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2016届湖北省部分重点中学(武汉六中等)高三上学期第一次联考数学理试题

湖北省部分重点中学 2016 届高三第一次联考数学(理科)试卷参考 答案:

一、选择题:1~5 DCCDB 6~10 CCAAC 11~12 AB 二、填空题: 13. -121 , 14.

? 4? n ? 0, ? ? ?2,??? , 15. bn ? 2 ? 1 , 16. ④ 3 ? ?

三、解答题: 17.(I) 由正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ,即 a ? b ? c ? bc --------3 分
2 2 2

因为 a ? 2 且 b ? 2 所以 c =2 (II) 由(I)知 cos A ?

---------------------5 分 ------------------7 分

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,则 A ? 60? 2bc 2

2 2 因为 a ? 2 ,? b ? c ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? bc ,

------------------10 分

1 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? sin 60 ? ? 3 ,此时三角形是正三角形 ---12 分 2 2
18.(I)以 DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系 ,则

A(1,0,0), B(1,2,0), E(1,1,0),C(0,2,0), D1 (0,0,2)

------------------1 分

? 点 M 是 D1C 的中点,? M (0,1,1) , DE ? (1,1,0), DD1 ? (0,0,2)
设平面 D1DE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ?

?x ? y ? 0 ? n ? (1,?1,0) ? 2z ? 0

----4 分

? BM ? (?1,?1,1) ? BM ? n ? 0 ,则直线 BM //平面 D1DE
(II) 由题有 M (0, , ) ,? EM ? (?1, , ) ,

----------7 分

3 1 2 2

1 1 2 2

[来源:学,科,网]

1 3 2 , ----------10 分 cos EM , n ? ? ?? 2 1 1 EM ? n 2 ? 1? ? 4 4 EM ? n ?1 ?

? 直线 EM 与平面 D1DE 所成的角为 60?

----------12 分

19.(I) k ? 3 表示三次掷得的点数可以为 1,1,4;1,2,3;2,2,2 这三类 ------2 分

?P ?
-

1 3 C3 ? A3 ?1 5 ? 3 6 108

---------------5 分

1 ; ---6 分 6 70 35 P(? ? 0) ? ? 108 54
(II) P(? ? 6) ? 表 格 到 位 10

P (? ? 4) ?

5 5 ; ----8 分 P (? ? 2) ? ; 36 108

分 , 则

E (? ) ?

1 5 5 6? ? 4? ? 2? ?0? 6 36 108

89 54

-------1 2分 20.(I) 解 : 以, a ?

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? 2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3?

2

2

2

2



2 . ---2 分

又由已知, c ? 1 ,所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 2 ? ? a 2 2
----5 分

--------4 分

? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

设点 Q 的坐标为(x,y).

(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时 , 直线 l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? ,? 0,? 1 ? 两点,此时 Q 点坐标为

1 (0, ) ---6 分 2
(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 将 y ? kx ? 2 代入
2

x2 ? y 2 ? 1 中,得 ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 2



2 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? 2k ? 1 ? 6 ? 0, 得 k ?
2

?

?

3 . 2

---------7 分





M,N









别 ②



( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )

,









x1 ? x2 ? ?

8k 6 , x1 x2 ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1

由平行线分线段成比例定理及 M,N , Q 三点一定在 y 轴的同侧,则有

2 1 1 x1 ? x2 ,9 分 ? ? ? x x1 x2 x1 x2
将 ②带入上式,则有 x ? ?

3 2k



? 点 Q(x,y)在直线 l y ? kx ? 2 上,则有

y?

1 2
2

由③及 k ?

? 3 3 6 ? ? 6? 2 ,0 ? 0, ,可知 0 ? x ? ,即 x ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 2 2 ? ? ? ?
? 1 6 6? , ,故 x ? ? ? ? ? ?. 2 ? 2 2 ? ? 1 6 6? ,其中, x ? ? ? ? 2 , 2 ? ?. 2 ? ?

--------11 分

又 (0, ) 满足 y ?

1 2

所以点 Q 的轨迹方程是 y ? 21.(I)? f ( e ? 1) ?

----------12 分

2 , e ?1

2 可化为 f ( x 2 ? 1) ? f(e ? 1). -----2 分 e?2 1 x 1 1 ? f ' ( x) ? 2 [ ? 1 ? ln( x ? 1)] ? ? 2 [ ? ln( x ? 1)], x x ?1 x x ?1 1 ?当x ? 0时, x 2 ? 0, ? 0, ln( x ? 1) ? 0, f ' ( x) ? 0. x ?1 ? 不等式 f ( x 2 ? 1) ?

?函数f ( x)在区间 (0,??)上是减函数 .

--------4 分

? x 2 ? 1 ? 0, e ?1 ? 0, f ( x 2 ? 1) ? f (e ?1),

? x2 ?1 ? e ?1, 解得 ? e ? 2 ? x ? e ? 2.
? 不等式 f ( x 2 ? 1) ?
分 (II) 当x ? 0时, f ( x) ?

2 的解集为 {x x ? R,? e ? 2 ? x ? e ? 2}. -----6 e?2

k 恒成立,令 x ? 1, 得k ? 2(1 ? ln 2). x ?1
----------8 分

? k ? 3. 又? k为正整数,

下面证明当 k ? 3, x ? 0时, f ( x) ?

k 恒成立 . x ?1
------9 分

即证当x ? 0时, ( x ? 1) ln(x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 0恒成立.

令g ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? 1 ? 2 x, 则g ' ( x) ? ln(x ? 1) ?1. 当x ? e ?1时,g ' ( x) ? 0, 当0 ? x ? e ?1时,g ' ( x) ? 0.

?当x ? e ?1时,g ( x)取得最小值 g (e ?1) ? 3 ? e ? 0. ------11 分 ?当x ? 0时, ( x ? 1) ln(x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 0恒成立.

? 正整数 k 的最大值为 3.

--------12 分

22.(Ⅰ)? PA2 ? PB ? PC ? PB ? ( PB ? BC)

?62 ? PB ? ( PB ? 9) ,则 PB ? 3 ;-------5 分

[]

(Ⅱ)? ?PAB ∽ ?PCA ,?

AB PB 3 ? ? ,则 AB ? 4 .-------10 分 CA PA 6

[来源:学&科&网]

23.(Ⅰ)由 ? cos? ? 2 sin 2? 得 ? cos? ? 4 sin ? ? cos? ,

? cos ? ? 0 或 ? ? 4 sin ? 即 ? cos? ? 0 或 ? 2 ? 4? sin ?
所以曲线 C 的直角坐标方程是: x ? 0 或 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ;-------5 分

(Ⅱ)曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 ,
又与与曲线 C 都相切,则有 ?

r ?3 ? ,所以 r ? 3 .-----10 分 2 2 2 ?3 ? (2 ? 2) ? (r ? 2)

24.(Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式为 x ?1 ? x ? 2 ? 3 ,由绝对值的几何意义得 x x ? 3或x ? 0 ; (也可分段处理)

?

?

(Ⅱ)? ax ?1 ? ax ? 2a ? ax ?1? (ax ? 2a) ? 2a ?1 ,又不等式的解集为 R , 则 2a ?1 ? 3 恒成立,? a ? 0 ,则 a ? 2 .


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