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高考数学直线与圆、圆与圆的位置关系

§ 9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲解读 要求 掌握 考点 1.直线与圆的 位置关系 2.圆与圆的位 置关系 内容解读 ①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆 的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两 圆的位置关系; ②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; ③初步了解用代数方法处理几何问题的思想 高考示例 2017 课标全国Ⅱ,9; 2016 课标全国Ⅱ,4; 2016 课标全国Ⅲ,16; 2014 课标Ⅱ,16 2015 湖北,14; 2013 重庆,7 常考题型 选择题 填空题 填空题 解答题 预测热度 ★★☆ 掌握 ★★☆ 分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公 共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分 值约为 5 分,属中档题. 五年高考 考点一 直线与圆的位置关系 1.(2017 课标全国Ⅱ,9,5 分)若双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为( 2 2 ) A.2 B. 3 C. 2 D. 2 3 3 答案 A 2.(2016 课标全国Ⅱ,4,5 分)圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( 4 3 3 4 ) A.- B.- C. 3 D.2 答案 A 3.(2016 课标全国Ⅲ,16,5 分)已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点. 若|AB|=2 3,则|CD|= . . 答案 4 4.(2014 课标Ⅱ,16,5 分)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45° ,则 x0 的取值范围是 答案 [-1,1] 教师用书专用(5—11) 5.(2015 重庆,8,5 分)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则 |AB|=( A.2 ) B.4 2 C.6 D.2 10 答案 C 6.(2015 四川,10,5 分)设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点.若这样的 直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案 D 7.(2015 广东,5,5 分)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 答案 A 8.(2015 山东,9,5 分)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( A.- 或- B.- 或- C.- 或- D.- 或5 3 3 5 3 2 2 3 5 4 4 5 4 3 3 4 ) ) B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 ) 答案 D 9.(2015 江苏,10,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准 方程为 . 答案 (x-1)2+y2=2 10.(2014 湖北,12,5 分)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则 a2+b2= . 答案 2 11.(2014 重庆,13,5 分)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a= . 答案 4± 15 考点二 圆与圆的位置关系 1.(2013 重庆,7,5 分)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的 最小值为( ) A.5 2-4 B. 17-1 C.6-2 2 D. 17 答案 A 2.(2013 江苏,17,14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解析 (1)由题意知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意得, |3+1| 2 +1 =1,解得 k=0 或- , 3 4 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以 2 + (y-3)2 =2 2 + 2 ,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为 半径的圆上. 因为点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤ 2 + (2a-3)2 ≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R;由

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