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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第7章第6讲_图文

第七章 不等式、推理与证明 第六章 数列 第 6讲 直接证明与间接证明 第七章 不等式、推理与证明 第六章 数列 考纲展示 1.了解直接证明的 两种基本方法:综 合法和分析法;了 解综合法和分析法 的思考过程和特点 2.了解反证法的 思考过程和特点 考情呈现 1.考查频数:5年5考 2.考查题型:解答题 3.试题难度:中、难 4.高频考点:解答题中的推理论 证问题基本上都涉及 5.考查能力:以推理论证方式呈 现,以相关数学问题为载体,考查 转化与化归思想和计算化简能力 第七章 不等式、推理与证明 1.直接证明 内容 综合法 利用已知条件和某些 数学定义、公理、定 定义 理等,经过一系列的 推理论证,最后推导 出所要证明的结论成 立 分析法 从要证明的结论出发,逐 步寻求使它成立的 充分 条 件,直至最后,把要证明 的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 内容 实质 框图 表示 综合法 由因导果 P?Q1 → Q1?Q2 →?→ Qn?Q 分析法 执果索因 Q?P1 → P1?P2 →?→ 得到一个明显?成立的条件 要证??只需证?? 即证?? 文字 因为??所以?? 语言 或由??得?? 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一 种常用的间接证明方法. 反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结 论不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾 假设错误,从而证明原命题成立的证明方法. ,因此说明 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 1.证题的三种思路 (1)分析法证题的一般思路: 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发, 倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题 时要严格按分析法的语言表达, 下一步是上一步的充分条件. 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 (2)综合法证题的一般思路: 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是 能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知 条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结 论. 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 (3)反证法证题的一般思路: 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要 依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是 A, 或者是非 A,即在同一讨论过程中,A 和非 A 有且仅有一个 是正确的,不能有第三种情况出现. 用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成 立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③ 结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立. 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 π 1. (选修 1-2 P46A 组 T5 改编)已知锐角 A、 B 满足 A+B= , 4 则(1+tan A)(1+tan B)的值为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 tan A+tan B π 解析:∵A+B= ,∴tan(A+B)=1,即 =1. 4 1-tan Atan B ∴tan A+tan B+tan Atan B=1. 所以(1+tan A)(1+tan B)=1+tan A+tan B+tan Atan B= 2.故选 B. 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 2.(选修 1-2 P42 练习 T2 改编)设 m=1+ 3,n=2 2,则 m 与 n 的大小关系是( C ) A.m>n C.m<n B.m≥n D.m≤n 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 解析: 法一: m2-n2=(1+ 3)2-(2 2)2=4+2 3-8=2 3- 4= 12- 16<0,又 m>0,n>0. ∴m<n,故选 C. 法二:假设 m≥n,即 1+ 3≥2 2. 则有(1+ 3)2≥(2 2)2, 即 4+2 3≥8,即 2 3≥4, 即 3≥2,即 3≥4,显然错误,∴m<n,故选 C. 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 3.(选修 1-2 P44A 组 T3 改编)△ABC 的三边 a,b,c 成等比 数列,则角 B 的范围为( B ) A.(0° ,30° ] C.[30° ,90° ] 解析:由题意得 b2=ac. a2+c2-b2 2ac-ac 1 由余弦定理得 cos B= ≥ = . 2ac 2ac 2 又 B∈(0° ,180° ),∴0° <B<60° .故选 B. B.(0° ,60° ] D.[60° ,90° ] 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 4. (选修 1-2 P43 练习 T2 改编)若 a>0, 求证 a, a+1, a+2 不可能成等差数列. 证明:假设 a, a+1, a+2成等差数列. 即 2 a+1= a+ a+2. 两边平方得 4(a+1)=2a+2+2 a?a+2?, 即 a+1= a?a+2?, 两边再平方得 a2+2a+1=a2+2a, 即 1=0,显然不成立,因此假设 a, a+1, a+2成等差 数列是错误的,所以当 a>0 时, a, a+1, a+2不可能 成等差数列. 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 综合法 设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ac≤ ; 3 a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥1. 栏目 导引 第七章 不等式、推理与证明 [证明] (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 1 当且仅当 a=b=c=

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