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《余弦函数的图像与性质》教学案


《余弦函数的图像与性质》教学案 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)能利用五点作图法作出余弦函数在[0,2π]上的图像; (2)熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质; (3)能区别正、余弦函数之间的关系; (4)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2、过程与方法: 类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;自主探究出余弦函数的诱导公 式;能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦函数的图像,并能结合图像分析得 到余弦函数的性质。 3、情感态度与价值观: 使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立数 形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力; 让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛 盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻 研精神。 二、教学重、难点 重点:余弦函数的性质。 难点:性质应用。 三、学法与教法 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来 的,从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的 概念作比较,得出余弦函数的概念;用五点作图的方法作出y=cosx在[0,2π]上 的图像,并由图像直观得到其性质。 教法:自主合作探究式 四、教学过程 (一)、创设情境,揭示课题 在上一次课中,我们知道正弦函数y=sinx的图像,是通过等分单位圆、平移 正弦线而得到的,在精确度要求不高时,可以采用五点作图法得到。那么,对于 余弦函数y=cosx的图像是不是也是这样得到的呢?有没有更好的方法呢? (二)、探究新知 1.余弦函数y=cosx的图像 由诱导公式有: 与正弦函数关系 ? ) 2 ∵y=cosx=cos(-x)=sin[ ? -(-x)]=sin(x+ 2 结论:(1)y=cosx, x?R与函数y=sin(x+ ? ) x?R的图象相同 2 (2)将y=sinx的图象向左平移 ? 即得y=cosx的图象 2 (3)也同样可用五点法作图:y=cosx (?,-1) ( 3? ,0) (2?,1) 2 x?[0,2?]的五个点关键是(0,1) ( ? ,0) 2 y 1 y ? ? 2 o ? 2 ? 3? 2 2? x -1 (4)类似地,由于终边相同的三角函数性质y=cosx x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k? 0的图像与 y=cosx π个单位长度) x?[0,2?] y 图像形状相同只是位置不同(向左右每次平移2 1 o -4? -3? -2? -? ? 2? 3? 4? 5? 6? -1 2.余弦函数y=cosx的性质 观察上图可以得到余弦函数y=cosx有以下性质: (1)定义域:y=cosx的定义域为R (2)值域: y=cosx的值域为[-1,1],即有 |cosx|≤1(有界性) (3)最值:1?对于y=cosx 当且仅当x=2k?,k?Z时 ymax=1 当且仅当时x=2k?+π, k?Z时 ymin=-1 2?当2k?- ? <x<2k?+ ? 2 2 (k?Z)时 y=cosx>0 (k?Z)时 y=cosx<0 当2k?+ ? <x<2k?+ 3? 2 2 (4)周期性:y=cosx的最小正周期为2? (5)奇偶性 cos(-x)=cosx (6)单调性 增区间为[(2k-1)π, 2kπ](k∈Z),其值从-1增至1; 减区间为[2kπ,(2k+1)π](k∈Z),其

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