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直线的倾斜角和斜率_图文

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高考真题例举 考纲要求 考点 012 2 011 2 010 2

1.理解直线的倾斜角和斜 率的概念及相互间的关系,掌 握过两点的直线斜率的计算公 式. 2.掌握确定直线位置的 几何要素,掌握直线方程的几 种形式(点斜式、两点式及一般 式),了解斜截式与一次函数的 关系.

直线的 倾斜角与斜 率

湖 江 — 北卷 西卷, — 10 ,5
辽 安 宁卷 徽卷 ,7 ,4

直线的 方程

— —

2014年高考预测 课前自主回顾

1.考查直线的有关概念,如直线 的倾斜角、斜率、截距等;考查过两 点的斜率公式.
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(对应学生用书P147)

1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴 . 正向 与直线l 向上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当 直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0°. ②倾斜角的范围为 0°≤α<180°
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.
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(2)直线的斜率

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①定义:一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜 率,斜率常用小写字母k表示,即k= tanα 线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 y2-y1 为k= x2-x1 . ,倾斜角是90° 的直

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问题探究1:直线的倾斜角θ越大,斜率k就越大,这种说 法正确吗?
? π? ?0, ? 2? ?

提示:由k=tanθ及正切函数的性质,知在 倾斜角越大,斜率越大;同样在θ∈
?π ? ? ,π? ?2 ?

内k>0,

内k<0,也是倾斜角

越大,斜率越大,这是由正切函数的单调性决定的.

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2.直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方程

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适用范围

y-y1=k(x-x1) 不含垂直于x轴的直线 y=kx+b
y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1
不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y= y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

截距式

x y + =1 a b
Ax+By+C=0

一般式

平面直角坐标系内的直线都适用

A2+B2≠0
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3.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段P1P2的 ? 中点M的坐标为(x,y),则 ? ? 的中点坐标公式. , , 此公式为线段P1P2

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问题探究2:截距是距离吗?

提示:不是.截距是实数,可正、可负,也可为0.截距有 横、纵截距之分,分别为直线与x轴、y轴交点的横、纵坐标.

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(对应学生用书P148)

1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟 y2-y1 记斜率公式:k= (x ≠x ).已知两点坐标(x1≠x2)时,根 x2-x1 1 2 据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2,y1≠y2时, 直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90° .

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2.直线的倾斜角与斜率的关系:斜率k是一个实数,当倾 斜角α≠90° 时,k=tanα.直线都有倾斜角,但并不是每条直线 都存在斜率,倾斜角为90° 的直线无斜率. 3.利用斜率证明三点共线的方法: 已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x1=x2=x3或kAB= kAC,则有A、B、C三点共线.

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在应用点的坐标求直线的斜率时,应关注斜率不存在的情 况.

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(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为
1 A. 3 1 B.- 3 3 C.-2

(
2 D.3 (

)

(2)直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是
? π? A. ?0, ? 2? ? ? π π? C.?-4,4? ? ?

)

B.(0,π)
? ? π? ?3π D.?0,4?∪? 4 ,π? ? ? ? ?

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【思路启迪】 (1)应用中点坐标求出点P、Q的坐标;(2) 应用直线的倾斜角与斜率的关系求解.

【解析】

(1)如图,设直线l与直线y=1,x=7分别交于

P(x0,1),Q(7,y0)两点.

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?x0+7 ? =1, ? 2 ∵PQ中点为(1,-1),∴有? ?1+y0 ? 2 =-1, ? ∴x0=-5,y0=-3, 1+3 1 ∴P(-5,1),Q(7,-3),∴kPQ= =-3.选B. -5-7

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(2)直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα, 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1. π 当0≤k≤1时,倾斜角的范围是[0,4], 3π 当-1≤k<0时,倾斜角的范围是[ 4 ,π).
【答案】 (1)B (2)D

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(1)若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数,一般根据k =tanα求斜率.(2)若已知直线上两点(x1,y1),(x2,y2), y2-y1 (x1≠x2),一般根据斜率公式k= (x1≠x2)求斜率.(3)已知 x2-x1 倾斜角的范围,求斜率的范围,实质上是求k=tanα的值域问 题;已知斜率k的范围求倾斜角的范围,实质上是在
?π ? ? ,π?上解关于正切函数的三角不等式问题. ?2 ? ? π? ?0, ? 2? ?



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由于函数k=tanα在

? π? ?π ? ?0, ? ∪ ? ,π? 上不单调,故一般借助 2? ?2 ? ?

该函数图象来解决此类问题.

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(1)求直线xcosθ+ 3y+2=0的倾斜角的取值范围为____. (2)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与 线段AB有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是 ( 3 A.k≥4或k≤-4 3 1 C.k≥4或k≤-4 3 B.-4≤k≤4 3 D.-4≤k≤4 )

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3 解析:(1)由条件,知直线的斜率k=- 3 cosθ, 3 3 ∴- 3 ≤k≤ 3 . 3 π 当0≤k≤ 3 时,直线的倾斜角α满足0≤α≤6; 3 5π 当- 3 ≤k<0时,直线的倾斜角α满足 6 ≤α<π. π 5π ∴直线的倾斜角的取值范围为[0, ]∪[ ,π). 6 6

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(2)如图所示,过点B(-3,-2),P(1,1)的直线斜率为 1-?-2? 3 k1= =4. 1-?-3? 过点A(2,-3),P(1,1)的直线斜率为 1-?-3? k2= =-4. 1-2 从图中可以看出,过点P(1,1)的直线与线段AB有公共点 可看做直线绕点P(1,1)从PB旋转至PA的过程, 3 ∴k∈[ ,+∞)∪(-∞,-4]. 4 π 5π 答案:(1)[0,6]∪[ 6 ,π) (2)A
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求直线方程时,首先分析具备什么样的条件;然后恰当地 选用直线方程的形式准确写出直线方程.要注意若不能断定直 线具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式 时,应先判断截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.

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在设所求直线的方程时,一是要结合给定条件选择适当的 形式,二是注意所设方程的适用范围.

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求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的- ; 4 (3)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且 |AB|=5.
【思路启迪】 选择适当的直线方程形式,把所需要的条 件求出即可.

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【解】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a,若 a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y=3x,即2x-3y=0. x y 若a≠0,则设l的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
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解法二:由题意,所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 2 令y=0,得x=3- ,令x=0,得y=2-3k, k 2 2 由已知3- =2-3k,解得k=-1或k=3, k ∴直线l的方程为 2 y-2=-(x-3)或y-2=3(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.

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(2)设所求直线的斜率为k,依题意 1 3 k=- ×3=- . 4 4 又直线经过点A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为y+3=-4(x+1), 即3x+4y+15=0.

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(3)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.
?x=1, ? 解方程组? ?2x+y-6=0, ?

求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求. 设过A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),
?2x+y-6=0, ? 解方程组? ?y+1=k?x-1?, ?

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? k+7 ?x= , ? k+2 得两直线交点为? ? 4k-2 ?y= k+2 . ? (k≠-2,否则与已知直线平行),
?k+7 4k-2? ? 则B点坐标为? , . ? k+2 k+2 ? ? ? ?k+7 ? ?4k-2 ? 由已知? -1?2+? +1?2=52, ? k+2 ? ? k+2 ? ? ? ? ?

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3 3 解得k=-4,∴y+1=-4(x-1), 即3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.

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在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注 意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必 须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截 距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式, 应先考虑斜率不存在的情况.

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求下列直线l的方程: 1 (1)过点A(-1,2),它的倾斜角的正切值是2; (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1:3x+4y+5=0的倾 斜角的一半; (3)过点A(2,1)和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点.

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解:(1)设直线l的倾斜角为α, 1 1 则tan α= ,即直线l的斜率为 , 2 2 1 由点斜式得直线l的方程为y-2= (x+1),即x-2y+5=0. 2

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(2)设直线l和l1的倾斜角分别为α、β, β ? π? 3 3 2tanα ?0, ?,又tanβ=- 则- = 则α= ∈ , 2 ? 2? 4 4 1-tan2α 1 解得tanα=3或tanα=-3(舍去). 由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.

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?x-2y-3=0, ? (3)解方程组? ?2x-3y-2=0, ?

?x=-5, ? 得? ?y=-4. ?

即两条直线的交点为(-5,-4). y-1 x-2 由两点式得直线l的方程为 = , -4-1 -5-2 即5x-7y-3=0.

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根据两个独立条件可以求得直线方程,需要注意的是点斜 式、斜截式不能表示斜率不存在(与x轴垂直)的直线,两点式不 能表示与坐标轴垂直的直线方程,截距式方程不能表示过原点 的直线或垂直于坐标轴的直线.因此在求直线方程时要考虑斜 率不存在的直线是否符合题意.在求直线方程时,如不作特殊 说明,要把直线方程化成一般式.直线在x轴(y轴)上的截距是 直线与x轴交点的横坐标(与y轴交点的纵坐标).

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选择直线方程形式时,应注意其适用条件,如斜率不存 在,截距为零的情况不可忽视.

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已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于 A、B两点,如右图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线 l的方程.

【思路启迪】 设直线l的方程为截距式,利用基本不等 式可求.
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【解】 x y 为 + =1, a b

设A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线l的方程

3 2 ∵l过点P(3,2),∴ + =1. a b 3 2 ∴1= + ≥2 a b 6 ,即ab≥24. ab

1 3 2 ∴S△ABO=2ab≥12,当且仅当 = ,即a=6,b=4. a b

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△ABO的面积最小,最小值为12. x y 此时直线l的方程为:6+4=1. 即2x+3y-12=0.

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求直线方程最常用的方法是待定系数法.若题中直线过定 点,一般设直线方程的点斜式,也可以设截距式.注意在利用 基本不等式求最值时,斜率k的符号.

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过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点,求使: (1)△AOB面积最小时l的方程; (2)|PA|· |PB|最小时l的方程.

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解:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 1 A(2- ,0)、B(0,1-2k). k 1? 1? (1)S△AOB=2?2-k ?(1-2k) ? ?
? 1?? 1 ? = ×?4+?-4k?+?- ?? 2 ? ? k ??

1 ≥2×(4+4)=4.

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1 1 当且仅当-4k=- ,即k=- 时取最小值,此时直线l的 2 k 1 方程为y-1=- (x-2), 2 即x+2y-4=0.

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(2)|PA|· |PB|= =

?1? ? ?2+1· ?k?

4+4k2

4 2 2+4k +8≥4, k

4 当且仅当 2 =4k2,即k=-1时取得最小值,此时直线l的 k 方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.

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(对应学生用书P149)

易错点 忽略“零截距”问题致误

求与点M(4,3)的距离为5,且在两坐标轴上的截距相等的 直线方程.

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x y 【错解】 设所求直线方程为 + =1,即x+y-a=0. a a |4+3-a| 因为点M(4,3)与所求直线的距离为5,所以 =5, 2 解得a=7+5 2或a=7-5 2. 即所求直线方程为x+y-7-5 2=0或x+y-7+5 2=0.

【错因分析】 错解解法因忽略了截距为零的情况而导致 出错.原因是截距存在的直线不一定能用截距式方程来表示, 假如选用截距式,一定要考虑截距为零是否适合题意.

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x y 【正确解答】 当截距不为0时,设所求直线方程为 + a a =1,即x+y-a=0. ∵M(4,3)与所求直线的距离为5, |4+3-a| ∴ =5, 2 ∴a=7+5 2或a=7-5 2. ∴所求直线方程为 x+y-7-5 2=0或x+y-7+5 2=0.

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当截距为0时,设所求直线方程为y=kx,即kx-y=0. |4k-3| 4 同理可得 2=5,∴k=-3. 1+k 4 ∴所求直线方程为y=- x, 3 即4x+3y=0. 综上所述,所求直线方程为x+y-7-5 2 =0或x+y-7+ 5 2=0或4x+3y=0.

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在研究直线在两坐标轴上的截距关系问题时,要注意分两 种情形讨论:(1)截距不为零;(2)截距为零.当截距不为零 时,可以用两点式求解,也可以用截距式求解.当截距为零 时,通常用斜截式求解.

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经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2 倍的直线方程是________.

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解析:设直线在x轴上的截距为2a,则其在y轴上的截距为 a,则直线经过点(2a,0),(0,a). 2 当a=0时,直线的斜率k=-5,此时, 2 直线方程为y=- x,即2x+5y=0. 5 2-0 a-0 1 当a≠0时,则 = ,得a=-2, -5-2a 0-2a 此时,直线方程为x+2y+1=0. 综上所述,所求直线的方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
答案:x+2y+1=0或2x+5y=0
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y2-y1 1.过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率k= x2-x1 (x1≠x2),当x1=x2,y1≠y2时,直线的斜率不存在,此时 直线的倾斜角为90° .

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2.求斜率可用k=tanα(α≠90° ),其中α为倾斜角,由此可 见倾斜角与斜率相互联系不可分割. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再 求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法.求直线方程时 要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一 定每条直线都存在斜率.

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(对应学生用书P150)

1.若直线x=2的倾斜角为α,则α A.等于0 π C.等于 2 π B.等于 4 D.不存在

(

)

π 解析:直线x=2与x轴垂直,其倾斜角为2. 答案:C
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2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的 值为 A.1 C.1或3 B.4 D.1或4 ( )

4-m 解析:由 =1,∴4-m=m+2,∴m=1. m+2
答案:A

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3.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( 3 A.-2 C.3 3 B.2 D.-3
y-1 3-1

)

解析:过两点(-1,1)和(0,3)的直线方程为



x-?-1? 3 ,即y=2x+3,令y=0得x=-2,即为所求. 0-?-1?
答案:A

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高考总复习 ·课标版 ·数学(文)

4.(2012年济南模拟)直线2x-my+1-3m=0,当m变动 时,所有直线都通过定点
? 1 ? A. ?-2,3? ? ? ?1 ? C.?2,-3? ? ? ?1 ? B.?2,3? ? ? ? 1 ? D.?-2,-3? ? ?

(

)

解析:∵(2x+1)-m(y+3)=0恒成立, 1 ∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-2,y=-3.
答案:D
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高考总复习 ·课标版 ·数学(文)

5.经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1 的直线l的方程为________. x y 解析:设所求直线方程为 + =1, a b

? 2 2 ?-a+b=1, 由已知可得? ?1|a||b|=1, ?2
?a=-1, ? 解得? ?b=-2 ? ?a=2, ? 或? ?b=1. ?

∴2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求. 答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0
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6.若ab>0,且A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线, 则ab的最小值为________.

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x y 解析:设AB的方程为 + =1, a b -2 -2 代入(-2,-2)得 a + b =1. ∵ab>0,∴a<0,b<0, 2 2 ∴1= + ≥2 -a -b 4 1 ∴ab≤4, ∴ab≥16,仅当a=b=-4时,等式成立.
答案:16
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4 , ab

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