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九年级数学下册第六章:二次函数的图像与性质(1) 导学案


6.2.1 二次函数的图像与性质⑴
班级 姓名

【学习目标】
1.会用描点法画二次函数 y ? ax2 的图像,掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想.

【课前自习】
1.一次函数的图像是一条 2.一次函数 y ? x ? 2 经过点(0, ( ,0) 、 (2, ) 、 ( ,反比例函数的图像叫做 ) 、
y

线.

,-2).
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4

在下列平面直角坐标系中画出它的图像:

x

3.形如 4.当 k =

( 时,函数 y ? (k ? 1) x k
2

)的函数叫做二次函数.
?1

? 1为二次函数.

5.某超市 1 月份的营业额为 100 万元,2、3 月份营业额的月平均增长率为 x ,求第一季度 营业额 y (万元)与 x 的函数关系式是 .

教师 评价

家长 签字

【课堂助学】
一、 自主探索: 1.画二次函数 y ? x 2 的图像: ⑴列表:

x
y ? x2

… …

-3

-2

-1

0

1

2

3

… …

⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点,并把这些点连成一条平滑的曲线:
y 9 8

2.观察图像: ⑴这条曲线叫做 ⑵它是 对称图形,有 . ,顶点 点. . 线. 条对称

7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 x

轴,对称轴是

⑶它与对称轴的交点叫做 坐标是( 当x= ) ,顶点是最 时,y 有最

值是

⑷该图像开口向 的左侧,即 x 大而

;在对称轴 时, y 随 x 的增

;在对称轴的右侧,即 时, y 随 x 的增大而 .

x

⑸图象与 x 轴有 是( 3.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图像:① y ? ).

个交点,交点坐标

1 2 1 x ② y ? ? x2 2 2
2 3 … … …

x
y? 1 2 x 2
1 2 x 2

… … …

-3

-2

-1

0

1

y??

观察图像指出它们的共同点和不同点:
y 5 4 3 2

⑴共同点: 1 y ? x2 ⑵ 2 的图像开口向 抛物线的最

. ,顶点是 值.

点,函数有最

在对称轴的左侧, 即x

时,y 随

x 的增大而
侧,即

;在对称轴的右 时, y 随

1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 x

x
.

x 的增大



⑶ y ? ? 1 x 2 图像开口向 ,顶点是 2 抛物线的最 点,函数有最 值. 在对称轴的左侧, 即x 时,y 随

x 的增大而
侧,即 而

;在对称轴的右 时, y 随

x
.

x 的增大

1 2 ⑷ y ? x 的图像与 2
二、探究归纳:

1 y ? ? x2 2 的图像关于



对称.

1.二次函数 y ? ax2 的图像是一条 说明当 x = 时, y 有最值是 .

, 它关于

对称; 顶点坐标是



2.当 a ? 0 时, 抛物线开口向

, 顶点是抛物线的最

点.在对称轴的左侧, 即x 时, y 随 x 的增大而 点.在对称轴的左侧, 即x 时, y 随 x 的增大而

时, . 时, .

y 随 x 的增大而

;在对称轴的右侧,即 x , 顶点是抛物线的最

3.当 a ? 0 时, 抛物线开口向

y 随 x 的增大而
三、典型例题: 例 1、已知 y = m x
m2 ? m

;在对称轴的右侧,即 x

是 x 的二次函数.

⑴当 m 取何值时,该二次函数的图像开口向上?

3 ⑵在上述条件下:①当 x = 时, y = 2
②当 y =8 时, x =

. . . .

③当-2< x <3 时,求 y 的取值范围是 ④当 4< y <1 时,求 x 的取值范围是

【课堂检测】
1.画出下列函数的图像: ⑴ y ? 2x 2 ⑵ y ? ?x 2 … … … y
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 x

x
y ? 2 x2

-3

-2

-1

0

1

2

3

… … …

y ? ?x

2

y 1 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 3 x

【课外作业】
1.二次函数 y ? x 2 的图像开口 实数,对应的 y 值总是 ,对称轴是 数. . ,顶点是 .

x 取任何

2.点 A(2,-4)在函数 y ? ? x 2 的图像上,点 A 在该图像上的对称点的坐标是 3.二次函数 y ?

1 2 1 x 与 y ? ? x 2 的图像关于 3 3

对称. ,b =
y
-2

4.若点 A(1, a ) 、B( b ,9)在函数 y ? x 2 的图像上,则 a = 5.利用函数 y ? ? x 2 的图像回答下列问题:

.

O
-1

2

x

3 ⑴当 x = 时, y = 2
⑵当 y =-8 时, x =

. .

-2

-3

⑶当-2< x <3 时,求 y 的取值范围是 ⑷当-4< y <-1 时,求 x 的取值范围是

. .

-4

-5

-6

-7

6.观察函数 y ? ? x 2 的图像,利用图像解答下列问题: ⑴在 y 轴左侧的图像上任取两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2), 且使 0>x1>x2,试比较 y1 与 y2 的大小;

-8

-9

⑵在 y 轴右侧的图像上任取两点 C(x3,y3) 、D(x4,y4),且使 x3>x4>0,试比较 y3 与 y4 的大小.

7.已知 y ? (k ? 2) x k

2

? k ?4

是二次函数,且当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大.

⑴ 求 k 的值;⑵写出顶点坐标和对称轴.


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