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辽宁省实验中学分校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题: (每题 5 分,共计 60 分) x 1. (5 分)集合 A={y|y=x+1,x∈R},B={y|y=2 ,x∈R},则 A∩B 等于() A.(0,+∞) B.{0,1} C.{1,2} (1,2)}

D.{(0,1) ,

2. (5 分)已知函数 y=

的定义域为()

A.(﹣∞,1]

B.(﹣∞,21]

C.(﹣∞,﹣ )∩(﹣ ,1]

D.

(﹣∞,﹣ )∪(﹣ ,1]

3. (5 分)点 M(﹣3,5,2)关于 y 轴对称点坐标为() A.(3,﹣5,﹣2) B.(3,5,﹣2) C.(﹣3,﹣5,﹣2) 2) 4. (5 分)若直线 mx+y﹣1=0 与直线 x﹣2y+3=0 平行,则 m 的值为() A.
2 2

D.(3,﹣5,

B.
2 2

C.2

D.﹣2

5. (5 分)两圆 x +y ﹣1=0 和 x +y ﹣4x+2y﹣4=0 的位置关系是() A.内切 B.相交 C.外切 6. (5 分)三个数 2 ,0.3 ,log0.32 的大小顺序是() 2 0.3 2 0.3 A.0.3 <log0.32<2 B. 0.3 <2 <log0.32 0.3 2 2 0.3 C. log0.32<2 <0.3 D.log0.32<0.3 <2 7. (5 分)函数 A. 的零点所在的区间是() B.(﹣1,0) C.
0.3 2

D.外离

D.(1,+∞)

8. (5 分)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形 OA′B′C′的面积为 形的面积为()

,则原梯

A.2

B.

C.2

D.4

9. (5 分)已知互不相同的直线 l,m,n 与平面 α,β,则下列叙述错误的是() A.若 m∥l,n∥l,则 m∥n B. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n C. 若 m⊥α,n∥β,则 α⊥β D.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α 或 m?α 10. (5 分)己知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°, 则棱锥 S﹣ABC 的体积为() A. B. C. D.

11. (5 分)f(x)= A.(1,3) ∞,1)∪(3,+∞) B.(0,2)

,若 f(a ﹣4a)+f(3)>4,则 a 的取值范围是() C.(﹣∞,0)∪(2,+∞) D. (﹣

2

12. (5 分)函数 f(x)的定义域为 D,若满足①f(x)在 D 内是单调函数,②存在[m,n]?D, 使 f(x)在[m,n]上的值域为
x

,那么就称 y=f(x)为“好函数”.现有 f(x)=loga

(a +k) , (a>0,a≠1)是“好函数”,则 k 的取值范围是() A.(0,+∞) B. C. D.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)过点(1,2)且与直线 3x+4y﹣5=0 垂直的直线方程. 14. (5 分)长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球 面上,则这个球的表面积是.

15. (5 分)直线 y=k(x﹣1)+2 与曲线 x=

有且只有一个交点,则 k 的取值范围是.

16. (5 分)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出四个命题: ①c=0 时,y=f(x)是奇函数; ②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ③y=f(x)的图象关于(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根; 上述命题中正确的命题的序号是.

三、解答题: (共 70 分) 17. (10 分)已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9} (1)求?R(A∩B) ; (2)已知 C={x|a﹣1<x<2a+1},若 C?B,求实数 a 的取值集合. 18. (12 分)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x﹣1 被该圆所截 得的弦长为 2 ,求圆 C 的标准方程. 19. (12 分)如图所示的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.另 外两个是它的正视图和左视图(单位:cm)

(Ⅰ)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (Ⅲ)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG. 20. (12 分)已知⊙O:x +y =1 和定点 A(2,1) ,由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ, 切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径最小值时⊙P 的方程. 21. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中 点. (1)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)线段 AB 上是否存在点 M,使得 A1M⊥平面 CDB1.
2 2

22. (12 分)已知函数 f(x)=

(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数.

(1)求 m 的值,并确定 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=loga[f(x)﹣ax](a>0 且 a≠1) ,是否存在实数 a,使 g(x)在区间[2,3]上 的最大值为 2,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高一上学期期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每题 5 分,共计 60 分) x 1. (5 分)集合 A={y|y=x+1,x∈R},B={y|y=2 ,x∈R},则 A∩B 等于() A.(0,+∞) B.{0,1} C.{1,2} D.{(0,1) , (1,2)} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据一次函数的值域求出 A,根据指数函数的值域求出 B,再利用两个集合的交集的 定义求出 A∩B. 解答: 解:∵集合 A={y|y=x+1,x∈R}=R=(﹣∞,+∞) ,B={y|y=2 ,x∈R}={y|y>0 }=(0, +∞) , 故 A∩B=(﹣∞,+∞)∩(0,+∞)=(0,+∞) , 故选 A. 点评: 本题主要考查一次函数、指数函数的值域,两个集合的交集的定义和求法,属于基 础题.
x

2. (5 分)已知函数 y=

的定义域为()

A.(﹣∞,1] )∪(﹣ ,1]

B.(﹣∞,21]

C.(﹣∞,﹣ )∩(﹣ ,1] D. (﹣∞, ﹣

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 ,解不等式可求函数的定义域

解答: 解:由题意可得



∴函数的定义域为(﹣∞,

)∪(﹣

故选 D 点评: 本题主要考查了含有分式及根式的函数定义域的 求解,属于基础试题 3. (5 分)点 M(﹣3,5,2)关于 y 轴对称点坐标为() A.(3,﹣5,﹣2) B.(3,5,﹣2) C.(﹣3,﹣5,﹣2)

D. (3,﹣5,2)

考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 在空间直角坐标系中,点 M(﹣3,5,2)关于 y 轴对称就是把 x 变为﹣x,z 变为﹣ z,y 不变,从而求解; 解答: 解:∵在空间直角坐标系中,点 M(﹣3,5,2)关于 y 轴对称, ∴其对称点为: (3,5,﹣2) . 故选:B. 点评: 此题主要考查空间直角坐标系,点的对称问题,点(x,y,z)关于 y 轴对称为(﹣x, y,﹣z) ,此题是一道基础题. 4. (5 分)若直线 mx+y﹣1=0 与直线 x﹣2y+3=0 平行,则 m 的值为() A. B. C. 2 D.﹣2

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由两直线平行,斜率相等列出方程,解方程求得 m 值. 解答: 解:∵直线 mx+y﹣1=0 与直线 x﹣2y+3=0 平行 ∴它们的斜率相等 ∴﹣m= ∴m=﹣ 故选 B. 点评: 本题考查两直线平行的性质,斜率都存在的两直线平行时,它们的斜率一定相等. 5. (5 分)两圆 x +y ﹣1=0 和 x +y ﹣4x+2y﹣4=0 的位置关系是() A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题.
2 2 2 2

分析: 由已知中两圆的方程:x +y ﹣1=0 和 x +y ﹣4x+2y﹣4=0,我们可以求出他们的圆心 坐标及半径,进而求出圆心距|O1O2|,比较|O1O2|与 R2﹣R1 及 R2+R1 的大小,即可得到两个圆 之间的位置关系. 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣1=0 表示以 O1(0,0)点为圆心,以 R1=1 为半径的圆; 2 2 圆 x +y ﹣4x+2y﹣4=0 表示以 O2(2,﹣1)点为圆心,以 R2=3 为半径的圆; ∵|O1O2|= ∴R2﹣R1<|O1O2|<R2+R1, 2 2 2 2 ∴圆 x +y ﹣1=0 和圆 x +y ﹣4x+2y﹣4=0 相交 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定,若圆 O1 的半径为 R1,圆 O2 的半 径为 R2, (R2≤R1) ,则当|O1O2|>R2+R1 时,两圆外离,当|O1O2|=R2+R1 时,两圆外切,当 R2 ﹣R1<|O1O2|<R2+R1 时,两相交,当|O1O2|=R2﹣R1 时,两圆内切,当|O1O2|<R2﹣R1 时,两 圆内含. 6. (5 分)三个数 2 ,0.3 ,log0.32 的大小顺序是() 2 0.3 2 0.3 A.0.3 <log0.32<2 B. 0. 3 <2 <log0.32 0.3 2 2 0.3 C. log0.32<2 <0.3 D.log0.32<0.3 <2 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 0.3 2 解答: 解:∵2 >1,0<0.3 <1,log0.32<0, 2 0.3 ∴log0.32<0.3 <2 , 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.
0.3 2

2

2

2

2

7. (5 分)函数 A.

的零点所在的区间是() B.(﹣1,0) C. D.(1,+∞)

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 由于函数在(0,+∞)单调递增且连续,根据零点判定定理只要满足 f(a)f(b)< 0 即为满足条件的区间; 解答: 解:因为函数 f( )=ln + =﹣1+ <0, , (x>0)

f(1)=ln1+ = >0, ∴f( )f(1)<0,根据零点定理可得,

∴函数

的零点所在的区间( ,1) ,

故选 C; 点评: 此题主要考查函数零点的判定定理及其应用,解题的过程中要注意函数的定义域, 是一道基础题. 8. (5 分)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形 OA′B′C′的面积为 形的面积为() ,则原梯

A.2

B.

C. 2

D.4

考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题;作图题. 分析: 根据斜二测画法的规则将图形还原,平面图是一个直角梯形,面积易求. 解答: 解:如图, 有斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的 是两个梯形的高,其高的关系是这样的:平面图中的高 OA 是直观图中 OA'长度的 2 倍,如直 观图,OA'的长度是直观图中梯形的高的 倍,由此平面图中梯形的高 OA 的长度是直观图 中梯形高的 2× =2 倍, 故其面积是梯形 OA′B′C′的面积 2 倍, 梯形 OA′B′C′的面积为 , 所以原梯形的面积是 4. 故应选 D.

点评: 本题考查斜二测画法作图规则,属于规则逆用的题型. 9. (5 分)已知互不相同的直线 l,m,n 与平面 α,β,则下列叙述错误的是() A.若 m∥l,n∥l,则 m∥n B. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n C. 若 m⊥α,n∥β,则 α⊥β D.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α 或 m?α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 m∥l,n∥l,则由平行公理得 m∥n,故 A 正确; 若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 B 错误; 若 m⊥α,n∥β,则由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β,故 C 正确; 若 m⊥β,α⊥β,则由平面与平面垂直的性质得 m∥α 或 m?α,故 D 正确. 故选:B. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 10. (5 分)己知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°, 则棱锥 S﹣ABC 的体积为() A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出 SA=AC=SB=BC=2 ,∠SAC=∠SBC=90°,说明球心 O 与 AB 的平面 与 SC 垂直,求出 OAB 的面积,即可求出棱锥 S﹣ABC 的体积. 解答: 解:如图:由题意球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2, ∠ASC=∠BSC=45°,求出 SA=AC=SB=BC=2 , ∠SAC=∠SBC=90°,所以平面 ABO 与 SC 垂直,则 进而可得:VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB, 所以棱锥 S﹣ABC 的体积为: 故选 C. = .

点评: 本题是基础题,考查球的内接三棱锥的体积,考查空间想象能力,计算能力,球心 O 与 AB 的平面与 SC 垂直是本题的解题关键,常考题型.

11. (5 分)f(x)=

,若 f(a ﹣4a)+f(3)>4,则 a 的取值范围是()

2

A.(1,3) ∪(3,+∞)

B.(0,2)

C.(﹣∞,0)∪(2,+∞)

D. (﹣∞, 1)

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 结合已知中 f(x)= a ﹣4a>﹣3,解得 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= ,
2

,可将不等式 f(a ﹣4a)+f(3)>4 化为

2

∴f(3)=17, 2 2 若 f(a ﹣4a)+f(3)>4,则 f(a ﹣4a)>﹣13…①, 2 当 x≥0 时,f(x)=x +2x+2 为增函数,此时 f(x)≥2 恒成立, 2 2 当 x<0 时,f(x)=﹣x +2x+2 为增函数,令﹣x +2x+2=﹣13,解得 x=﹣3,或 x=5(舍去) , 2 2 由①得:a ﹣4a>﹣3,即 a ﹣4a+3>0, 解得:a∈(﹣∞,1)∪(3,+∞) , 故选:D 点评: 本题考查的知识点是分段函数,二次函数的图象和性质,解不等式,其中将不等式 f (a ﹣4a)+f(3)>4 化为 a ﹣4a>﹣3,是解答的关键. 12. (5 分)函数 f(x)的定义域为 D,若满足①f(x)在 D 内是单调函数,②存在[m,n]?D, 使 f(x)在[m,n]上的值域为
x 2 2

,那么就称 y=f(x)为“好函数”.现有 f(x)=loga

(a +k) , (a>0,a≠1)是“好函数”,则 k 的取值范围是() A.(0,+∞) B. C. D.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可知 ( f x) 在 D 内是单调增函数, 才为“好函数”, 从而可构造函数 转化为求 有两异正根,k 的范围可求.
x



解答: 解:因为函数 f(x)=loga(a +k) , (a>0,a≠1)在其定义域内为增函数,则若函数 y=f(x)为“好函数”, 方程 必有两个不同实数根,

∵ ∴方程 t ﹣t+k=0 有两个不同的正数根,
2

, .

故选 C. 点评: 本题考查函数的值域,难点在于构造函数,转化为两函数有不同二交点,利用方程 解决,属于难题. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)过点(1,2)且与直线 3x+4y﹣5=0 垂直的直线方程 4x﹣3y+2=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由垂直关系可得直线的斜率,可得点斜式方程,化为一般式即可. 解答: 解:∵直线 3x+4y﹣5=0 的斜率为 ∴与之垂直的直线的斜率为 , ∴所求直线的方程为 y﹣2= (x﹣1) 化为一般式可得 4x﹣3y+2=0 故答案为:4x﹣3y+2=0 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题. 14. (5 分)长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球 面上,则这个球的表面积是 50π. 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线,求出长方体的对角线,就是求 出球的直径,然后求出球的表面积. 解答: 解:长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球 面上, 所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为: , ,

所以球的半径为:

;则这个球的表面积是:

=50π.

故答案为:50π. 点评: 本题是基础题,考查球的内接多面体的有关知识,球的表面积的求法,注意球的直 径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键,考查计算能力,空间想象能力.

15. (5 分)直线 y=k(x﹣1)+2 与曲线 x= 3) . 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆.

有且只有一个交点,则 k 的取值范围是[1,

分析: 由曲线方程的特点得到此曲线表示在 y 轴右边的单位圆的一半,可得出圆心坐标和 圆的半径 r,然后根据题意画出相应的图形,根据图形,直线恒过(1,2) ,由图形过(1,2) , (0,1)的直线的斜率为﹣1;过(1,2) , (0,﹣1)的直线的斜率为 3. ,综上,得到满足题 意的 k 的范围. 解答: 解:由题意可知:曲线方程表示一个在 y 轴右边的单位圆的一半, 则圆心坐标为(0,0) ,圆的半径 r=1, 画出相应的图形,如图所示:

直线 y=k(x﹣1)+2,恒过(1,2) ,由图形过(1,2) , (0,1)的直线的斜率为﹣1;过(1, 2) , (0,﹣1)的直线的斜率为 3. 综上,直线与曲线只有一个交点时,k 的取值范围为[1,3) . 故答案为:[1,3) . 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,考查数形结合的思想,根据题意得出此曲线表示 在 y 轴右边的单位圆的一半,并画出相应的图形是解本题的关键. 16. (5 分)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出四个命题: ①c=0 时,y=f(x)是奇函数; ②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ③y=f(x)的图象关于(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根; 上述命题中正确的命题的序号是①②③. 考点: 奇偶函数图象的对称性;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: ①c=0,f(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣bx=﹣x|x|﹣bx=﹣f(x) ,由奇函数的定义判断 ②b=0,c>0,代入可得 f(x)=x|x|+c= ,令 f(x)=0,通过解方程判断

③根据中心对称的条件进行证明是否满足 f(2c﹣x)=f(﹣x) ④举出反例如 c=0,b=﹣2 解答: 解:①c=0,f(x)=x|x|+bx,f(﹣x)=﹣x|﹣x|+b(﹣x)=﹣f(x) ,故①正确 ②b=0,c>0,f(x)=x|x|+c= 令 f(x)=0 可得 ,故②正确

③设函数 y=f (x) 上的任意一点 M (x, y) 关于点 (0, c) 对称的点 N (x′, y′) , 则

. 代

入 y=f(x)可得 2c﹣y′=﹣x′|﹣x′|﹣bx′+c?y′=x′|x′|+bx′+c 故③正确 ④当 c=0,b=﹣2,f(x)=x|x|﹣2x=0 的根有 x=0,x=2,x=﹣2 故④错误 故答案为:①②③ 点评: 本题综合考查了函数的奇偶性、对称性(中心对称的证明)及函数图象在解题中的 运用,要求考生熟练掌握函数的性质,并能灵活运用性质求解. 三、解答题: (共 70 分) 17. (10 分)已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9} (1)求?R(A∩B) ; (2)已知 C={x|a﹣1<x<2a+1},若 C?B,求实数 a 的取值集合. 考点: 集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)先求出 A∩B,然后再根据补集的定义求解即可; (2)根据 C?B 列出关于 a 的不等式组即可,要注意 C=?的情况. 解答: 解: (1)因为 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9} 所以 A∩B={x|3≤x<6},故?R(A∩B)={x|x<3 或 x≥6}. (2)当 a﹣1≥2a+1,即 a≤﹣2 时,C=?,显然符合题意, 当 a﹣1<2a+1 即 a>﹣2 时,由题意得 ,解得 3≤a≤4.故此时 3≤a≤4 为所求. 综上,所求 a 的集合是{a|a≤﹣2 或 3≤a≤4}. 点评: 本题以不等式为载体考查了集合运算,同时要注意分类讨论思想的应用. 18. (12 分)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x﹣1 被该圆所截 得的弦长为 2 ,求圆 C 的标准方程. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 解:设圆心的坐标为 C(a,0) ,a>0,由题意可得圆的半径 r= =|a

﹣1|,求出圆心到直线直线的距离 d,再由弦长公式求得 a 的值,从而求得圆 C 的标准方程. 解答: 解:设圆心的坐标为 C(a,0) ,a>0,由题意可得圆的半径 r= ﹣1|, 圆心到直线直线 l:y=x﹣1 的距离 d= . =|a

由弦长公式可得 (a﹣1) = 故半径等于 2,

2

+

,解得 a=3,或 a=﹣1(舍去) ,

故圆的方程为 (x﹣3) +y =4. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程的方法,求出圆心坐标和半径的值,是解题的关键, 属于中档题. 19. (12 分)如图所示的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.另 外两个是它的正视图和左视图(单位:cm)

2

2

(Ⅰ)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (Ⅲ)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG. 考点: 直线与平面平行的判定;由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知条件按三视图的要求能画出该多面体的俯视图. (Ⅱ)所求多面体体积 V=V 长方体﹣V 正三棱锥,由此能求出结果. (Ⅲ)连结 AD',则 AD'∥BC',AD'∥EG,从而 EG∥BC'.由此能证明 BC'∥面 EFG. 解答: 解: (Ⅰ)如图,画出该多面体的俯视图如下:

(Ⅱ)所求多面体体积: V=V 长方体﹣V 正三棱锥= (Ⅲ)证明:在长方体 ABCD﹣A'B'C'D'中, 连结 AD',则 AD'∥BC'. 因为 E,G 分别为 AA',A'D'中点, 所以 AD'∥EG, 从而 EG∥BC'.又 BC'?平面 EFG, 所以 BC'∥面 EFG. = .

点评: 本题考查几何体的俯视图的作法,考查多面体的体积的求法,考查直线与平面平行 的证明,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 20. (12 分)已知⊙O:x +y =1 和定点 A(2,1) ,由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ, 切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径最小值时⊙P 的方程. 考点: 圆的标准方程;圆的切线方程. 专题: 压轴题;直线与圆. 分析: (1)由勾股定理可得 PQ =OP ﹣OQ =PA ,即 (a +b )﹣1=(a﹣2) +(b﹣1) 2 ,化简可得 a,b 间满足的等量关系. (2)由于 PQ= 值. (3)设⊙P 的半径为 R,可得|R﹣1|≤PO≤R+1.利用二次函数的性质求得 OP= 小值为 ,此时,求得 b=﹣2a+3= ,R 取得最小值为 的最 = ,利用二次函数的性质求出它的最小
2 2 2 2 2 2 2 2 2

﹣1,从而得到圆的标准方程.
2 2 2

解答: 解: (1)连接 OQ,∵切点为 Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ =OP ﹣OQ . 2 2 2 2 2 2 由已知 PQ=PA,可得 PQ =PA ,即 (a +b )﹣1=(a﹣2) +(b﹣1) . 化简可得 2a+b﹣3=0. (2)∵PQ= = = = ,

故当 a= 时,线段 PQ 取得最小值为



(3)若以 P 为圆心所作的⊙P 的半径为 R,由于⊙O 的半径为 1,∴|R﹣1|≤PO≤R+1. 而 OP= = = ,故当 a= 时,PO 取得最小值为

, 此时,b=﹣2a+3= ,R 取得最小值为 ﹣1.

故半径最小时⊙P 的方程为

+

=



点评: 本题主要考查求圆的标准方程的方法,圆的切线的性质,两点间的距离公式以及二 次函数的性质应用,属于中档题. 21. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中 点.

(1)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)线段 AB 上是否存在点 M,使得 A1M⊥平面 CDB1.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知先证明 CD⊥AB,又在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥CD,且 AB∩AA1=A,即可证明 CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)连结 BC1,设 BC1 与 B1C 的交点为 E,连接 DE,证得 DE∥AC1;由线面平行的判定 定理即可证明 AC1∥平面 CDB1; (Ⅲ)存在点 M 为 B,由(Ⅰ)知 CD⊥平面 A1ABB1,又 A1B?A1ABB1,可得 CD⊥A1B, 由已知可得 A1A: AB=BD: BB1=1: , 即证明 A1B⊥B1D, 又 CD∩B1D=D, 从而证明 A1B⊥ 平面 CDB1. 解答: 证明: (Ⅰ)∵AC=BC,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中点. ∴CD= AB,由勾股定理可得 CD⊥AB, 又∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥CD,且 AB∩AA1=A, ∴CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)连结 BC1,设 BC1 与 B1C 的交点为 E,连结 DE. ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CC1⊥底面 ABC, CC1=BC=2, ∴四边形 BCC1B1 为正方形. ∴E 为 BC1 中点. ∵D 是 AB 的中点, ∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (Ⅲ)存在点 M 为 B,证明如下: 由(Ⅰ)知 CD⊥平面 A1ABB1,又 A1B?A1ABB1, ∴CD⊥A1B, ∵AC=BC=CC1,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中点. ∴设 1=C=BC=CC1,以 C 为原点,以 CA,CB,CC1 分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角 坐标系,

则 A1(1,0,1) ,B(0,1,0) ,B1(0,1,1) ,D( , ,0) , ∴ ∴ =(﹣1,1,﹣1) , ? =0, =( ,﹣ ,﹣1) ,

∴A1B⊥B1D, 又 CD∩B1D=D, ∴A1B⊥平面 CDB1. 从而得证.

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考查空间想象能 力,逻辑思维能力,考查了转化思想,属于中档题.

22. (12 分)已知函数 f(x)=

(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数.

(1)求 m 的值,并确定 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=loga[f(x)﹣ax](a>0 且 a≠1) ,是否存在实数 a,使 g(x)在区间[2,3]上 的最大值为 2,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 考点: 复合函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由幂函数在(0,+∞)上为增函数且 m∈Z 求出 m 的值,然后根据函数式偶函 数进一步确定 m 的值,则函数的解析式可求; (2)把函数 f(x)的解析式代入 g(x)=loga[f(x)﹣ax],求出函数 g(x)的定义域,由函 数 g(x)在区间[2,3]上有意义确定出 a 的范围,然后分类讨论使 g(x)在区间[2,3]上的最 大值为 2 的 a 的值. 解答: 解: (1)由函数 得到﹣2m +m+3>0 解得 ,又因为 m∈Z,
2

在(0,+∞)上为增函数,

所以 m=0 或 1. 又因为函数 f(x)是偶函数 3 当 m=0 时,f(x)=x ,不满足 f(x)为偶函数; 2 当 m=1 时,f(x)=x ,满足 f(x)为偶函数;

所以 f(x)=x ; (2) ,令 h(x)=x ﹣ax,
2

2

由 h(x)>0 得:x∈(﹣∞,0)∪(a,+∞) ∵g(x)在[2,3]上有定义, 2 ∴0<a<2 且 a≠1,∴h(x)=x ﹣ax 在[2,3]上为增函数. 当 1<a<2 时,g(x)max=g(3)=loga(9﹣3a)=2,

因为 1<a<2,所以
2



当 0<a<1 时,g(x)max=g(2)=loga(4﹣2a)=2, ∴a +2a﹣4=0,解得 , ∵0<a<1,∴此种情况不存在, 综上,存在实数 ,使 g(x)在区间[2,3]上的最大值为 2.

点评: 本题考查了幂函数的单调性和奇偶性,考查了复合函数的单调性,考查了分类讨论 的数学思想方法,训练了利用函数的单调性求函数的最值,是中档题.


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