当前位置:首页 >> 数学 >> 2.3直线

2.3直线


2.3.直线、平面垂直的判定及其性质

知识点一:直线与平面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

旗杆与底面垂直

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

大桥的桥柱与水面垂直

引入新课

一条直线与一个平面垂直的意义是什么?

A

?

B

实例感受
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影 子.你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位 置关系吗? 随着时间的变化,尽管影子的位置在移动,但是 旗杆所在所在直线AB始终与影子所在直线BC垂直. 也就是说,旗杆AB所在直线与地面内任意一条过 点B的直线垂直. 事实上,旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过 点B的直线B’C’也是垂直的. A

?

C?

C
B? B

引入新课

一条直线与一个平面垂直的意义是什么? 直线垂直于平面内的任意一条直 线.
A
C?

C
B? B

?

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么? 直线垂直于平面内的任意一条直 线.

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么? 直线垂直于平面内的任意一条直 线.

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 不一定 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

直线与平面垂直
定义:

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

直线与平面垂直

画直线与平面垂直时,通常把直线画成表 示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.
直线与平面的 一条边垂直

l
P

?

直线与平面垂直

除定义外,如何判断一条直线与平面垂直
呢?

l

?

P

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?

l?a l ?b

l

b

?

A

a

作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与平面垂直

直线与直线垂直

直线与平面垂直判定定理

能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都 垂直,则该直线与此平面垂直.”
l

? a ?? ? ? l ? ? b ?? ? a // b ? ?

l?a ? l ?b ?

A

?

a

b

判定定理的重要推论:
如果两条平行线中,有一条垂直于平 面,那么 另一条直线也垂直于这个平面。

重要结论与方法
结论1:过一点只有一条直线和一个平面垂直. 结论2:过一点只有一个平面和一条直线垂直.

典型例题
例1 一旗杆高8 m,在它的顶点处系两条长10 m的 绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 (与旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点与旗杆 脚距6 m,那么旗杆就与地面垂直.为什么? 解:如图,旗杆PO=8 m,两绳长 P PA=PB=10 m,OA=OB=6 m.

因为 A,O,B 三点不共线, 所以 A,O,B 三点确定平面. 所以 OP ? OA, OP ? OB.

O A B

又因为 PO2 ? OA2 ? PA2 , PO2 ? OB2 ? PB2 又因为: OA ? OB ? O, 所以: OP ? ? . 因此,旗杆OP与地面垂直.

典型例题
例2 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证

b ? ?.
b
n

证明:在平面 ? 内作 a 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

?

m

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

例:
如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?
A? D?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

B?

C?

A D B
C

例 . 如图, AB 为⊙O 的直径, C 为⊙O 上一点, AD⊥面 ABC , AE⊥BD于E,AF⊥CD于F. 求证:BD⊥平面AEF.

填空:

知识点二、直线和平面所成的角

1.射影

p O

自一点向平面引垂线,垂足叫做 这点在这个平面上的射影; 这个点与垂足间的线段叫做这点 到这个平面的垂线段。

?

2、斜线
一条直线和一个平面 A 相交,但不和这个平面垂 直,这条直线叫做这个平 面的斜线,斜线和平面的 B C 交点叫做斜足。 ? 斜线上任意一点在 斜线上一点与斜足间 平面上的射影,一定在 的线段叫做这点到这个平 斜线的射影上。 面的斜线段。 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影;

垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影。

3、直线和平面所成的角
定义:平面的一条斜线与平面内这条斜线的射影所成的 锐角叫做直线和平面所成的角。

?

?

?

?
一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行,或在平面内,它们所 成的角是0 ?的角。
直线和平面所成角的范围是[0?,90?]。

斜线和平面所成的角的作法:

作法的关键在于确定平面的垂线, (1)首先查看已知条件和题目所给的 图形中是否已有所需的垂线; (2)当已知条件和题目所给的图形没 有所需要的垂线时,应考虑能否利用两 平面垂直的性质定理进行补作; (3)若无法利用两平面垂直的性质定 理作出所需要的垂线,必须直接由点向 平面引垂线时,应考虑垂足的位置

D1 A

C1 B1

1

练 习
C

D
1

A

B
如图,正方体ABCD—A1B 1 C1D1中,分别指 出对角线A C与六个面所成的角.

1

A

l

O

?

?

C

B D

l是平面? 的斜线,A是l 上任意一点,AB是平面? 的垂线,B是垂足,OB是 斜线l的射影,θ是斜线l 与平面? 所成的角.

θ与∠AOD的大小关系如何?

A

l

θ与∠AOD的大小关系如何?
在Rt△AOB中,

O

?

?

C
最小角原理

∵AB<AC,∴sin θ<sin∠AOD 角。
∴θ<∠AOD

AB sin? ? 斜线和平面所成 B AO 的角,是这条斜线和 D AC 平面内任意的直线所 在Rt △AOC 中, sin ?AOD ? 成的一切角中最小的 AO

斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面 内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

练习
1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ?
(不一定)

2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗?

(相等)

3. AO与平面?斜交,O为斜足,AO与平面?成?角, B是A在?上的射影,OD是?内的直线,∠BOD=30?, ∠AOD=60?,则sin ? = 。 6

3

A

4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍, 求斜线和平面β所成的 角。 ( 60? )

β

B

O

如图,斜线段AB是其射影OB 的两倍,求AB与平面β所成的角。

例题
如图,在Rt△ ABC中,已知 ∠C=90?,AC=BC=1,PA⊥平面ABC,且PA=

例1.

2
P

,求PB与平面PAC所成的角.

A
C

B

解:PA ⊥平面ABC PA 平面ABC 又AC ⊥BC

?

?
?

BC ⊥平面PAC

?
?

?

PA

AC=A

BC ⊥平面PAC PB与平面PAC所角为∠BPC
AC=1, PA=
PC=

?
?

2

P

3

又BC=1,tan ∠BPC= 3 3

2
A B 1 C

∠BPC=30?

即BP与平面PAC所成的角为30? .

1

N到平面β的距离是4厘米,求MN与平面β所成角的 N 余弦值。 ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4 N N

例3 .线段MN长6厘米,M到平面β的距离是1厘米,

. 如图,已知Rt△ ABC的斜边BC在平面 例4

?内,两直角边AB.AC和平面?所成的角分别为 45?和 30?,求斜边BC上的高AD和平面?所成的 角.
A

O

?

B

D D

C

提示: 利用面积求出高AD

知识点三:三垂线定理及其逆定理
三垂线定理:在平面内的一条直 P 线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么,它就和这条 斜线垂直。 三垂线定理的逆定理 A a 在平面内的一条直线,若和这 ? O 个平面的一条斜线垂直,那么, 它也和这条斜线的射影垂直。 练习:正三角形ABC的边长为a,AD⊥BC于D,沿 AD把△ABC折起,使∠BDC=90°,求折起后点B 到AC的距离.
7 BE ? a 4

知识点四:直线与平面垂直的性质定理

1.直线与平面垂直的定义是什么? 如何判定直线与平面垂直?
2.直线与平面垂直的判定定理, 解决了直线与平面垂直的条件问题; 反之,在直线与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何?它们 彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C B A A1 D D1

思考2:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考3:一个平面的垂线有多少条? 这些直线彼此之间具有什么位置关 系?
a b

c

α

O

思考4:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由观察可知a//b,从理论上如 何证明这个结论?

思考5:根据上述分析,得到一个什 么结论?
定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行

上述定理通常叫做直线与平面垂直 的性质定理.用符号语言可表述 为: a ? ? , b ? ? ? a / / b .该定理有 什么功能作用?

例1 如图,已知 ? ? ? l , C A ? ? , 于点A,C B ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证:a // l .
β B α l A a

C

例2 如图,已知 a ? b , b ? ? , a ? ? . 求证: a // ? .
β

b
l

A

a

α

B

例3 如图,已知 P A ? 矩形ABCD所 在平面,M、N分别是AB、PC的中点 求证: (1) M N ? C D ; (2)若 ? P D A ? 45,求证:MN ?面PCD
P E N A M B D

C

两个重要结论
1、垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、如果两条平行线中有一条直线垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于这个平面。
注:此结论可当定理使用

知识点五:二面角及其平面角
? ? ? ?

? ?

1

(1)半平面及二面角的定义 1、半平面: 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,每 一部分都叫做半平面。 2、二面角: 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平 面叫做二面角的面。
面?
半 平 面

l

半 平 面

面 棱

?

l

(2)二面角的 画法与记法

1、二面角的画法:
(1)、平卧式

(2)、直立式

?

(3)二面角的 画法与记法 2、二面角的记法: 面1-棱-面2 (1)、以直线l 为棱,以? , ? 为半平面的二面角记为: (2)、以直线AB 为棱,以? , ? 为半平面的二面角记为:

? ?l ? ?

? ? AB ? ?
?

?
l

?
A

B

?

B

∠AOB 二面角?-AB- ?
A

O F

A E B

C
A B

D

? ?
l
5

B

? A 二面角?- l- ?

D

C

二面角C-AB- D
? ?

?

l

(4)二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面上分别 引垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。 ? ?A?O?B? ?AOB== ? 注:(1)二面角的平面角与点的位置 等角定理:如果一个角的两边和另 ? 无关,只与二面角的张角大小有关。 A ? 一个角的两边分别平行,并且方向相 O? (2)二面角是用它的平面角来度 ? B 同,那么这两个角相等。) l 量的,一个二面角的平面角多大,就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O (3)平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 (4)二面角平面角的取值范围一 般规定为(0,π)。

2、二面角的平面角的作法: 1、定义法: 根据定义作出来。 2、作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。 3、应用三垂线: 应用三垂线定理或其逆定理作 出来。
注意:二面角的平面角必须满足: (1)、角的顶点在棱上。 (2)、角的两边分别在两个面内。 (3)、角的边都要垂直于二面角的棱。

?
A

l
o B

?
?
B

o

?
A
l

l

A

?
?

o

l

B

(5)角与二面角的比较 角 二面角

A
图形 顶点


边 B

A
棱 a

? 面 面

?

O

B

定义

从一点出发的两条射线 从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫 做二面角。 边 — 点 —边 (顶点) ∠AOB

构成

面—直线—面 (棱)
二面角?—l—? 或二面角?—AB—?

表示法

例1、已知二面角?- l - ? ,A为面?内一点,A到? 的 距离为 2 3 ,到

l 的距离为 4。求二面角 ?- l - ? 的大小。
l

AD, 解: 过 A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连 分析:首先应找到或作出二面角的平面角 ,然后证明这个 角就是所求的平面角 , 最后求出这个角的大小。 则由三垂线定理得 AD⊥ .

??ADO 就是二面角 ?- l - ? 的平面角.

A.

?

? AO ? 2 3, AD ? 4
在Rt△ADO中, ∵sin∠ADO= AO AD

D

O

l

?

2 3 ? 4

∴ ∠ADO=60°.

∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °.

例2、如图,山坡倾斜度是60度, 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角. 沿这条路向上走100米,升高了多少?
解 :因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线 分析 : 此例是一个实际应用题 , 可先抽象出数学 段,DH .作 HG AB,垂足为 G, ” 即 模型 , 就是所求的高度 如图所示. 本题要求 “⊥ 升高了多少米? 是求点 D 到水平面 ? 就是坡面和地平面所成 的距离DH.已知二面角?-AB-? 那么 DG ⊥ AB,∠DGH 是60度, 只要过D点在平面?内作 DG ?AB , G是垂 的二面角的平面角 ,所以∠DGH=60,可得 . HG ?AB , 足, 再连结HG,则根据三垂线定理 DH ? DG ? sin 60 ? DGH 则 ? 就 是 该 二 面 角 的 平 面 角 , 即 ?DCH ? 30 及直角三角形 ?DGH ? 60 ? CD ? sin . 30再根据 ? sin 60 DGH和DCG 的边角关系 , 就可以求出DH . ? 100 sin 30 ? sin 60
0
0

D H

A

C

G

B

0

0

0

0

?
?
A C G

0

0

D
H

? 25 3 ? 43.3(m)

答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.

B

例、如图,将等腰直角三角形纸片沿 斜线BC上的高AD折成直二面角. 求证: BD?CD, ?BAC ? 60
0

A

分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , ?BDC 为直角 , 就是这个直二面角的平面角 .所 以 BD?CD . B 若设 AD ? a ,则 BD ? CD ? a ,即可求得: AB ? AC ? BC ? 2a , 那么 ?BAC 为等边三角形, 0 ? BAC ? 60 所以 .

D

C

解:(略)

小结 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 1、二面角的定义: 面角。这条直线叫做二面 1、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 的大小与 其顶点 2、二面角的画法和记法:做二面角的面。 画法:直立式和平卧式 在棱上的位置无关 2、二面角的大小用 记法:二面角 ?-AB- ? 3、二面角的平面角: 它的平面角的大 二面角 ?- l- ? 小来度量 1、根据定义作出来 4、二面角的平面角的作法:2、利用直线和平面垂 直作出来 3、应用三垂线定理或 其逆定理作出来

二面角的计算步骤:
1、找到或作出二面角的平面角

2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小

一“作”二“证”三“计算”

16

例、已知锐二面角?- l- ? ,A为面?内一点,A到? 的 距离为 2 3 ,到 l 的距离为 4,求二面角 ?- l- ? 的 大小。 ① 解: 过 A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD

A

则由三垂线定理得 AD⊥ l ② ∴∠ADO就是二面角 ?- l- ? 的平面角 ③ ∵ AO为 A到?的距离 , AD为 A到 l 的距离
? ∴AO=2

3

,AD=4

在Rt△ADO中,

D

O

l
17

?

AO ∵sin∠ADO= AD ∴ ∠ADO=60°

2 3 3 ? ? 2 4

∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °

例 如图,已知A、B是120?的二面角 ?—l—?棱l上的两点,线段AC,BD分别 在面?,?内,且AC⊥l,BD⊥l ,AC=2, BD=1,AB=3,求线段CD的长。 ∠OAC =120?
2 2

?
B C

l D

?

A O

AO=BD=1, AC=2
2 ?

CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? COS120 ? 7
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3

19

例 如图,已知A、B是120?的二面角 E ? ?—l—?棱l上的两点,线段AC,BD分别 l B ? 在面?,?内,且AC⊥l,BD⊥l ,AC=2, D C BD=1,AB=3,求线段CD的长。 O 解:在平面?内,过A作AO⊥l ,使 A AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角?—l—?的平面角,即 ∠OAC =120?, ∵BD⊥l ∴ AO∥BD,∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l , AO=BD ∵ AC⊥l , AO⊥l , ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1,在△OAC中,AC=2, 2 2 2 ? ∴ CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? COS120 ? 7 在Rt △COD中,DO=AB=3

? CD ? CO ? DO ? 7 ? 3 ? 4
2 2 2
19

从一条直线出发的两个半 二 面 角 ?-AB- ? 1、二面角的平面角 二 面 角 C-AB- D 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 二 面 角? l- ? 面角。这条直线叫做二面 1- 、根据定义作出来 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂 的大小与 其顶点 做二面角的面。 直作出来 在棱上的位置无关 3、借助三垂线定理或 二、二面角的表示方法: 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角: 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角

一、二面角的定义:

二 面 角

四、二面角的平面角的作法: 五、二面角的计算:

一“作”二“证”三“计算”
22

例 在正方体AC1中,E为BC中点,(1)求面B1BCC1与面 AB1C所成的二面角的正弦值;(2)求二面角E—B1D1—C1 的正切值。 D A B F D1 A1 B1 C1 A1 D1 C1 C A D C

E
B

(1)

H (2)

G
B1

例、如图,△ABC在平面α上的射影为正△AB1 C1, 1 若BB1= ,CC1=AB1=1,求面ABC与面AB1C1所成 2 锐二面角的大小。 C
1

B
A 1
1 2 B1

C1

?

P

例3  在60 二面角? ? a ? ? 内有一点P , 已知PA ? ? , PB ? ? , A , B为垂足 , 且PA ? 3 , PB ? 5 , 求( 1 ) AB的长( 2 )P到棱a距离
5 P
3 600 A

0

B

?
a E

?

例4 已知Rt△ABC顶点A不在α内,斜边BC在α内,AB、AC 分别与平面α成300、450角,求△ABC所在平面与α所成角。 A

A1 300 450 E C

?

B

引申:若△ABC为一般△,设面ABC与底面α所成角为θ,则 S 射影 COS θ=

S原形

例: 如图,G、E、F分别是正方体AC1中CD、BC、CC1中点, 求二面角F—GE—C的余弦值。 D1 A1 B1 C1

F

D A

G

C

E
B 设棱长为2a
?GEF在平面 ABCD上的射影为 ?GEC

例 5 如图,已知A、B是120?的二面角?— l—?棱l上的两点,线段AC,BD分别在面?,? 内,且AC⊥l,BD⊥l ,AC=2,BD=1,AB=3, 求线段CD的长。 C ∠OAC =120?
2 2

? B

l D

?

A O AO=BD=1, AC=2
2 ?

CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? cos120 ? 7
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3

19

例 5 如图,已知A、B是120?的二面角?— E ? l—?棱l上的两点,线段AC,BD分别在面?,? l B 内,且AC⊥l,BD⊥l ,AC=2,BD=1,AB=3, ? D 求线段CD的长。 C 解:在平面?内,过A作AO⊥l ,使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角?—l—?的平面角,即 ∠OAC =120?, ∵BD⊥l ∴ AO∥BD,∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l , AO=BD ∵ AC⊥l , AO⊥l , ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO

A

O

∵ BD=1 ∴ AO=1,在△OAC中,AC=2, ∴ CO 2 ? AC 2 ? AO 2 ? 2 AO ? AC ? COS120?
在Rt △COD中,DO=AB=3

?7

? CD ? CO ? DO ? 7 ? 3 ? 4
2 2 2
19

小结二面角的平面角的求法:
(1)定义法

(2)三垂线定理法
(3)射影法 COSθ=

(4)垂面法

S 射影 S原形

已知直二面角 ??l??,A??,B??线段 例:

AB=2a,AB与?成45?的角,与?成30?角,过A、 B两点分别作棱l的垂线AC、BD,求面ABD与面 ABC所成角的大小。 ?

A C
F H

?
D

B

解法一:如图,由已知可得平面ABC?平面?,作DH?BC于H,则DH?
平面ABC,作DF?AB于F,连HF,则据三垂线定理的逆定理知 ?DFH为所求二面角的平面角。 3 6 DF ? a , HF ? a , DH ? a, 又知?BAD=45?, ?ABC=30 ?,可解得 3 3
3 于是在?DFH中,由余弦定理,得 cos?DFH ? 3 3 ?DFH ? arccos 所以 3 3 即面ABD与面ABC所成的二面角为 arccos 3

(2)射影法:如图所示, AD?平面M,设 ?AHD= ?是二面角A-BC-D的平面角,由 cos ? =HD/AH可得,?ABC与它在过其底边 BC的平面M上的射影?DBC以及两者所成的 二面角?之间的关系: cos ? ? S ?DBC S ?ABC 用这个关系式求可锐二面角的平面角。
(3)公式法:

A

B

M

H

D

C

如图,?CBF= ?为二面角的

平面角 ? ,在?CBF中,由余弦定理可求得CF CF 2 ? m 2 ? n2 ? 2mn cos? 再由Rt?ECF可得

?
E

m A d mB n

?

d
C

EF ? d ? m ? n ? 2mn cos?
2 2 2 2

F

l 用此公式亦可求二面角的平面角;这实为异 于(0?,90?], 面直线上两点的距离公式,但这里?不局限

??(0?,180?)。

知识点六. 平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直. β 符号:
a?? a ? 面?
a

?? ? ?

α

A

简记:线面垂直,则面面垂直
线线垂直 直 线面垂直 面面垂

例1 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆 O 所在的平面于 A , C 是圆 O 上不同于 A 、 B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC
分析: 证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC BC ? AC PA ? 平面ABC ? ? ? PA ? BC BC ? 平面ABC ? PA AC ? A

? BC ? 平面PAC

P

? 平面PAC⊥平面PBC

BC ? 平面PBC

C
A

O

B

例: 如图所示:在Rt△ABC中, ∠ABC=900 ,P为△ABC所在平面外一点, PA⊥平面ABC,你能发现哪些平面互相垂 直,为什么?
P

PA ? 平面ABC PA ? 平面PAC

?平面PAC⊥平面ABC

同理:平面PAB⊥平面ABC
A B C

? 平面PAB⊥平面PBC

BC ? 平面PAB BC ? 平面PBC

AC ? AD ? 2, ?DAC ? ?BAC ? ?BAD ? 60 . 求证:平面 BCD ?平面 ADC. A
分析:



空间四边形 ABCD ,已知

AB ? 3,

证明:设DC中点为O,连结AO,BO ∵AC=AD=2, ∠DAC=60 ∴AO⊥DC, AO ? 3 , DC=2 ? 又∠BAC= ∠BAD=60 , AB=3
?

D B

O

C

∴⊿ABD≌⊿ABC , DB=CB= 7 ∴BO⊥CD,BO= 6 , ? ∠AOB是二面角A-DC-B的平面角

∴AB2=AO2+BO2

, ∠AOB=90 ∴平面BCD⊥平面ADC

?

小结 找二面角的平面角 1.定义法: 说明该平面角是直角.
(一般通过计算完成证明.)

2.证平面与平面垂直可用定义、判定定理. 3.求二面角大小的步骤为: (1)找出或作出二面角的平面角

(2)证明其符合定义垂直于棱;
(3)计算. 作或找







知识点七:平面与平面垂直的性质定理

平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.
符号表示:

?

b

l

?b ? ? ? ? ?? ?l ? b ? l ? 简述为:

? ? ?? b ???

?

面面垂直

线面垂直

证明过程

已知? ? ? , ? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD于B.
求证 : AB ? ? .
证明:在平面 ? 内作BE⊥CD,

?
A D

垂足为B.

则∠ABE就是二面角 ?-CD-? 的平面角 ∵?

?

B C

E

??

, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)

又由题意知AB⊥CD,且BE ?CD=B

∴AB⊥ ? (直线与平面垂直的判定定理)

例 1、已知:两个平面?与? 互相垂直,判断下列命题是否正确:

(1)若b ? ? ,则b ? ?。 × (2)若?

? =l,b ? l则b ? ?。 ×

(3)若b ? ? ,则b垂直于平面?内的无数条直线。



(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面。


?

?

l

例2、如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)求证:BC⊥平面PAC。 (2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直,并证明。
P

C

A

O

B

例3:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB
证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB B

C

例4,如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意 一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC. 证明: ∵AB是⊙O的直径
∴AC⊥BC P

∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC F .O ∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A A ∴BC⊥平面PAC C ∵BC 平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC 又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC ∴AF⊥平面PBC



B





解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。

面面垂直

性质定理 判定定理

线面垂直

(09高考海南宁夏卷文科)如图,在三棱锥P—ABC中,?PAB是 等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ?
(Ⅰ)证明:AB⊥PC ( ⅠⅠ)若PC=4,且平面PAC ⊥平面PBC,求三棱锥P—ABC 的体积


更多相关文档:

3.2.3 直线的一般式方程_图文.ppt

3.2.3 直线的一般式方程 - 3.2.3 直线的一般式方程 飞机留下的烟呈直

2.3直线的参数方程)_图文.ppt

2.3直线的参数方程) - 第二讲 参数方程 直线的参数方程 直线的普通方程都有

3.2.3直线的一般式方程_图文.ppt

3.2.3直线的一般式方程 - 复习回顾 名称条件 方程 适用范围 有斜率的 直

3[1].2.2(3)直线的一般式方程_图文.ppt

3[1].2.2(3)直线的一般式方程 - 直线的一般式方程 (一)填空 名称

2-3 空间直线的方程_图文.ppt

2-3 空间直线的方程 - 许子道、殷剑兴主编 南京大学出版社

3.2.3直线的一般式方程教案.doc

3.2.3直线的一般式方程教案 - 张喜林制 3. 2.3 直线的一般式方程 【

2.2.3直线与椭圆(一)_图文.ppt

2.2.3直线与椭圆(一) - 2.2.3直 线与椭圆的位置关( 系一 ) 学习

2.3-直线的参数方程_图文.ppt

2.3-直线的参数方程 - 三 直线的参数方程 课 1.掌握直线的参数方程 标

3.2直线方程_图文.ppt

3.2直线方程 - 在直角坐标系中确定一条直线需要什么条件? ?直线上的任意两个不同点 ?直线上一点和倾斜角 ?直线上一点和斜率 我们用给定的条件,将直线上所有...

§ 3.2.3直线的一般式方程.doc

§ 3.2.3直线的一般式方程 - 郯城三中高一数学备课组 必修 1 导学案 主备人:张可梅 教研组长:高恩秋 分管领导:李夫银 §3.2.3 直线的一般式方程 导学案...

2.2.3两条直线位置关系_图文.ppt

2.2.3两条直线位置关系 - 2.2.3 两条直线的位置关系 如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0 那么,这两条直线相交、平行、重...

3.2.3直线的一般式方程_图文.ppt

3.2.3直线的一般式方程 - 复习引入 1. 点斜式方程: y-y0=k(x-

3.2.3 直线的一般式方程_图文.ppt

3.2.3 直线的一般式方程 3.2.3 │ 三维目标 三维目标【知识与技能】

3.2.3直线的一般式方程(2)_图文.ppt

3.2.3直线的一般式方程(2) - 直线的一般式方程 温故知新:直线方程的五种

3.2 3.2.3 直线的一般式方程_图文.ppt

第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程 栏目链接

3.2.3直线的一般式方程_图文.ppt

3.2.3直线的一般式方程 - 新课标高中数学人教A版必修二课件... 2. 每

经典3.2.3直线的一般方程_图文.ppt

经典3.2.3直线的一般方程 - 3.2.3《直线的一般式方程》 教学目的 ?

用3.2.3直线的一般式方程_图文.ppt

用3.2.3直线的一般式方程 - 复习回顾 名称条件 方程 适用范围 有斜率的

8.2.3直线的一般式方程_图文.ppt

8.2.3直线的一般式方程 - 复习回顾 名称条件 方程 适用范围 有斜率的 直

3.2.2直线的两点式方程_图文.ppt

3.2.2直线的两点式方程 - 3.2.2 直线的两点式方程 两点确定一条直线!那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢? 思考1 已知直线l过A(3,...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com