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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测):_专题4.4_三角函数的图象与性质(讲)有答案

第 04 节
考 点 考纲内容

三角函数的图象与性质
5 年统计 分析预测 1.“五点法”作图; 2,.三角函数的性质. 2013 浙江文 3; 3.备考重点: (1) 掌握正弦、余弦、正 切函数的图象; (2) 掌 握 三 角 函 数 的周 期性、单调性、对称性以 及最值.

【考纲解读】

三角函数的 图象和性质

理解正弦函数、余弦函数、正切 函数的图象与性质,了解三角函 数的周期性.

2015 浙江文 11,理 11; 2016 浙江文 3,理 5; 2017 浙江 18.

【知识清单】 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (1)正弦函数 y ? sin x ,余弦函数 y ? cos x ,正切函数 y ? tan x 的图象与性质 性质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
?
2

? k ? Z ? 时,
当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, ymax ? 1 ;当

最值

ymax ? 1 ;当
x ? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? 时,

x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1.

既无最大值,也无最小值

ymin ? ?1.
周期性 奇偶性

2?

2?

?
tan ? ? x ? ? ? tan x 奇函数
在 ? k? ? 增函数.

sin ? ?x ? ? ? sin x ,奇函数


cos ? ? x ? ? cos x 偶函数
在 ? 2k? ? ? ,2k? ? ? k ? Z ? 上是增函 数;在 ? ? 2k? ,2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上 是减函数.

单调性

? ?? ? 2 k? ? , 2 k ? ? ? ? k ? Z ? ? 2 2? ?
上是增函数;在
-1-

? ?

?
2

, k? ?

??

? ? k ? Z ? 上是 2?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? ? 2 2? ?
上是减函数. 对称中心 ? k? ,0?? k ? Z ? 对称性 对称轴 x ? k? ? 对称中心 ? k? ?

?
2

? k ? Z ? ,既

? ?

?

? , 0??k ? Z ? 2 ?

对称中心 ?

? k? ? , 0??k ? Z ? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ? Z ? ,既是中心对 称又是轴对称图形。

无对称轴,是中心对称但不是轴对 称图形。

是中心对称又是轴对称图形。

(2) (五点法) ,先列表,令 ? x ? ? ? 0,

?
2

,? ,

3? , 2? ,求出对应的五个 x 的值和五个 y 值,再根据求出的 2

对应的五个点的坐标描出五个点,再把五个点利用平滑的曲线连接起来,即得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? h 在一 个周期的图像,最后把这个周期的图像以周期为单位,向左右两边平移,则得到函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? h 的图像. 对点练习: 【2017 课标 3,理 6】设函数 f(x)=cos(x+ A.f(x)的一个周期为? 2π C.f(x+π )的一个零点为 x= 【答案】D 【解析】

? ),则下列结论错误的是 3
8? 对称 3

B.y=f(x)的图像关于直线 x=

? 6

D.f(x)在(

? ,π )单调递减 2

2.三角函数的定义域与值域

-2-

(1)定义域: y ? sin x , y ? cos x 的定义域为 R , y ? tan x 的定义域为 ? x x ? k? ? (2)值域: y ? sin x , y ? cos x 的值域为 ??1,1? , y ? tan x 的值域为 R . (3)最值: y ? sin x :当 x ? 2k? ?

? ?

?

? ,k ?Z?. 2 ?

?
2

? k ? Z ? 时, ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1.
2

?

y ? cos x :当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1.

y ? tan x :既无最大值,也无最小值
对点练习: 函数 y ? 2cosx ? 1 的定义域是( A. ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 3 3? ? C. ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 6 6? ? 【答案】D ) B. ? 2k? ? , 2k? ? ?k ? Z ? 3 3 ? ? ? D. ? 2k? ? , 2k? ? ?k ? Z ? 3 3 ? ? ?

?
?

?
?

??
??

?

?

2? ?

?

2?

2? ?

故选 D. 3.三角函数的单调性 (1)三角函数的单调区间:

? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
递减区间是 ?2k? ?

? ?

?
2

, 2k? ?

3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,
递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(2)复合函数的单调性 设 y ? f ?u ? ,u ? g ? x ? , x ??a, b? , u ??m, n? 都是单调函数,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在 ? a, b? 上也是单调函数,其 单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数, “里外”函数增减性相反, 复合函数为减函数,如下表

y ? f ?u ?
增 增
-3-

u ? g ? x?
增 减

y? f ? ? g ? x ?? ?
增 减

减 减 对点练习:

增 减

减 增

【2017 浙江温州中学 10 月模拟】已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点 的距离等于

? ? ,若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 是减函 2 6
) B. ( ? D. ( ?

数的区间为( A. (

? ? , ) 4 3

? ?

, ) 4 4

C. (0,

?
3

)

?
3

, 0)

【答案】A

4 .三角函数的对称性 (1)对称轴与对称中心:

y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) 2

k ?Z ;

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? k ?Z ; 2 ,0)

? k? ? y ? tan x 对称中心为 ? ,0? k ? Z . ? 2 ?
(2)对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.

y ? A sin (? x ? ? ) 的图象有无穷多条对称轴,可由方程 ? x ? ? ? k? ?

?
2

? k ? Z ? 解出;它还有无穷多个对
k? ? ?

称中心,它们是图象与 x 轴的交点,可由 ? x ? ? ? k? ? k ? Z ? ,解得 x ?

?

? k ? Z ? ,即其对称中心为

? k? ? ? ? , 0??k ? Z ?. ? ? ? ?
(3)相邻两对称轴间的距离为 ,相邻两对称中心间的距离也为 ,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最 2 2 低点. 对点练习: 【2017 浙江温州中学 3 月模拟】 函数
-4-

T

T

, 则函数的最小正周期为____, 在

内的一条对称轴方程是______. 【答案】 或 中一条

,所以 5.三角函数的奇偶性



。应填答案





中任意一个。

(1)函数的奇偶性的定义; 对定义域内任意 x ,如果有 f (? x) = f ( x) ,则函数是偶函数,如果有

f (? x) =- f ( x) ,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数
(2)奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; (3) f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) . (4)若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . (5) y ? sin x 为奇函数, y ? cos x 为偶函数, y ? tan x 为奇函数. 对点练习: 【2018 届江西省六校高三上学期第五次联考】函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 是偶函数的充要条 件是( )

A. ? ? k? ? C. ? ? k? ? 【答案】C

?
6

,k ?Z ,k ?Z

B. ? ? 2k? ? D. ? ? 2k? ?

?
6

,k ?Z ,k ?Z

?
3

?
3

本题选择 C 选项. 6.三角函数的周期性 (1)周期函数的定义 一般地,对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:对于一个周期函数 f ( x) ,如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ,那么这个最小的正 数 就叫做 f ( x) 的最小正周期. (3) y ? sin x , y ? cos x 周期为 2? , y ? tan x 周期为 ? .
-5-

对点练习: 【2017 天津,文理】设函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?) , x ? R ,其中 ? ? 0 , | ? |? ? .若 f ( 且 f ( x) 的最小正周期大于 2 ? ,则 (A) ? ?
2 ? ,? ? 3 12 5? ??? )?2, f( )?0, 8 8

(B) ? ?

2 ??? ,? ? ? 3 12

1 ??? (C) ? ? , ? ? ? 24 3

1 ?? (D) ? ? , ? ? 24 3

【答案】 A

【考点深度剖析】 近几年高考在对三角恒等变换考查的同时,对三角函数(特别是 y ? A sin ??x ? ? ? x ? R )图象与性 质的考查力度有所加强,往往将恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶 性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象,难度仍然以中低档为主,重在对基础知识的考查,淡化 特殊技巧,强调通解通法. 【重点难点突破】 考点 1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 【1-1】已知函数 y ? sin ax ? b ? a ? 0? 的图象如图所示,则函数 y ? loga ? x ? b ? 的图象可能是

【答案】C

因此 0 ? a ? 1 .易知选 C . 【1-2】函数 y ? cos x tan x ( ?

? ? ? x ? )的大致图象是( 2 2



-6-

x

1 错 x 误! 未 找 到 引 用 源。

x

1 错 x 误! 未 找 到 引 用 源。

x

1 错 x 误! 未 找 到 引 用 源。

x

1 错 x 误! 未 找 到 引 用 源。

- 错o 误! -1 未 找 A 到 【答案】 C 引 用 源。

- 错o 误! -1 未 找 B 到 引 用 源。

- 错o 误! -1 未 找 C 到 引 用 源。

- 错o 误! -1 未 找 D 到 引 用 源。

【领悟技法】 用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为 y ? Asin ??x ? ? ? ? h ? A ? 0, ? ? 0? 或

y ? A cos ??x ? ? ? ? h ? A ? 0, ? ? 0? 的形式;②求出周期 T ?

2?

?

;③求出振幅 A ;④列出一个周期内的

五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点. 【触类旁通】 【变式一】 【2017 河南新乡三模】若函数 __________. 【答案】 ( )的图象关于点 对称,则

【解析】根据题意可得



,故

.

【变式二】设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则

x1 ? x2 ? x3 ?
【答案】

.

7? 3

【解析】 原方程可变为 a ? 2sin( x ? 从图象可知函数 y ? 2sin( x ?

?

), 如图作出函数 y ? 2sin( x ? ), x ? [0, 2? ] 的图象, 再作直线 y ? a , 3 3

?

?

? ? 7? 7? ), x ? [0, 2? ] 在 [0, ] 上递增, [ , ] 上递减,在 [ , 2? ] 上递增,只有 3 6 6 6 6

当 a ? 3 时, 直线 y ? a 与函数 y ? 2sin( x ? 所以 x1 ? x2 ? x3 ?

?
3

), x ? [0, 2? ] 的图象有三个交点,x1 ? 0 ,x2 ?

?
3

,x3 ? 2? ,

7? . 3

-7-

考点 2 三角函数的定义域与值域 【 2-1】 【2017 新课标 2】函数 【答案】1 ( )的最大值是__________.

【2-2】函数 y ? 1 ? 2cosx ? lg(2sin x ?1) 的定义域是________. 【答案】 ? x

5? ? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z .? 6 ? 3 ?

5 1 ?? ? ? 2 k? ? x ? ? ? 2 k? , cosx ? , ? ? ?1 ? 2cosx ? 0, ? ?3 3 2 【解析】(1)由题意得 ? ,即 ? ,分别由三角函数线得 ? , 1 ? 5 2 sinx ? 1 ? 0, ? ? sinx ? , ? ? 2 k? ? x ? ? ? 2 k ? , ? ? 2 6 ? ?6
?

?
3

? 2 k? ? x ?

5? ? 2 k? , k ? Z . 6

【领悟技法】 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图像来求解. 2.三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求; (2)把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ω x+φ )的形式求值域; (3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域; (4)利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 【触类旁通】 【变式】当 x∈? 7 【答案】 2 8
-8-

?π ,7π ?时,函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________,最大值是________. 6 ? ?6 ?

考点 3 三角函数的单调性 【3-1】 【2017 辽宁省沈阳市重点高中】已知 值范围是 ( A. 【答案】A 【解析】由题意得 ) B. C. D. ,函数 在 上单调递减,则 的取

,选 A. 【3-2】 【2017 安徽滁州九校】已知函数 y ? sin ? ? x ? 区间为( )

? ?

??

2? ? (? ? 0) 的最小正周期为 3 ,则该函数的单调增 3?

A. ? ? , ? ? ?k ? Z ? 18 3 6? ? 3 C. ? ? , ? ? ?k ? Z ? 12 3 12 ? ? 3 【答案】B 【解析】由于函数 y ? sin ? ? x ?

? 2 k?

7? 2k?

??

B. ? ? , ? ? ?k ? Z ? 18 3 18 ? ? 3 D. ? ? , ? ? ?k ? Z ? 3 3 6? ? 3

? 2k?

5? 2k?

??

? 2k?

5? 2k?

??

? 2k?

? 2k?

??

? ?

??

2? 2? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ? 3 ,∴ ? ? 3 ,令 3? 2k? 5? 2 k? ? ? ?x? ? ,可得函数的增区间为 3 18 3 18

2 k? ?

?
2

? 3x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,求得

? 2k? 5? 2k? ? ? ? , ? ? ? k ? Z ? ,故选 B. ? 18 3 18 ? ? 3
【领悟技法】 1. 求形如 y ? Asin ??x ? ? ? 或 y ? A cos ?? x ? ? ? (其中 A≠0,? ? 0 )的函数的单调区间,可以通过解不 等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ ? x ? ? ( ? ? 0 )”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所 列不等式的方向与 y ? sin x ( x ? R ), y ? cos x ( x ? R )的单调区间对应的不等式方向相同(反). 2. 如何确定函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0) 当 ? ? 0 时函数的单调性 对于函数 y ? A sin(? x ? ? ) 求其单调区间,要特别注意 ? 的正负,若为负值,需要利用诱导公式把负号提出 来,转化为 y ? ? A sin(?? x ? ? ) 的形式,然后求其单调递增区间,应把 ?? x ? ? 放在正弦函数的递减区间 之内;若求其递减区间,应把 ?? x ? ? 放在正弦函数的递增区间之内.
-9-

3.求函数 y ? A sin(? x ? ? ) (或 y ? A cos(? x ? ? ) ,或 y ? A tan(? x ? ? ) )的单调区间的步骤: (1)将 ? 化为正. (2)将 ? x ? ? 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 4.特别提醒:解答三角函数的问题时,不要漏了“ k ? Z ”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联 结.求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域. 【触类旁通】 【变式一】函数 的部分图像如图所示,则 的单调递减区间为( )

A.

B.

C. 【答案】D

D.

,故选 D. 考点 4 三角函数的对称性 【4-1】 【2015 高考四川,理 4】下列函数中,最小正周期为π 且图象关于原点对称的函数是( )

( A) y ? cos(2 x ? ) 2
【答案】A

?

( B) y ? sin(2 x ? ) 2

?

(C) y ? sin 2 x ? cos 2 x

( D) y ? sin x ? cos x

【解析】对于选项 A,因为 y ? ? sin 2 x, T ?

2? ? ? ,且图象关于原点对称,故选 A. 2

【4-2】 【2017 山东烟台】已知函数 f ? x ? ? tan ? 2 x ? A. f ? x ? 在定义域内是增函数

? ?

??

? ,则下列说法正确的是( 3?
? k? ? ? ? ,0?( k ? Z ) ? 4 6 ?



B. f ? x ? 的对称中心是 ?

- 10 -

C. f ? x ? 是奇函数 【答案】B 【解析】因为 2 x ?

D. f ? x ? 的对称轴是 x ?

k? ? ? (k ?Z ) 2 12

?
3

? k? ?

?
2

,k ? Z, x ?

k? ? ? ,k ? Z ,所以函数 f ? x ? 的定义域为 2 12

{x|x ?

k? ? ? k? k? ? + , k ? Z? , , k ? Z,x ? ? ,k ?Z , 在定义域上不是增函数, 选项 A 错误; 令 2x ? ? 2 12 3 2 4 6

所以 f ? x ? 对称中心为 ?

? k? ? ? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,选项 B 正确;由于函数 f ? x ? 定义域不是关于原点对称,所以 ? 4 6 ?

函数 f ? x ? 是非奇非偶函数,选项 C 错误;函数 f ? x ? 无对称轴方程,选项 D 错误.故选 B. 【领悟技法】 先化成 y ? A sin (? x ? ? ) ? B 的形式再求解.其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,凡是该图

象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的基 本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心. 【触类旁通】 【变式一】下列坐标所表示的点不是函数 y ? tan(

x ? ? ) 的图象的对称中心的是 ( ) 2 6
D. ?

A. ?

?? ? , 0? ?3 ?

B. ? ?

? 5? ? , 0? ? 3 ?

C. ?

? 2? ? , 0? ? 3 ?

? 4? ? , 0? ? 3 ?

【答案】C 【解析】 y ? tan x 的对称中心为 ?

x ? ? k? ? , 0 ? ,所以 y ? tan( ? ) 的对称中心可以表示为 2 6 ? 2 ?

x ? k? ? ? ? ? x ? k? ? ,经检验 C 选项不满足条件,故选 C. 2 6 2 3
考点 5 三角函数的奇偶性 【5-1】 【2017-2018 山西省朔州一中 8 月】函数 ( ) B. 周期为 的偶函数 D. 周期为 的偶函数 是

A. 周期为 的奇函数 C. 周期为 的奇函数 【答案】B

- 11 -

本题选择 B 选项. 【5-2】下列对于函数 f ( x) ? 3 ? cos 2 x, x ? (0,3? ) 的判断正确的是 ( A.函数 f ( x ) 的周期为 ? B.对于 ?a ? R, 函数 f ( x ? a) 都不可能为偶函数 C. ?x0 ? (0,3? ) ,使 f ( x0 ) ? 4 D.函数 f ( x ) 在区间 [ 【答案】C 【解析】因为 f ( x) ? 3 ? cos 2 x 在 R 上的周期为 ? ,但在 (0,3? ) 上无周期;当 a ? )

? 5?
2 , 4

] 内单调递增

3? 时,函数 2

y ? f ( x ? a ) ? 3 ? cos 2 x, x ? (?

3? 3? , ) 为偶函数;当 x0 ? ? , 2? 时, f ( x0 ) ? 4 ;当 2 2

? 5? 5? x ? [ , ? ], 2 x ? [? , 2? ] ,函数 f ( x) 单调递增,而当 x ? [? , ], 2 x ? [2? , ] ,函数 f ( x) 单调递减;因 2 4 2
此选 C. 【领悟技法】 1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答,首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则 函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求 f (? x) ;最后比较 f (? x) 和 f ( x) 的 关系,如果有 f (? x) = f ( x) ,则函数是偶函数,如果有 f (? x) =- f ( x) ,则函数是奇函数,否则是非奇非偶 函数。 2. 如何判断函数 f (? x ? ? ) 的奇偶性:根据三角函数的奇偶性,利用诱导公式可推得函数 f (? x ? ? ) 的奇偶 性,常见的结论如下: (1)若 y ? A sin(? x ? ? ) 为偶函数,则有 ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;若为奇函数则有 ? ? k? (k ? Z ) ;

(2)若 y ? A cos(? x ? ? ) 为偶函数,则有 ? ? k? (k ? Z ) ;若为奇函数则有 ? ? k? ? (3)若 y ? A tan(? x ? ? ) 为奇函数则有 ? ? k? (k ? Z ) . 【触类旁通】 下列四个函数中,既是 ? 0, A. y ? tanx 【答案】B

?
2

(k ? Z ) ;

? ?

??

? 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是( 2?
C. y ? cosx D. y ? cosx



B. y ? sinx

考点 6 三角函数的周期性
- 12 -

【6-1】 【2017 课标 II,文 3】函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. 4 π 【答案】C B. 2 π

π ) 的最小正周期为( 3



C.

π

D.

π 2

【6-2】下列四个函数中,以 ? 为最小正周期,且在区间 ( A. y ? sin 2 x C. y ? cos 【答案】D B. y ? 2 cos x D. y ? tan(? x)

?
2

, ? ) 上单调递减函数的是(



x 2

【领悟技法】 1.求三角函数的周期的方法 (1)定义法:使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) .利用定义我们可采用取值进行验证 的思路,非常适合选择题; (2)公式法: f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ?

2? , |? |

f ( x) ? A tan(? x ? ? ) 的周期为 T ?

? .要特别注意两个公式不要弄混; ?

(3)图象法:可以画出函数的图象,利用图象的重复的特征进行确定,一般适应于不易直接判断,但是能够容 易画出函数草图的函数;
- 13 -

(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是: 弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定. 如

y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的周期为

? ,而 2

? 1 ? y ?| 2sin(3 x ? ) ? |, y ?| 2sin(3 x ? ) ? 2 | , y ?| tan x | 的周期不变. 6 2 6
2.使用周期公式,必须先将解析式化为 y ? A sin(? x ? ? ) ? h 或 y ? A cos(? x ? ? ) ? h 的形式;正弦余弦函 数的最小正周期是 T ? 【触类旁通】 【变式一】设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0 ).若 f ( x) 在区间 [ 调性,且 f ( ) ? f (

2?

?

,正切函数的最小正周期公式是 T ?

? ;注意一定要注意加绝对值。 ?
? ?

, ] 上具有单 6 2

?

2

2? ? ) ? ? f ( ) ,则 f ( x) 的最小正周期为 3 6

.

【答案】 ?

所以, T ?

1 2

?
2

?

?
6

,即 T ?

2? 7? ? T ? ? ,解得 T ? ? . ,所以 3 12 3 4
【易错试题常警惕】

易错典例:求函数 y ? tan ?

?? ? ? 2 x ? 的单调递减区间. ?3 ?

易错分析:解答本题易直接由:k? ? 再一点易忽略 k ? Z 这个条件. 正确解析:把函数 y ? tan ?

?
2

?

?
3

? 2 x ? k? ?

?
2

,得出错误结论,原因是忽略复合函数的单调性,

?? ?? ? ? ? 2 x ? 变为 y ? ? tan ? 2 x ? ? , 3? ?3 ? ?

故函数 y ? tan ?
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?? ? ? k? ? k? 5? ? ? 2 x ? 的单调减区间为 ? ? , ? ??k ? Z ?. ?3 ? ? 2 12 2 12 ?

温馨提醒:(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解 答此类问题关键是将三角函数变形为 y ? A sin(? x ? ? ) 处理.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是 忽略复合函数的单调性,直接由:k? ?

?
2

?

?
3

? 2 x ? k? ?

?
2

,得出错误结论;二是易忽略对字母 k 的限止,

在解答此类问题时,一定要注意对字母 k 的限止. 【学科素养提升之思想方法篇】 数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好, 隔裂分家万事休。 ""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。 我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系 与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合, 可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的. 向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数 的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问 题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半 功倍的效果. 【典例】 【2015 高考新课标 1,理 8】函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区 间为( ) (A) ( k? ? (C) (k ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

(B) (2k? ? (D) (2k ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

【答案】D

k ? Z ,故选 D.

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