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2018年数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用(测)

专题 7.4 基本不等式及其应用 一、填空题 1. -a a+ (-6≤a≤3)的最大值为_______. -a 【解析】因为-6≤a≤3,所以 3 - a≥0, a +6≥0,则由基本不等式可知, ≤ -a + a+ 2 x y a+ 9 3 = ,当且仅当 a=- 时等号成立. 2 2 2.若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是_______. 【解析】 ∵1=2 +2 ≥2 2 ·2 =2 2 ∴2 x+y x y x y x+y 1 1 x y x+y 当且仅当 2 =2 = , 即 x=y=-1 时等号成立, ∴ 2 ≤ , 2 2 1 ≤ ,得 x+y≤-2. 4 3.若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于_______. x y a b 4.已知 a>-1,b>-2,(a+1)(b+2)=16,则 a+b 的最小值是_______. 【解析】 16≤? 因为 a> - 1 , b> - 2 ,所以 a + 1>0 , b + 2>0 ,又 (a + 1)(b +2)≤ ? ?a+1+b+2? 2 ,即 ? 2 ? ? ?a+b+3?2,整理得 a+b≥5,当且仅当 a+1=b+2=4,即 a=3,b=2 时等号成立 ? ? 2 ? 1 4 y 2 5.若两个正实数 x,y 满足 + =1,且不等式 x+ <m -3m 有解,则实 数 m 的取值范围是_______. x y 4 y 2 y 1 4 y ? y? 2 【解析】 ∵不等式 x+ <m -3m 有解, ∴x+ min<m -3m, ∵x>0, y>0, 且 + =1, ∴x+ =?x+ ? 4 4 x y 4 ? 4? ?1+4?=4x+ y +2≥2 ?x y? y 4x ? ? 2 4x y 4x y ? y? · +2=4,当且仅当 = ,即 x=2,y =8 时 取等号,∴?x+ ?min=4, y 4x y 4x ? 4? ∴m - 3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得 m<-1 或 m>4,故实数 m 的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+ ∞). 6.设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0.则当 【解析】 2 2 xy 2 1 2 取得最大值时, + - 的最大值为_______. z x y z xy xy 1 1 2 2 = = ≤ =1,当且仅当 x=2y 时等号成立,此时 z=2y , + z x2-3xy+4y2 x 4y 4-3 x + -3 y x 1 y z 2 1 2 ?1 ?2 - =- 2+ =-? -1? +1≤1,当且仅当 y=1 时等号成立,故所求的最大值为 1. y y ?y ? 1 1 7.已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n 的最小值是________. a b 1 【答案】4 1 1 【解析】由题意知:ab=1,∴m=b+ =2b,n=a+ =2a,∴m+n=2(a+b)≥4 ab=4.当且仅当 a b a=b=1 时取等号. 1 2 8.若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为________. a b 【答案】2 2 9.(2017·青岛模拟)已知实数 x,y 均大于零,且 x+2y=4,则 log2x+log2y 的最大值为________. 【答案】1 【解析】因为 log2x+log2y=log22xy-1≤log2? ?x+2y?2-1=2-1=1,当且仅当 x=2y=2,即 x=2, ? ? 2 ? y=1 时等号成立,所以 log2x+ log2y 的最大值为 1. 10.已知不等式 2x+m+ 【答案】(-10,+∞) 【解 析】不等式 2x+m+ ∵x>1,∴2(x-1)+ 8 8 8 x-1 >0 对一切 x∈(1,+∞)恒成立,则实数 m 的取值范围是________. x-1 ≥2 >0 可化为 2(x-1)+ 8 x-1 >-m-2, x- 1 x- 8 x-1 =8, 当 且仅当 x=3 时取等号. ∵不等式 2x+m+ ∴-m-2<8, 解得 m>-10. 二、解答题 11.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求: (1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值. 8 x-1 >0 对一切 x∈(1,+∞)恒成立, 2 12.(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律,计划利用学校空地建造 一间室内 面积为 900 m 的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形 区域之间间隔 1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道, 左、右两块矩形区域分别与相邻 的左右内墙保留 3 m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的 总面积为 S(单位:m ). 2 2 (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值. 解:(1)由题设,得 S=(x-8)? ?900-2?=-2x-7 200+916,x∈(8,450). ? x ? x ? x 7 200 2x× =240, 7 200 (2)因为 8<x<450,所以 2x+ ≥2 x 当且仅当 x=60 时等号成立,从而 S≤676. 故当矩形温室的室内长为 60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,为 676 m . 2 3

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