# 经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

Mathwang

（1）均值不等式 ） 设 a1 , a2 ,L an > 0 是实数

n

1 1 1 + +L + a1 a2 an 其中 ai > 0, i = 1, 2,L n .当且仅当 a1 = a2 = L = an 时，等号成立.
（2）柯西不等式 ） 设 a1 , a2 ,L an , b1 , b2 ,L bn 是实数，则

≤ n a1a2 L an ≤

2 2 a1 + a2 + L + an a 2 + a2 + L + an ≤ 1 n n

(a

2 1

2 2 + a2 + L + an )( b12 + b22 + L + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + L + an bn )

2

a1b1 + a2b2 + L + an bn ≥ a1c1 + a2 c2 + L + an cn ≥ a1bn + a2bn ?1 + L + anb1

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ?? b1 + b2 + L + bn ≥? ?? n n n ? ?? 当且仅当 a1 = a2 = L = an 或 b1 = b2 = L = bn 时，等号成立.

? a1bn + a2bn ?1 + L + an b1 ?≥ n ?

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ? ? b1 + b2 + L + bn ? ≥? ?? ? n n n ? ?? ? ? n ( a1b1 + a2b2 + L + an bn ) ≥ ( a1 + a2 + L + an )( b1 + b2 + L + bn )

( a1 + a2 + L + an )( b1 + b2 + L + bn )
= a1b1 + a2b2 + L + anbn + a1b2 + a2b3 + L + an b1 + a1b3 + a2b4 + L + an b2 + a1b4 + a2b5 + L + an b3 +L + a1bn ?1 + a2bn + L + anbn ? 2 + a1bn + a2b1 + L + an bn ?1 根据“顺序和 ≥ 乱序和” （在 n ? 1 个部分同时使用） ，可得 n ( a1b1 + a2b2 + L + an bn ) ≥ ( a1 + a2 + L + an )( b1 + b2 + L + bn )

1

Mathwang

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ?? b1 + b2 + L + bn ? ≥? ?? ? n n n ? ?? ? ，可得 同理，根据“乱序和 ≥ 反序和” ? a1 + a2 + L + an ? ? b1 + b2 + L + bn ? a1bn + a2bn ?1 + L + anb1 ? ?? ?≥ n n n ? ?? ?

a1 + a2 + L + an n

a a La a1 aa , x2 = 1 2 2 ,L xn = 1 2 n n = 1 c c c 2 1 c 1 c 1 cn y1 = = , y2 = = , L yn = = =1 x1 a1 x2 a1a2 xn a1a2 L an x1 =

n

a1a2 L an .因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． x1 y1 + x2 y2 + L xn yn

x1 yn + x2 y1 + L xn yn ?1 ≥ x1 y1 + x2 y2 + L xn yn

a a1 a2 + +L + n ≥ 1+1+L +1 c c c

a1 + a2 + L + an ≥n c

a1 + a2 + L + an ≥ c = n a1a2 L an n 2 2 a + a2 + L + an a 2 + a2 + L + an ≤ 1 不等式证明“ （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式” 1 ） 切比晓夫不等式证明 算数—开方平均不等式” ： n n 证明：不妨设 a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an ， 证明
2 2 a1 + a2 + L + an a 2 + a2 + L + an ? a + a + L + an ?? a1 + a2 + L + an ≤ 1 ?? 1 2 ?? n n n n ? ??

2 2 2 ? a1 + a2 + L + an ≤ . ? n ?

n 1 1 1 + +L + a1 a2 an

a1 + a2 + L + an n

n

1 1 1 + +L + a1 a2 an

a1 + a2 + L + an n
1 1 1 ? a1 ? + a2 ? + L + an ? ? a1 a2 an ? ≥1= . n ? ? ?

1 ? 1 1 ? a + a +L + a ? a + a + L + an ? ? 1 2 n ?? 1 2 ? n n ? ?? ? ?
2

Mathwang

1 1 1 ≥ ≥ L ≥ ，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. an an ?1 a1

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ?? b1 + b2 + L + bn ≤? ?? n n n ? ??

2 2 a1 + a2 + L + an a12 + a2 + L + an ≤ n n

? ?. ?

b1 + b2 + L + bn b 2 + b22 + L + bn2 ≤ 1 n n

.

a1b1 + a2b2 + L + an bn ≤ n
2

2 2

(

2 2 a12 + a2 + L + an b 2 + b22 + L + bn2 ? 1 n n

2

)( b

2 1

2 + b22 + L + bn ) .即证.

（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明 ）补充“调和—几何平均不等式”

1 1 1 + +L + a + a2 + L + an a a2 an 1 1 1 1 证明：将 n a1a2 L an ≤ 1 中的 ai 换成 ，有 n . L ≤ 1 证明 n ai a1 a2 an n
n

1 1 1 + +L + a1 a2 an

≤ n a1a2 L an .

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