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【包头一中三模】内蒙古包头一中2013届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题

包头一中 2013 年高三年级第三次模拟考试 数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,把唯一正确的答案 的涂在答题卡上) 1. 已知集合 A={x|x2+3x+2≤0},B={y|y=2x-1,x∈R},则 A∩CRB=( A. ? 2. B.{-1} C.[-2,-1] D.[-2,-1) ) )

对于非零向量 a , b ,“ a ? 2b ? 0 ”是“ a // b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )
开始

3.若复数 A.3

1 ? bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i

B. 1

1 C. 3

1 D. ? 2

S=0

4.下列大小关系正确的是 ( A. 0.43 ? 30.4 ? log 4 3 C. 0.43 ? log 4 3 ? 30.4

) B. log 4 3 ? 0.43 ? 30.4 D. log 4 3 ? 30.4 ? 0.43
S=T-S T=0

5.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W=( A.18 C.14 B. 16 D.12


S≥6

T=T+2




W=S+T

? 6.将函数 f ?x? ? 2 sin?2 x ? ? ? ? 3 的图象 F 向右平移 , 6
再向上平移 3 个单位,得到图象 F′ F′ ,若 的一条对称轴方程 是x ? A. ?

输出 W

?
4

,则 ? 的一个可能取值是( B. ?



结束

? 6 3 3 ?2 x ? y ? 0 1 7.已知正数 x,y 满足 ? ,则 z ? 4 ? x ? ( ) y 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
C. D. A.1 B.
13 2 4

?

?

? 2

)

C.

1 16

D.

1 32

8. 在 三 棱 锥 D ? ABC 中 , 已 知 AC ? BC ? CD ? 2 , CD ? 平 面 ABC ,
?ACB ? 90? . 若其直观图、正视图、俯视图如

图所示,则其侧视图的面积为 ( A. C.



6 3

B. 2 D.
2

9.若直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 3 ,则 l 与曲线 个数为( A.1 个 ) B.2 个

x2 ? y 2 ? 1 的公共点 3

C.1 个或 2 个

D.1 个或 0 个

10.已知 f ? x ? ? ( )

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是 4 ?2 ?

11.已知 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点, a2 b2

过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 两点, B 若Δ ABE 是锐角三角形, 则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A.(1,+∞) B.(1,2) ) D.(2,1+ 2 )

C.(1,1+ 2 )

12.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架 内,使皮球的表面与 8 根铁丝都相切,则皮球的半径为 ( )

A.l0 3 cm

B.10 cm

C.10 2 cm

D.30cm

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分,将正确答案写在题中 横线上) 13.已知函数 f (x ) ? a ? log2 x 的图象经过点 A(1,1) ,则不等式 f ( x) ? 1 的解集为 _______

14.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB= ?

1 ,则 b= 4



15. 在矩形 ABCD 中,边 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,CD 上的点, 且满足
BM BC ? CN CD

则 AM ? AN 的取值范围是

.

16.已知数列{ an )满足 a1 ?

aa 1 , an?1 ? an ? n n?1 (n ? 2) ,则该数列的通项公式 2 n(n ? 1)

an =
三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出必要的文字说明和解题 步骤) 17. (本小题满分 12 分) 某单位有 A 、 B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得 发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面上. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

E

18. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点 O , EC ⊥底面 ABCD , F 为 BE 的中点. (1)求证: DE ∥ 平面 ACF ; (2)若 AB =
D C O

F B A

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G , EG 使 CG ⊥平面 BDE ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. EO

19. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示: A1 A2 A3 A4 A5 学生 数学(x 分) 89 91 93 95 97 物理(y 分) 87 89 89 92 93 (Ⅰ)要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的 物理成绩高于 90 分的概率; (Ⅱ)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回 ? 归方程 y = bx+a.
y(物理成绩)

94 92 90 88

O

89

91

93

95

97

x (数学成绩)

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知点 A(0,1) ,点 P 在圆 C: x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 上,点 M 在 AP 上,点 N 在 CP 上,且满足 AM=MP,NM⊥AP,设点 N 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)过原点且斜率为 k (k >0)的直线交曲线 E 于 G、F 两点,其中 G 在第一象限, 它在 y 轴上的射影为点 Q,直线 FQ 交曲线 E 于另一点 H,证明:GH⊥GF.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
a ?1 (a ? R) , g ( x) ? ln x 。 x

(1)若对任意的实数 a,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象在 x = x0 处的切线斜率总想 等,求 x0 的值; (2)若 a > 0,对任意 x > 0 不等式 f ( x) ? g ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范 围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分.做答时请写清题号. 22. (本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲

如图, ?ABC内接于⊙ , AB 是⊙ 的直径, PA是过点 A 的直线,且 O O
?PAC ? ?ABC.

(1)求证: PA是⊙ 的切线; O (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 ,
CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 ,求直径 AB 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,圆心为 C.在以坐标原点 为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1: ? ? ?4 3sin ? 与 圆 C 相交于 A, B 两点. (1)求直线 AB 的极坐标方程; ? 3 ?x ? 2 ? t ? 2 ( t 是参数)交直线 AB 于点 D,交 y 轴 (2)若过点 C(2,0)的曲线 C2: ? ?y ? 1t ? ? 2 于点 E,求|CD|:|CE|的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ?1 . (1)解不等式: 1 ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (2)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ? f (a ) .

包头一中 2013 年高三年级第三次模拟考试 数学试卷(文科)参考答案
一、 选择题 1-5 CAACB 二填空题 13.(0,1) 三、解答题
17. 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m , 由余弦定理得 cos ?BAC ?

6-10 BCDCA 14.4 15.[1,4]

11-12 BB 16.
n 3n ? 1

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 802 ? 502 ? 702 1 ? ? 2 ? AB ? AC 2 ? 80 ? 50 2
? 3

因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ?

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心 设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得 因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

BC ? 2R , sin A

A

3 ? ,所以 sin A ? . 2 3
B D

O C

70 140 3 70 3 所以 2 R ? ,即 R ? ? 3 3 3 2
过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 在△ OBD 中, OB ? R ?

70 3 BC 70 , BD ? ? ? 35 , 3 2 2
2

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ? 3 ? ? 35 ? ? ?
2 2

?

35 3 35 3 . 所以点 O 到直线 BC 的距离为 m 3 3

18.解:(1)连 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE . …………………2 分 又 OF ? 平面 ACF , DE ? 平面 ACF ,

所以 DE ∥平面 ACF . …………4 分 (2) (方法一) 若 CG ? 平面 BDE ,则必有使 CG ? OE ,于是作 CG ? OE 于 G . 由 EC ? 底面 ABCD ,所以 BD ? EC ,又底面 ABCD 是正方形, 所以 BD ? AC ,又 EC ? AC ? C ,所以 BD ? 平面 ACE . 而 CG ? 平面 BDE ,所以 CG ? BD . 又 OE ? BD ? O ,所以 CG ? 平面 BDE . 又 AB ? ……………………………………10 分 ………………8 分

2CE ,所以 CO ?

2 AB ? CE , 2

EG 1 = . ………………………………………… 12 分 EO 2 19.解: (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为: ( A4 , A5 ) 、 ( A4 , A ) 、 ( A4 , A2 ) 、 1
所以 G 为 EO 中点,所以

( A4 , A3 ) 、 A5 , A1 ) 、 A5 , A2 ) 、 A5 , A3 ) 、 A1, A2 ) 、 A1, A3 ) 、 A2 , A3 ) 共种情10 况.………3 ( ( ( ( ( (
分 其中至少有一人物理成绩高于 90 分的情况有: A4 , A5 ) 、 A4 , A ) 、 A4 , A2 ) 、 A4 , A3 ) 、 ( ( ( ( 1

( A5 , A1 ) 、 ( A5 , A2 ) 、 ( A5 , A3 ) 共 7 种情况, 故上述抽取的 5 人中选 2 人, 选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 90 分的概率 7 P? . ………………………5 分 10
(2)散点图如右所示.
y/物理成绩

……………………6 分

94 92 90

· · ·

·

88

·
O

89

91

93

95

97

x/数学成绩

可求得:

x=
5

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 93 y = = 90 , ………………8 分 5 5
i i

? ( x ? x)( y ? y) ? 30
i ?1

?( x ? x )
i ?1 i

5

2

= (?4) ? (?2) ? 0 ? 2 ? 4 =40,
2 2 2 2 2

b?

30 =0.75, 40

……………………………………………11 分 a ? y ? bx =20.25 , 故 y 关于 x 的线性回归方程是: ? y ? 0.75 x ? 20.25 .

(20)解: (Ⅰ)NM 为 AP 的垂直平分线,∴|NA|=|NP|, 又∵|CN|+|NP|= 2 2 ,∴|CN|+|NA|= 2 2 >2. 1) ∴动点 N 的轨迹是以点 C (0 ,? 1) , A(0 , 为焦点的椭圆,………………………3 分 且长轴长 2a ? 2 2 ,焦距 2c ? 2 ,∴ a ? ∴曲线 E 的方程为 x2 ?

2 , c ? 1, b 2 ? 1,

y2 ? 1 .…………………………………………………………5 分 2 (Ⅱ)设 G(x1,kx1),H(x2,y2),则 F(-x1,-kx1),Q(0,kx1), 直线 FQ 的方程为 y=2kx+kx1, 将其代入椭圆 E 的方程并整理可得 (2+4k2)x2+4k2x1x+k2x12-2=0. 依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得
-x1+x2= ?

2 x1 4k 2 x1 ,即 x2 ? . 2 2 ? 4k 2 2 ? 4k
4kx1 .…………………………………………………………9 分 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 FQ 上, 所以 y2-kx1=2kx2=

于是 GF =(-2x1,-2kx1),

??? ?

???? 4kx1 4k 2 x1 , ). GH =(x2-x1,y2-kx1)=( ? 2 2 ? 4k 2 2 ? 4k
而 GH ? GF 等价于 GF ? GH ? 21. (本小题满分 12 分) 1? a 1 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? a ? 2 , g ' ( x) ? x x 由题设知 x 0 ? 0 ,且 f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ,即 a ?
1? a x0
2

??? ???? ?

4(2 ? 2)k 2 x12 ? 0 .…………………………………12 分 2 ? 4k 2

?

1 , x0

……2 分

? ax 0 2 ? x 0 ? 1 ? a ? 0,? a ( x 0 2 ? 1) ? (1 ? x 0 ) ? 0

? 2 ? x ? 1 ? 0, 因为上式对任意实数 a 恒成立,? ? 0 ? 1 ? x 0 ? 0. ?

……4 分

故,所求 x 0 ? 1

……5 分

a ?1 ? ln x ? 1 , (Ⅱ) f ( x ) ? g ( x ) ? 1 即 ax ? x

方法一:在 x ? (0, ??) 时 ax ?

a ?1 ? ln x ? 1 恒成立,则在 x ? 1 处必成立,即 a ? a ?1 ? 0 ? 1 , x

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的必要条件. 另一方面,当 a ? 1 时,记 h( x) ? ax ?
h' ( x ) ? a ? 1? a ?

……7 分

a ?1 ? ln x, 则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 x

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ( ax ? a ? 1)( x ? 1) ? ? x x2 x2 x2 ? a ? 1, x ? 0,? ax ? a ? 1 ? 0

……9 分

? x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 , h(x ) 单调递减; x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 , h(x ) 单调递增
? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1

? a ? 1 , ?2a ?1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的充分条件. 综上,实数 a 的取值范围是 ?1,?? ? 方法二:记 h( x) ? ax ?
1? a x2

……11 分

……12 分

a ?1 ? ln x, 则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 x
1 a ( x ? 1 ? )( x ? 1) a ( x ? 0, a ? 0) x2

h' ( x ) ? a ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ? ? ? x x2

……7 分

① 若0 ? a ?

1 1 ,? 1 ? ? 1 , x ? (0,1) 时,h' ( x ) ? 0 ,h(x ) 单调递增,h( x ) ? h(1) ? 2a ? 1 ? 0 , 2 a 这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾; ……8 分
1 ? a ? 1 , 0 ? ?1 ? 1 ? 1 , (1,??) 上 h' ( x ) ? 0, h( x ) 递增,而 h(1) ? 2a ? 1 ? 1 , 2 a 这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾;……9 分
1 ? 0 , x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 ,h(x ) 单调递减;x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 ,h(x ) ? a

② 若

③若 a ? 1 ,? 1 ? 单调递增

综上,实数 a 的取值范围是 ?1,?? ?

? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

……11 分

……12 分

22.(1)证明: AB 为直径,? ?ACB ?

?
2

, ??CAB ? ?ABC ?

?
2



? ?PAC ? ?ABC ,??PAC ? ?CAB ?

?
2

, ……………………………4 分

? PA ? AB, AB 为直径,? PA为圆的切线.
(2) CE ? 6k , ED ? 5k , AE ? 2m, EB ? 3m ,

? AE ? EB ? CE ? ED,?m ? 5k ,
BD 3m ? ,? BD ? 4 5 . ……………………6 分 8 6k BC CE ? 连 AD,由 ?CEB ∽ ?AED ,? .在 Rt?ABC , Rt?ADB 中, AD AE
连 DB,由 ?AEC ∽ ?DEB ,?

BC 2 ? 25m2 ? 64 , AD2 ? 25m 2 ? 80 ,于是有
m ? 2 ,? AB ? AE ? EB ? 5m ? 10 .

25m 2 ? 64 3k 2 9 =( ) ? , 5 25m 2 ? 80 m
……………………………10 分

23. 解: (1)在以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,

?? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? 极坐标与直角坐标有关系: ? , ………………………1 分 y 或? ? y ? ? sin ? ? tan ? ? x ?
所以圆 C1 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 3 y ? 0 , …………………………………2 分 联立曲线 C: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,得

? ? x1 ? 0 ? x2 ? 3 或? , ? ? y1 ? 0 ? y2 ? ? 3 ?
即不妨令 A(0,0), B(3, ? 3) ,从而直线 AB 的直角坐标方程为: y ? ?
2

3 x, 3

(此处如下解法也可:联立曲线 C1 与 C ,消去 x 与 y 项,得 3 y ? x ? 0 ),
2

所以 ? sin ? ? ? 即 tan ? ? ?

3 ? cos ? , 3
…………………………………………………………………4 分

3 , 3

所以直线 AB 的极坐标方程为 ? ? ?

? , ( ? ? R) . 6

………………………………5 分

(2) (方法一)由(1)可知直线 AB 的直角坐标方程为 y ? ?

3 x, 3

…………………6 分

? 3 t1 ? x1 ? 2 ? ? 2 , 依题令交点 D ( x1 , y1 ) 则有 ? ?y ? 1t ? 1 2 1 ?

1 3 3 2 3 t1 ? ? (2 ? t1 ) ,解得 t1 ? ? , 2 3 2 3 2 3 由直线参数方程的定义知|CD|=| t1 | ? , …………………………………8 分 3 ? 3 t2 ? x2 ? 2 ? ? 2 , 同理令交点 E ( x2 , y2 ) ,则有 ? ?y ? 1t ? 2 2 2 ?
又 D 在直线 AB 上,所以, 又 E 在直线 x ? 0 上,所以 2 ? 所以|CE|=| t 2 | ? 所以|CD|:|CE|=

3 4 3 t2 ? 0 ,解得 t2 ? ? , 2 3

4 3 , 3

…………………………………………………………9 分 …………………………………………………………10 分

1 . 2

? 3 ?x ? 2 ? t ? 2 ( t 是参数)化为普通方程: y ? 3 ( x ? 2) , ………6 分 (方法二)将曲线 C2: ? 3 ?y ? 1t ? ? 2

? x ?1 3 3 ? x ,解得: ? 将其联立 AB 的直线方程: y ? ? 3 ,从而 D (1, ? 3 ) , 3 ?y ? ? 3 ? ? x?0 2 3 ? 再将曲线 C2 与直线 x ? 0 联立,解得 ? 2 3 ,从而 E (0, ? 3 ) , ?y ? ? 3 ?
这样|CD|= (2 ? 1) ? (0 ?
2

3 2 2 3 , ) = 3 3

………………………………………8 分

|CE|= (2 ? 0) ? (0 ?
2

2 3 2 4 3 , ) = 3 3

…………………………………………9 分

从而|CD|:|CE|=

1 . 2

……………………………………………………10 分

24.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? 2 ? x ? 1 . 因此只须解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 . 当 x ? 1 时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即 ……………………………………………2分

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 .

当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? 综上,原不等式的解集为 ? x |

5 . 2

? ?

1 5? ? x ? ? . …………………………………………5分 2 2?

(2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1 . 当 a>0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? ax ? a

? ax ?1 ? a ? ax ? ax ?1 ? a ? ax ? a ? 1 ? f (a) .

………………10 分


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