用勾股定理和角平分线的性质. 4. (2010?深圳)已知点 P(a﹣1,a+2)在平面直角坐标系的第二象限内, a 的取值范围在数轴上可表示为( 则



A.

B.

C.

D.

考点:在数轴上表示不等式的解集;点的坐标。 分析:根据第二象限内点的特征,列出不等式组,求得 a 的取值范围,然后在数轴上分别表示出 a 的取值范围. 解答:解:∵点 P(a﹣1,a+2)在平面直角坐标系的第二象限内, 则有

解得﹣2<a<1. 故选 C. 点评: 在数轴上表示不等式的解集时,大于向右, 小于向左,有等于号的画实心原点,没有等于号的画空心圆圈. 第 二象限的点横坐标为<0,纵坐标>0. 5. (2010?深圳)升旗时,旗子的高度 h(米)与时间 t(分)的函数图象大致为(



A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象。 分析:根据横轴代表时间,纵轴代表高度,旗子的高度 h(米)随时间 t(分)的增长而变高来进行选择. 解答:解:高度 h 将随时间的增长而变高, 故选 B. 点评:读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义,理解问题叙述的过程,能够通过图象得到函数是随自变量 的增大,知道函数值是增大还是减小. 6.已知下列命题: ①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直平分的四边形是菱形; ③对角线相等的四边形是矩形;④对角线相等的梯形是等腰梯形. 其中真命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点:命题与定理;平行四边形的性质;菱形的性质;矩形的性质;等腰梯形的性质。 专题:综合题。 分析:根据平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形的判定来判断所给选项是否正确即可. 解答:解:①根据平行四边形的判定方法,可知该命题是真命题;

②根据菱形的判定方法,可知该命题是真命题; ③等腰梯形也满足此条件,但不是矩形,可知该命题不是真命题; ④作一对角线的平行线,可证得两腰所在的三角形全等,那么两腰相等,也就是等腰梯形,可知该命题是真命题. 所以①②④是真命题. 故选 C. 点评:本题综合考查了对四边形判定的运用,综合性较强.熟悉特殊四边形的判定方法是关键. 小题, 二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 填空题( 2 2 7. (2010?广州)因式分解:3ab +a b= ab(3b+a) . 考点:因式分解-提公因式法。 专题:计算题。 分析:直接提公因式 ab 即可. 2 2 解答:解:3ab +a b=ab(3b+a) . 点评:本题主要考查提公因式法分解因式,准确找出公因式是解题的关键. 8.计算: (m﹣1) (m+2)= m +m﹣2 . 考点:多项式乘多项式。 专题:计算题。 分析:根据多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一 项,再把所得的积相加计算即可. 解答:解: (m﹣1) (m+2) , 2 =m +2m﹣m﹣2, 2 =m +m﹣2. 2 故答案为:m +m﹣2. 点评:本题主要考查多项式乘以多项式的法则.运用法则时应注意以下两点:①相乘时,按一定的顺序进行,必须 做到不重不漏;②多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
2

9.已知点 A(﹣3,2)与点 B 关于 y 轴对称,若反比例函数 的增大而 减小 . (填“增大”或“减小”) 考点:反比例函数的性质;反比例函数的图象。

的图象经过点 B,则

的图象在 x<0 时 y 随 x

分析:根据两点关于 y 轴对称的点的坐标特点,求 B 点坐标,将 B 点坐标代入 的增减性解题. 解答:解:∵点 A(﹣3,2)与点 B 关于 y 轴对称, ∴B(3,2) , ∴k=xy=3×2=6,即 y= , ∴当 x<0 时 y 随 x 的增大而减小. 故答案为:减小. 点评:本题考查了反比例函数的性质与图象.对于反比例函数 限; (2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

中求 k 的值,再根据反比例函数

(k≠0)(1)k>0,反比例函数图象在一、三象 ,

10.2010 年以“城市让生活更美好”为主题的上海世博会成功举办.在 2010 年 10 月 16 日上海世博会单日入园人数 1032700 人,刷新世博会单日入园人数的历史记录.将 1032700 用科学记数法表示为 6 1.0327×10 . 考点:科学记数法—表示较大的数。

分析:科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负. 6 解答:解:将 1032700 用科学记数法表示为 1.0327×10 . 6 故答案为:1.0327×10 . n 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示 时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 11.已知在 Rt∴ABC 中,在斜边 BC 上取一点 D,使得 BD=CD,则 BC:AD 的比值为 2 . 考点:直角三角形斜边上的中线。 专题:计算题。 分析:在 Rt∴ABC 中,D 是斜边 BC 上的一点,BD=CD,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答 此题. 解答:解:∵在 Rt∴ABC 中,D 是斜边 BC 上的一点,BD=CD, ∴AD= BC, BC:AD=2:1. 故答案为:2. 点评:此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一知识点的理解和掌握,难度不大,属于基 础题,要求学生应熟练掌握.

n

12. (2009?广州)已知函数 y= ,当 x=1 时,y 的值是

2 .

考点:反比例函数的定义。 专题:计算题。 分析:把所给的函数值代入解析式,转化成关于自变量的方程,从而解这个方程即可. 解答:解:当 x=1 时,代入 y= ,解得 y=2.故答案为:2. 点评:本题考查了反比例函数的定义,由已知函数解析式和函数值求相应的自变量的值. 13.如图所示,一块正八边形的游戏板,用纸板沿着正八边形的边做一围栏,随意投掷一个骰子.规定:如果骰子 落在分界线上,则算落在其逆时针方向的区域.骰子落在黑色区域的概率是 .

考点:几何概率。 专题:计算题。 分析:根据某个事件所占的面积与全面积的比等于此事件的概率即可得到答案. 解答:解:∵正八边形被分成了八等份,黑色区域占三份, ∴骰子落在黑色区域的概率=黑色区域的面积:正八边形的面积= .

故答案为: . 点评:本题考查了几何概率的计算方法:某个事件所占的面积与全面积的比等于此事件的概率.

14.已知平行四边形 ABCD(AB>BC) ,分别以点 A、B、C、D 为起点或终点的向量中,与向量 量是 考点:*平面向量。 分析:首先由平行四边形的性质求得:AB∥CD,AB=CD,则可求得与向量 解答:解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴ = , =﹣ , =﹣ , 的模相等的向量. .

的模相等的向

∴与向量

的模相等的向量是:







故答案为:







点评:此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质.此题比较简单,注意向量模的意义的理解与数形结合思想 的应用.

15.已知∴ABC 中,D 是 BC 边上的点,AD 恰是 BC 边上的垂直平分线,如果 考点:等边三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;特殊角的三角函数值。 专题:计算题。

,则 tanC=



分析:根据线段的垂直平分线的性质推出 AD⊥BC,AB=AC,由∴BAD= ∴B,根据三角形的内角和定理求出 ∴B=60°,根据等边三角形的判定得到等边∴ABC,求出∴C=60°,根据特殊角的角三角函数即可求出答案. 解答:解:∵AD 是 BC 边上的垂直平分线, ∴AD⊥BC,AB=AC, ∴∴ADB=90°, ∵∴BAD= ∴B, ∴∴BAD=30°,∴B=60°, ∴∴ABC 是等边三角形, ∴∴B=∴C=60°, ∴tanC=tan60°= , 故答案为: . 点评:本题主要考查对等边三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,线段的垂直平分线定理,特殊角的三角函 数值等知识点的理解和掌握,证出∴ABC 是等边三角形是解此题的关键. 16.如图,在直角坐标系中,以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点,已知 P(4,2)和 A(2,0) ,则点 B 的坐标是 (6,0) .

考点:垂径定理;坐标与图形性质;勾股定理。 分析:连接 PA、PB.过点 P 作 PD⊥AB 于点 D.根据两点间的距离公式求得 PA=2 心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点”知 PA=PB=2

;然后由已知条件“点 P 为圆

;再由垂径定理和勾股定理求得 AD= AB=2,所以 AB=4,由两点

间的距离公式知点 B 的坐标. 解答:解:连接 PA、PB.过点 P 作 PD⊥AB 于点 D. ∵P(4,2) 、A(2,0) , ∴PA= =2 ,PD=2;

∵点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点, ∴PA=PB=2 ,AB 是垂直于直径的弦, ∴AD=DB; 在直角三角形 PDA 中,AD =AP ﹣PD , ∴AD=2; ∴AB=4, ∴B(6,0) . 故答案为:B(6,0) .
2 2 2

点评:本题综合考查了垂径定理、勾股定理及坐标与图形的性质.解答此题的关键是通过作辅助线 PA、PB、PD, 利用垂径定理和勾股定理来求 AB 的长度. 17.长度为 2 的线段 AB 被点 P 分成 AP 和 BP 两段,已知较长的线段 BP 是 AB 与 AP 的比例中项,则较短的一条 线段 AP 的长为 3﹣ . 考点:比例线段。 专题:计算题。 分析: 把一条线段分成两部分, 使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项, 这样的线段分割叫做黄金分割, 他们的比值( )叫做黄金比.

解答:解:根据题意知,点 P 是线段 AB 的黄金分割点,且 BP>AP, 则 = = ①,

又∵AB=2,② BP=AB﹣AP,③ 由①②③,解得 AP=3﹣ ; 故答案是:3﹣ . 点评:本题考查了比例线段.解答此题须理解黄金分割点的概念,熟悉黄金比的值.

18. (2010?厦门)如图,将矩形纸片 ABCD(AD>DC)的一角沿着过点 D 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上,落 点为 E, 折痕交 AB 边交于点 F. BE=1, 若 EC=2, sin∴EDC= 则 含有 m、n 的代数式表示) . ; BE: 若 EC=m: 则 AF: n, FB= (用

考点:翻折变换(折叠问题) 。 分析:①根据题意,BC=3=AD=DE,根据三角函数定义易求 sin∴EDC; ②AF:FB=EF:FB.证明∴BEF∽∴CDE 可得 EF:FB=DE:EC,由 BE:EC=m:n 可求解. 解答:解:∵BE=1,EC=2,∴BC=3. ∵BC=AD=DE,∴DE=3. sin∴EDC= = ;

∵∴DEF=90°,∴∴BEF+∴CED=90°. 又∴BEF+∴BFE=90°, ∴∴BFE=∴CED.又∴B=∴C, ∴∴BEF∽∴CDE. ∴EF:FB=DE:EC. ∵BE:EC=m:n, ∴可设 BE=mk,EC=nk,则 DE=(m+n)k. ∴EF:FB=DE:EC= ∵AF=EF, ∴AF:FB= . = .

点评:此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据 轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,注意对应相等关系. 小题, 三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 解答题( 19.计算: .

考点:特殊角的三角函数值;负整数指数幂;二次根式的混合运算。 专题:计算题。 分析:首先求得: =2 ,﹣tan45°=﹣1, =2 , ) =2,然后再进行实数的加减运算即可求得结果. ( =2 +2=1.
﹣1

解答:解:原式=

﹣1﹣2

点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角 函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.

20. (2002?曲靖)解方程: 考点:换元法解分式方程;解一元二次方程-因式分解法。 专题:换元法。

分析:方程的两个部分具备倒数关系,设 y= 程.先求 y,再求 x.结果需检验. 解答:解:设 y=
2

,则原方程另一个分式为 .可用换元法转化为关于 y 的分式方

,则原方程化为 y﹣ =﹣3,

整理得 y +3y+2=0, 解得 y=﹣1 或 y=﹣2. 当 y=﹣1,有 当 y=﹣2 时,有 =﹣1,解得 x1=1; =﹣2,解得 x2= .

经检验 x1=1,x2= 是原方程的根. ∴原方程的根是 x1=1,x2= . 点评:用换元法解分式方程时常用方法之一,它能够把一些分式方程化繁为简,化难为易,对此应注意总结能用换 元法解的分式方程的特点,寻找解题技巧. 21. 2010 年 9 月起, 长宁区为推进课程改革, 落实“减负增效”, 在部分学校六年级实施“阅读领航计划”试点研究. 为 了解在数学课堂内“阅读”指导对学生学习方法改进的程度,在社会实践阅读活动组织内容的受欢迎程度.在试点学 校六年级随机抽取 200 名学生, 对“学习方法改进”情况与“社会实践阅读活动组织内容”受欢迎程度两项作了调查. 根 据统计数据分别绘制成了下面扇形统计图与条形统计图.

(1)对“学生学习方法改进”程度的调查反馈中回答“显著改进”的学生有多少名? (2)请将“社会实践阅读活动组织内容”受欢迎程度条形统计图补完整; (3)若参加“社会实践阅读”试点学校的六年级学生约有 1600 名,根据上述统计数据,请你估计试点学校对“社会实 践阅读活动组织内容”表示非常喜欢、喜欢及比较喜欢的学生共有多少名? 考点:扇形统计图;条形统计图。 专题:数形结合。 分析: (1)用总人数乘以对“学生学习方法改进”程度的调查反馈中回答“显著改进”的学生对应的百分率即可解答. (2)用总人数 200 减去其余三项的人数即可得出结果,再画图即可解答. (3)利用样本估计总体的方法,用总人数乘以样本的频率即可解答. 解答:解: (1)200×35%=70; (2)200﹣115﹣70﹣5=10; (3)1600× =1560.

点评:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决 问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 22.为缓解交通压力,节约能源减少大气污染,上海市政府推行“P+R”模式(即:开自驾车人士,将车开到城郊结 合部的轨道车站附近停车,转乘轨道交通到市中心) .市郊某地正在修建地铁站,拟同步修建地下停车库. 如图,是停车库坡道入口的设计图,其中 MN 是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为 D、F,坡道 AB 的坡度 i=1: AD=9 米, 在 DE 上, 3, C DC=0.5 米, 是限高标志牌的高度 CD (标志牌上写有: 限高_2.3____米) 如 . 果进入该车库车辆的高度不能超过线段 CF 的长,计算该停车库限高多少米. (结果精确到 0.1 米) (提供可选用的数据: )

考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。 专题:几何综合题。 分析:据题意得出 ,即可得出 tanA,在 Rt∴ADE 中,根据勾股定理可求得 DE,即可得出∴1 的正切值,

再在 Rt∴CEF 中,设 EF=x,即可求出 x,从而得出 CF=3x 的长. 解答:解:据题意得 ∵MN∥AD, ∴∴A=∴B, ∴ ∵DE⊥AD, ∴在 Rt∴ADE 中, ∵AD=9, ∴DE=3(2 分) , 又∵DC=0.5, ∴CE=2.5, ∵CF⊥AB, , ,

∴∴1+∴2=90°, ∵DE⊥AD, ∴∴A+∴2=90°, ∴∴A=∴1, ∴ (2 分)
2 2 2

在 Rt∴CEF 中,CE =EF +CF 设 EF=x,CF=3x(x>0) ,CE=2.5, 代入得 (如果前面没有“设 x>0”,则此处应“

解得

,舍负”) 分) (3

∴CF=3x=

(2 分) ,

∴该停车库限高 2.3 米. 分) (1 点评:本题考查了解直角三角形的应用,坡面坡角问题和勾股定理,解题的关键是坡度等于坡角的正切值. 23.如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形 OABC,CB∥OA,且点 A 在 x 轴正半轴上.已知 C



2,4) ,BC=4.

(1)求过 O、C、B 三点的抛物线解析式,并写出顶点坐标和对称轴; (2)经过 O、C、B 三点的抛物线上是否存在 P 点(与原点 O 不重合) ,使得 P 点到两坐标轴的距离相等?如果存 在,求出 P 点坐标;如果不存在,请说明理由. 考点:二次函数综合题;解三元一次方程组;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求二次函数解析式。 专题:计算题;代数几何综合题。 2 分析: (1)根据 C(2,4) ,BC=4 且 BC∥OA,能得出 B 的坐标,设抛物线为 y=ax +bx+c(a≠0) ,把 O、B、C 的 坐标代入抛物线的解析式得出一个三元一次方程组,求出方程组的解,即求出 a、b、c 的值,代入解析式即可; (2)根据题意,设 P(a,a)或 P(a,﹣a) (a≠0) ,分别把(a,a)和(a,﹣a)代入(1)求出的抛物线即可求 出 a 的值,即得出答案. 解答:解: (1)∵C(2,4) ,BC=4 且 BC∥OA, ∴B(6,4) , 2 设抛物线为 y=ax +bx+c(a≠0) 将 O(0,0) ,C(2,4) ,B(6,4)代入得 且 ,

解得:





, 对称轴:直线 x=4,

∴顶点

答:过 O、C、B 三点的抛物线解析式是



顶点坐标是

,对称轴是直线 x=4.

(2)解:根据题意,设 P(a,a)或 P(a,﹣a) (a≠0) , 将 P(a,a)代入抛物线得 将 P(a,﹣a)代入抛物线得 解得 a1=5,a2=0(舍) , 解得 a1=11,a2=0(舍) ,

∴符合条件的点 p(5,5)和 p(11,﹣11) , 答:存在,P 点坐标是(5,5)和(11,﹣11) . 点评:本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,解三元一次方程组,解一元二次方程等知识点的理解和 掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目. 24.如图,AD∥BC,点 E、F 在 BC 上,∴1=∴2,AF⊥DE,垂足为点 O. (1)求证:四边形 AEFD 是菱形; (2)若 BE=EF=FC,求∴BAD+∴ADC 的度数; (3)若 BE=EF=FC,设 AB=m,CD=n,求四边形 ABCD 的面积.

考点:菱形的判定;平行线的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质。 分析: (1)先证明是平行四边形,再证出一组邻边相等就可以证明菱形. (2)把要求的角拆成几个角,先分别求出一些角的和,最终求出∴BAD+∴ADC 的度数; (3)把求四边形 ABCD 的面积转化成求三角形 ABF 的面积加上平行四边形 AFCD 的面积,从而求出值. 解答:解: (1)证明: (方法一)∵AF⊥DE, ∴∴1+∴3=90°即:∴3=90°﹣∴1, ∴∴2+∴4=90°即:∴4=90°﹣∴2, 又∵∴1=∴2, ∴∴3=∴4, ∴AE=EF, ∵AD∥BC, ∴∴2=∴5, ∵∴1=∴2, ∴∴1=∴5, ∴AE=AD, ∴EF=AD, 分) (2 ∵AD∥EF, ∴四边形 AEFD 是平行四边形, 分) (1 又∵AE=AD, ∴四边形 AEFD 是菱形, 分) (1 (方法二)∵AD∥BC, ∴∴2=∴5, ∵∴1=∴2, ∴∴1=∴5, ∵AF⊥DE, ∴∴AOE=∴AOD=90°,

在∴AEO 和∴ADO 中



∴∴AEO≌∴ADO, ∴EO=OD

在∴AEO 和∴FEO 中



∴∴AEO≌∴FEO, ∴AO=FO, 分) (2 ∴AF 与 ED 互相平分, 分) (1 ∴四边形 AEFD 是平行四边形, 又∵AF⊥DE, ∴四边形 AEFD 是菱形; 分) (1 (2) 分)∵菱形 AEFD, (5 ∴AD=EF, ∵BE=EF, ∴AD=BE,

又∵AD∥BC, ∴四边形 ABED 是平行四边形, 分) (1 ∴AB∥DE, ∴∴BAF=∴EOF, 同理可知四边形 AFCD 是平行四边形, ∴AF∥DC, ∴∴EDC=∴EOF, 又∵AF⊥ED, ∴∴EOF=∴AOD=90°, ∴∴BAF=∴EDC=∴EOF=90°, 分) (2 ∴∴5+∴6=90°, 分) (1 ∴∴BAD+∴ADC=∴BAF+∴6+∴5+∴EDC=270°; 分) (1 (3) 分)由(2)知∴BAF=90°平行四边形 AFCD, (3 ∴AF=CD=n, 又∵AB=m, 由(2)知平行四边形 ABED, ∴DE=AB=m, 由(1)知 OD= S 四边形 ABCD=S∴ABF+S 四边形 AFCD=mn. 分) (1 , 分) (1 , 分) (1

点评:本题考查了菱形的判定定理,平行线的性质,三角形的面积以及全等三角形的判定和性质定理等. ,与 y 轴交于 C 25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣2x +4x+6 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) 点,顶点为 D.过点 C、D 的直线与 x 轴交于 E 点,以 OE 为直径画⊙O1,交直线 CD 于 P、E 两点. (1)求 E 点的坐标; (2)连接 PO1、PA.求证:∴BCD∽∴PO1A; (3)①以点 O2(0,m)为圆心画⊙O2,使得⊙O2 与⊙O1 相切,当⊙O2 经过点 C 时,求实数 m 的值; ②在①的情形下,试在坐标轴上找一点 O3,以 O3 为圆心画⊙O3,使得⊙O3 与⊙O1、⊙O2 同时相切.直接写出满
2

足条件的点 O3 的坐标(不需写出计算过程) . 考点:二次函数综合题。 分析: (1)运用配方法求出二次函数顶点坐标与图象与 y 轴的交点坐标,再求出直线 CD 的解析式,即可得出 E 点 的坐标; (2)分别求出∴BCD 与∴PO1A 三边的比值得出两三角形相似; (3)根据当⊙O2 与⊙O1 外切时 O1O2=r1+r2,以及当⊙O2 与⊙O1 内切时 O1O2=|r1﹣r2|,分别求出符合要求的答案 即可. 2 2 解答:解: (1)y=﹣2x +4x+6=﹣2(x﹣1) +8, ∴C(0,6) ,D(1,8) , 设直线 CD:y=kx+b(k≠0)将 C、D 代入得 ,

解得



∴CD 直线解析式:y=2x+6,当 y=0,x=﹣3, ∴E(﹣3,0) ; (2)令 y=0 得﹣2x +4x+6=0, 解得 x1=﹣1,x2=3, ∴A(﹣1,0) ,B(3,0) , 又∵O(0,0) 、E(﹣3,0) , ∴以 OE 为直径的圆心 设 P(t,2t+6) , 由 得 , 、半径 .
2

解得:t 1=﹣ ∴

,t 2=﹣3(舍) , ,

∴ 又 ∴

, , ,

∴∴BCD∽∴PO1A;

(3)①

O2(0,m)

据题意,显然点 O2 在点 C 下方 r2=O2C=6﹣m, 当⊙O2 与⊙O1 外切时 O1O2=r1+r2, 代入得 ,

解得:

(舍) ,

当⊙O2 与⊙O1 内切时 O1O2=|r1﹣r2|, 代入得 ,

解得:

(舍) ,





② O3(0,2) ,













点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定,还用到了分类讨论的数学思想,难点在 于考虑问题要全面,做到不重不漏.

参与本试卷答题和审题的老师有: HLing; bjy; gsls; 开心; dbz1018; 疯跑的蜗牛; 蓝月梦; fzf; gbl210; 735877; lanchong; HJJ; 星期八; zcx; zhangCF; zhehe;fxx;137-hui;nhx600;bjf;733599;Linaliu;zxw。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 4 月 2 日


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