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广东省清远市2015届高三上期末考试数学理试题及答案



清远市 2015 届高三上学期期末考试 数学(理)试题
第一卷(选择题 40 分)
一、选择题(40 分) 1、图中阴影部分表示的集合是( )

A、 C( U A

B)

B、 C( U A

B)

C、 A (CU B)

D、 (CU A) B
2

2、已知 a,b ? R,i 是虚数单位,若 a+bi 与 2-i 互为共轭复数,则(a+bi) =( A、5-4i B、5+4i C、3-4i D、3+4i 3、已知 m ? (a, ?2), n ? (1,1? a) ,且 m // n ,则 a=( A、-1 B、2 或-1 C、2 ) D、-2 )



4、阅读如图的程序框图,若输入 m=2,n=3,则输出 a=(

A、6

B、4 B、y=-x2

C、3 )

D、2

5、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A、y=x+1

C、y=

1 x

D、y=x|x|

6、设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m,直线 a 在平面? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b⊥m,则“a⊥b” 是“ ? ⊥ ? ”的( )

A、充分不必要条件 C、充要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

?2 x ? y ? 0 ? 7、已知实数 x,y 满足约束条件 ? y ? x ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,则实数 b=( ? y ? ?x ? b ?
A、



9 4

B、

3 2

C、1

D、

3 4

? 1 ? ? 2 x.0 ? x ? 1 ? ? 2x 8、设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? f ( x ) ? a ,则当实数 a 满足 ? x2 ? 2 x ? 3 , x ? 1 ? ? 2
2?a?
A、1

5 时,函数 y=g(x)的零点个数为( 2
B、2 C、3

) D、4

第二卷(非选择题,共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的横线上) (一)必做题 (9~ 13 题) 9、图中阴影部分的面积等于______

10、在边长为 2 的正方形 ABCD 的内部任取一点 P,使得点 P 到正方形 ABCD 各顶点的距离都大于 1 的 概率是_____ 11、某几何体的三视图如下图所示:

其中正视图和侧视图都是上底为 3,下底为 9,高为 4 的等腰梯形,则该几何体的全面积为____ _
2 2 12、 已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 , 直线: L: x+y+a=0 (a>0) , 圆心到直线 L 的距离等于 2 ,

则 a 的值为____

13、如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ? AB 时,该椭圆被称为“黄金椭圆” ,其 离心率为

5 ?1 ,类比“黄金椭圆” ,可推算出“黄金双曲线的离心率 e 等于_____ 2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 14. (几何证明选讲选做题) 如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90?,且AB=6,AC=4,AD=12,则 ∠ACB=______

15. (极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中,点A(2, 离为_____

? ? )与曲线 ? ? ( ? ? R ) 上的点的最短距 3 6

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题应写出必要的文字说明,推理证明过程或演算步骤)

1 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x ( x ? R ). 2
(1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 B ? 30? , c ? 3, f (C ) ? 1 ,判断△ABC 的形状,并求三角形 ABC 的面积.

17. (本题满分 12 分)为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对高三年级的 700 名学生按性别进 行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如右: (1)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (2)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人,其中从身高在 185~190 cm 之间选取的 人数记为X,求X的分布列和期望。

18 . (本题满分 14 分)在等腰直角△BCP 中,BC=PC=4,∠BCP=90°,A 是边 BP 的中点,现沿 CA 把△ ACP 折起,使 PB=4,如图 1 所示。

(1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (2)在图 1 中,过 A 作 BC 的平行线 AE,AE=2,过 E 作 AC 的平行线与过 C 作 BA 的平行线交于 D,连接 PE、PD 得到图 2, 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小.

19. (本题满分 14 分)已知双曲线 ? 的焦点为(0,-2)和(0,2),离心率为

2 3 ,过双曲线 ? 的上 3

支上一点 P 作双曲线 ? 的切线交两条渐近线分别于点 A, B (A、 B 在 x 轴的上方). (1)求双曲线 ? 的标准方程; (2)探究 OA ? OB 是否为定值,若是求出该定值,若不是定值说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2S n ? 2 ? n ? 1,2,3 (1)求 a2 ; (3)设 bn ? (2)数列 ?a n ?的通项公式;

?.

a n ?1 1 , 求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ? . 2 S n ?1 S n

21. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x ) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①若 b 是正实数,求使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立的 b 取值范围; ②证明:不等式.

k ?1

? k 2 ? 1 ? ln n ? 2 (n ? N *)

n

k

1

清远市 2015 届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 D 6 B 7 A 8 C

第二卷(非选择题,共 110 分) 三、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的横线上) (一)必做题 (9~ 13 题) 9 .1 10.

4 ?? 4

11. 210

12. .3

13.

5+1 2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 14. (几何证明选讲选做题) 30° 15.(极坐标与参数方程选做题) 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题应写出必要的文字说明,推理证明过程或演算步骤) 16.解:(1) f ( x) ?

1 3 1 3 sin x ? cos x ? cos 2 x = sin 2 x ? cos 2 x ???1 分 2 2 2

= sin(2 x ?

?
6

) ???2 分

x ? R ??1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ???3 分 ? f ( x)的最小值是 -1 ??4 分 6 2? ?T ? ? ? ,故其最小正周期是 ? ???5 分 2 ? (2) ∵ f (C ) ? 1 ? sin( 2C ? ) ? 1 ????7 分 6 ? ? 11? 又∵0<2 C <2π ,∴ ? ? 2C - ? ??8 分 6 6 6 ? ? ? ∴ 2C - ? ,? C ? ???9 分 3 6 2 ? ? ∵B= ,∴A= ,∴△ABC 是直角三角形???10 分 6 2

?

由正弦定理得到:

c 3 b ? 3 ? 2 ,∴ b ? 1 = sin B sin C 2
∴S=

???11 分

设三角形 ABC 的面积为 S,

3 2

???12 分

17. 解: (1)由统计图知, 样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35(人) , 样本容量为 70, ??3 分

??2 分

所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f=

35 =0.5.??4 分 70
??5 分

故由 f 估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率P1 =0.5. (2)由题意可知 X =0,1,2 ??7 分

P? X ? 1? ? P? X ? 2? ?

1 1 C4 ? C2 2 C6

8 ? , ??8 分 15
??10 分

P? X ? 0? ?

2 C4 2 C6

?

6 2 ? 15 5

??9 分

2 C2 2 C6

?

1 15

? X 的分布列为
X 0 1 2

P

2 5
2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 。 5 15 15 3

8 15

1 15
??11 分

X 的期望为 E ? X ? ? 0 ?

??12 分

18 . 解: (1)在三棱锥 P-ABC 中,依题意可知: PA ? AC ????1 分
2 2 2 ∵PA=AB= 2 2 ,PB=4 ? PA ? PB ? PB ,????2 分

则 PA ? AB ????3 分 ????5 分

又AB ?AC ? A ,则 PA⊥平面 ABC ∵ PA ? 平面 PAC ∴平面 PAC⊥平面 ABC. ????6 分

(2)方法一:由(1)知 PA ? AB ,又 AB ? AC, PA ? AC ? A , ∴ AB ? 平面 PAC ????7 分 ∵AB∥CD ∴ CD ? 平面 PAC ????8 分

过A作 AH ? PC 于H,则 CD ? AH 又∵ PC ? CD ? C

????9 分 ????10 分

∴ AH ? 平面PCD

又 AB∥CD,AB ? 平面 PCD ,

∴AB//平面 PCD , ????11 分

∴点 A 到平面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 的距离. ∵在 Rt△PAC 中,PA =2 2 ,AC = 2 2 ,PC = 4 ∴PC 边上的高 AH=2 ,此即为点 A 到平面 PCD 的距离 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为? ,则 sin ? ? 又 ? ? 0, ?

????12 分

h 2 1 ? ? ,????13 分 PB 4 2

? ? ? ?? ,所以 ? ? , 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 ; ????14 分 ? 6 6 ? 2?

方法二:由(1)知 AB,AC,AP 两两相互垂直,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系,则 A(0,0,0),B(2 2 ,0,0),C(0,2 2 ,0),P(0,0,2 2 )??9 分 (解法一)∵AB∥CD, AB ? AC 又 AC∥ED ∴ CD ? AC ,

∴四边形 ACDE 是直角梯形

∵AE = 2 ,AE∥BC,∴∠BAE = 135°,因此∠CAE = 45°.????10 分

CD ? AE ? sin 45? ? 2 ?

2 ? 2, 所以 D(- 2 ,2 2 ,0). 2
????11 分

∴ CP ? (0, ?2 2, 2 2) , CD ? (? 2,0,0) 设 m ? ( x, y, z) 是平面 PCD 的一个法向量,则 m ? CP ? 0, m ? CD ? 0 ∴?

? ?? 2 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ?? 2 x ? 0

解得 x ? 0, y ? z, 取 y ? 1, 得 m ? (0,1,1)

????12 分

又 BP ? (?2 2,0, 2 2), 设 ? 表示向量 BP 与平面 PCD 的法向量 m 所成的角, 则 cos ? ? ∴? ?

m ? BP m BP

?

1 2

????13 分

?

? , 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 . 6 3

????14 分 ????10 分

(解法二)∵AB∥CD,∴ CD ? ? AB, AB ? (2 2,0,0) ∴ CP ? (0, ?2 2, 2 2) ,????11 分

设 m ? ( x, y, z) 是平面 PCD 的一个法向量,则 m ? CP ? 0, m ? CD ? 0 即 m ? AB ? 0 ∴?

? ?? 2 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ?2 2 x ? 0
m ? BP m BP ? 1 2

解得 x ? 0, y ? z, 取 y ? 1, 得 m ? (0,1,1) ????12 分

则 cos ? ? ∴? ?

????13 分

?

? , 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 . 6 3

????14 分

19. 解: (1)依题意可设双曲线的标准方程为

y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )???1 分 a2 b2
???4 分

∵c=2,???2 分

c 2 3 ???3 分 ∴ a ? 3, b ? 1 ? a 3

y2 ? x2 ? 1 . ∴双曲线的标准方程为 3
(2) OA ? OB 是定值 2,理由如下:???6 分

???5 分

设直线 AB: y ? kx ? b, b ? 0 (没有 b>0,不得分这 1 分)???7 分

由?

? y ? kx ? b ? y ? 3x ? 3
2 2

得 k 2 ? 3 x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 3 ? 0

?

?

k 2 ? 3 ? 0, ? ? (2kb) 2 ? 4(k 2 ? 3)(b 2 ? 3) ? 0 ???8 分
解得 k ? b ? 3 ???9 分 设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),则y1 ? 0,y2 ? 0 双曲线渐近线方程: y ? 3x ? 0 与 y ? kx ? b 联立,???10 分 得 (k ? 3) x ? 2kbx ? b ? 0 , k ? 3 ? 0, ? ? (2kb) ? 4(k ? 3)b ? 0 ?11 分
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2

x1 x2 ?

b2 k2 ?3

? -1 ,???12 分

y1 y2 ? 3 | x1 ? x2 | =3 ???13 分

∴ OA ? OB = x1 x2 ? y1 y 2 =2

???14 分

(没有 y1、y2 ? 0 导致情况多种的扣 2 分) 20. 证明: (1)∵ an?1 ? 2S n ? 2 (2)∵ an?1 ? 2S n ? 2 ……① (没有 n≥2 扣 1 分) ……… ………5 分 ∴ a2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 6 ……………2 分

∴当 n ? 2 时, an ? 2S n?1 ? 2 ……② ∴①-②得, an?1 ? 3an (n ? 2) ∵ a1 ? 2 , a 2 ? 6

∴ an?1 ? 3an (n ? N * ) ………7 分(没有验证 n=1 成立扣 1 分) ………8 分

{an } 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an ? 2 ? 3n?1
(3)∵ an?1 ? 2S n ? 2 ∴ Sn ?

a n ?1 ? 1 ? 3 n ? 1 ………10 分 2

(或者由公式计算得,公式对的 1 分,化简对得 1 分)

bn ?

an?1 2 ? 3n (3n?1 ? 1) ? (3n ? 1) 1 1 ………12 分 ? n?1 ? ? n ? n?1 n n ?1 n S n?1 S n (3 ? 1)(3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ?1 3 ?1
(说明:也可以 bn ?

an?1 S ? Sn 1 1 ? n?1 ? ? ) S n?1 S n S n?1 S n S n S n?1

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? (

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n ?1 ) 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
1

?

1 1 1 ? n ?1 ? ………………14 分 2 3 ?1 2
1

21. 解: (1)由已知得: f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

a , 1? x

???1 分

又∵函数 f ( x ) 在 x ? 0 处有极值 ∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0?
1
2

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0

??2 分

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

f ?( x) ?

?1 ? x ?

?

1 ?x ???3 分 ? 1 ? x ?1 ? x ?2

∴, 当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;???4 分(或者列表)

∴函数 f ( x ) 的最大值为 f (0) ? 0 ???5 分

1 ? b ???6 分 1? x 1 (i)若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ? ?b ? 0 1? x
(2)①由已知得: g ?( x ) ? ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ? ???7 分

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;?8 分 (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x ) ?

1 1 ? 1 ? ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 当 x ? ? 0, ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ 1? x b ? b ?

? 1 ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ? 1 ? 上为增函数, ? b ?
此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;9 分

综上所述, b 的取值范围是 ? 1,??? .

???10 分 ???11 分 ???12 分

x ? ln(1 ? x ) ? x ( x ? 0) , 1? x 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 取 x ? 得: 1? n n n n
②由以上得: 令 xn ?

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

???13 分

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ?0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 ? n ?1 ? n ?1 n ? n ? 1? n
1 . 2


因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ?

k ?1

? k 2 ? 1 ? ln n ? 2 (n ? N *)

n

k

1

???14 分

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