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经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式


Mathwang

几个经典不等式的关系 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式
(1)均值不等式 ) 设 a1 , a2 ,L an > 0 是实数

n

1 1 1 + +L + a1 a2 an 其中 ai > 0, i = 1, 2,L n .当且仅当 a1 = a2 = L = an 时,等号成立.
(2)柯西不等式 ) 设 a1 , a2 ,L an , b1 , b2 ,L bn 是实数,则

≤ n a1a2 L an ≤

2 2 a1 + a2 + L + an a 2 + a2 + L + an ≤ 1 n n

(a

2 1

2 2 + a2 + L + an )( b12 + b22 + L + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + L + an bn )

2

当且仅当 bi = 0(i = 1, 2,L , n) 或存在实数 k ,使得 ai = kbi (i = 1, 2,L , n) 时,等号成立. (3)排序不等式 ) 设 a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ L ≥ bn 为两个数组, c1,c2, ,cn 是 b1,b2 , ,bn 的任一排列, L L 则

a1b1 + a2b2 + L + an bn ≥ a1c1 + a2 c2 + L + an cn ≥ a1bn + a2bn ?1 + L + anb1
当且仅当 a1 = a2 = L = an 或 b1 = b2 = L = bn 时,等号成立. (4)切比晓夫不等式 )切比晓夫不等式 对于两个数组: a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ L ≥ bn ,有

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ?? b1 + b2 + L + bn ≥? ?? n n n ? ?? 当且仅当 a1 = a2 = L = an 或 b1 = b2 = L = bn 时,等号成立.

? a1bn + a2bn ?1 + L + an b1 ?≥ n ?

相关证明 二 相关证明
切比晓夫不等式 (1)用排序不等式证明切比晓夫不等式 )用排序不等式证明切比晓夫 证明:由 证明

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ? ? b1 + b2 + L + bn ? ≥? ?? ? n n n ? ?? ? ? n ( a1b1 + a2b2 + L + an bn ) ≥ ( a1 + a2 + L + an )( b1 + b2 + L + bn )


( a1 + a2 + L + an )( b1 + b2 + L + bn )
= a1b1 + a2b2 + L + anbn + a1b2 + a2b3 + L + an b1 + a1b3 + a2b4 + L + an b2 + a1b4 + a2b5 + L + an b3 +L + a1bn ?1 + a2bn + L + anbn ? 2 + a1bn + a2b1 + L + an bn ?1 根据“顺序和 ≥ 乱序和” (在 n ? 1 个部分同时使用) ,可得 n ( a1b1 + a2b2 + L + an bn ) ≥ ( a1 + a2 + L + an )( b1 + b2 + L + bn )
即得

1

Mathwang

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ?? b1 + b2 + L + bn ? ≥? ?? ? n n n ? ?? ? ,可得 同理,根据“乱序和 ≥ 反序和” ? a1 + a2 + L + an ? ? b1 + b2 + L + bn ? a1bn + a2bn ?1 + L + anb1 ? ?? ?≥ n n n ? ?? ?
综合即证 (2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式” n a1a2 L an ≤ ) 排序不等式证明“几何—算数平均不等式” : 证明:构造两个数列: 证明

a1 + a2 + L + an n

a a La a1 aa , x2 = 1 2 2 ,L xn = 1 2 n n = 1 c c c 2 1 c 1 c 1 cn y1 = = , y2 = = , L yn = = =1 x1 a1 x2 a1a2 xn a1a2 L an x1 =
其中 c =
n

a1a2 L an .因为两个数列中相应项互为倒数,故无论大小如何,乘积的和: ............................ x1 y1 + x2 y2 + L xn yn

总是两数组的反序和.于是由“乱序和 ≥ 反序和” ,总有 .........

x1 yn + x2 y1 + L xn yn ?1 ≥ x1 y1 + x2 y2 + L xn yn
于是

a a1 a2 + +L + n ≥ 1+1+L +1 c c c


a1 + a2 + L + an ≥n c
即证

a1 + a2 + L + an ≥ c = n a1a2 L an n 2 2 a + a2 + L + an a 2 + a2 + L + an ≤ 1 不等式证明“ (3)用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式” 1 ) 切比晓夫不等式证明 算数—开方平均不等式” : n n 证明:不妨设 a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an , 证明
2 2 a1 + a2 + L + an a 2 + a2 + L + an ? a + a + L + an ?? a1 + a2 + L + an ≤ 1 ?? 1 2 ?? n n n n ? ??

2 2 2 ? a1 + a2 + L + an ≤ . ? n ?

由切比晓夫不等式,右边不等式显然成立.即证. 不等式证明“ (4)用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式” ) 切比晓夫不等式证明 调和—算数平均不等式”

n 1 1 1 + +L + a1 a2 an



a1 + a2 + L + an n

n
证明: 证明

1 1 1 + +L + a1 a2 an



a1 + a2 + L + an n
1 1 1 ? a1 ? + a2 ? + L + an ? ? a1 a2 an ? ≥1= . n ? ? ?

1 ? 1 1 ? a + a +L + a ? a + a + L + an ? ? 1 2 n ?? 1 2 ? n n ? ?? ? ?
2

Mathwang

不妨设 a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an ,则

1 1 1 ≥ ≥ L ≥ ,由切比晓夫不等式,上式成立.即证. an an ?1 a1

不等式证明柯西不等式 (5)用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式 )用均值不等式和 比晓夫不等式证明 证明:不妨设 a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an , b1 ≤ b2 ≤ L ≤ bn 证明 由切比晓夫不等式,有

a1b1 + a2b2 + L + an bn ? a1 + a2 + L + an ?? b1 + b2 + L + bn ≤? ?? n n n ? ??
由均值不等式,有
2 2 a1 + a2 + L + an a12 + a2 + L + an ≤ n n

? ?. ?

b1 + b2 + L + bn b 2 + b22 + L + bn2 ≤ 1 n n
所以

.

a1b1 + a2b2 + L + an bn ≤ n
2

两边平方,即得 ( a1b1 + a2b2 + L + anbn ) ≤ a1 + a2 + L + an
2 2

(

2 2 a12 + a2 + L + an b 2 + b22 + L + bn2 ? 1 n n

2

)( b

2 1

2 + b22 + L + bn ) .即证.

(6)补充“调和—几何平均不等式”的证明 )补充“调和—几何平均不等式”

1 1 1 + +L + a + a2 + L + an a a2 an 1 1 1 1 证明:将 n a1a2 L an ≤ 1 中的 ai 换成 ,有 n . L ≤ 1 证明 n ai a1 a2 an n
n
两边取倒数,即得

1 1 1 + +L + a1 a2 an

≤ n a1a2 L an .

3


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