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圆锥曲线弦长公式


圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线 代入曲线方程,

化为关于 x 的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式 求出弦长, 这种整体代换, 设而不求的思想方法对于 求直线与曲线相交弦长是十分有效的, 然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用 这种方法相比较而言有点繁琐, 利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦 点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为 ,半焦距为 线 的倾斜角为 ,焦点 。解:连结 ,设过 的直 ,设

交椭圆于 A、B 两点,求弦长 ,由椭圆定义得

,由余弦定理得

,整理可得

,同理可求得

,则弦长

同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 为短半轴,c 为半焦距) 结论:椭圆过焦点弦长公式: 二

(a 为长半轴,b

. 双曲线的焦点弦长

设双曲线 过 的直线 的倾斜角为

,其中两焦点坐标为 ,交双曲线于 A、B 两点,求弦长|AB|。





解:(1)当 点 A、B 在同一交点上,连 得

时,(如图 2)直线 与双曲线的两个交 ,设 ,由余弦定理可得 ,由双曲线定义可

整理可得

,同理

,则可求得弦长

(2)当 A、B 在两支上,连

或 ,设

时,如图 3,直线 l 与双曲线交点 ,则 , ,

,由余弦定理可得

整理可得

,则

因此焦点在 x 轴的焦点弦长为

同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式

三 其中 a 为实半轴,b 为虚半轴,c 为半焦距, 为 AB 的倾斜角。. 抛物线的焦点 弦长

若抛物线 倾斜角为

与过焦点 ,求弦长|AB|?(图 4)

的直线 相交于 A、B 两点,若 的

解: A、 两点分别向 x 轴作垂线 过 B

为垂足, 设





则点 A 的横坐标为

,点 B 横坐标为

,由抛物线定义可得





同理

的焦点弦长为

的焦点弦长为

,所以抛物线的焦点弦长为

由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,非常简单明确,应予以掌 握。 一


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