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3.2.1&3.2.2直线的点斜式方程和直线的两点式方程


3.2.1&3.2.2

1.已知 A(2,5), B(4,0)过点P(?1,?1) 的直线 l 与线段AB有公共点,求直线 l 的斜率 k 的范围;

2.已知 A(2,?3), B(?3,?2)过点P(1,1)的直线 l 与线段AB有公共点,求直线 的范围. l 的斜率 k

直线的方程
?

直线上任意一点的坐标P(x,y)满足的关系式.

若直线 l 经过点P ,斜率为k, 则此直线的方 0 ( x0 , y0 ) 程是?
y

l
P( x, y)
P0 ( x0 , y0 )
y ? y0

y ? y0 k? x ? x0
故:
x

( x ? x0 )

x ? x0

o

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

建构数学:

经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程 为:

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

这个方程是由直线上一定点及其斜率确定, 所以我们把它叫做直线的点斜式方程.
注意:

点斜式方程的形式特点.
点斜式的适用范围. 过定点问题.

小结:经过点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线有无数条:

1)斜率存在且为 k,直线方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 2)斜率不存在,直线方程 为x ? x0 .
l

y
P 0 ( x0 , y0 )

o

x

0

x

数学运用: 例、已知直线经过点 P??1,3? ,求 (1)倾斜角为 0? 时的直线方程; y?3 (2)斜率为2时的直线方程;
y ? 3 ? 2( x ? 1)

(3)倾斜角为 90 ? 时的直线方程.
.

x ? ?1

问题2:已知直线 l 的斜率为k,与y轴的交点 是点P(0,b),求直线 l 的方程. y
解: 由直线的点斜式方程,得:
(0,b)

y ? b ? k ( x ? 0)
即:

o l

x

y ? kx ? b

式中:b ---直线l 在y轴上的截距(直线与y轴交点的 纵坐标)

k ---直线 l 的斜率 所以这个方程也叫做直线的斜截式方程.
注意:斜截式方程的形式特点并对比一次函数形式

例二:
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距:
(1 )y ? 3 x ? 2 ( 2) y ? 3 x (3) y ? 3 ( 4) x ? 3 y ? 2
1 2 y ? x? 3 3

思:一)截距是距离吗?
二)如何求直线在坐标轴上的截距?

思考1:若直线l的斜率为k,在x轴上 的截距为a,则直线l的方程是什么?
l

y=k(x-a)

思考2:已知直线l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2,分别在什么条件下l1与 l2平行?垂直?

数学运用:

例3、 求下列直线的斜截式方程: (1)经过点A(-1,2),且与直线 y=3x+1垂直; (2)斜率为-2,且在x轴上的截距为5.

方程 y ? 2 ? k ( x ? 3) 表示( C ) A)通过点 ?2,?3? 的所有直线; B)通过点 ?? 3,2? 的所有直线; C)通过点 ?? 3,2? 且不垂直于x轴的所有直线; D)通过点 ?? 3,2? 且去除x轴的所有直线.

数学之美:
k为常数时,下列方程所表示的直线过定点 吗? ?1?y ? kx ? 2 ? ?0,2?
?2?y ? kx ? 3k ? 2
y
? y ? 2 ? k ?x ? 3? ? ?? 3,2?

y ? x?2

y?2

直线 y ? kx ? 2 是过定点 (0,2)的直线束;

o
y ? 3x ? 2

x

y ? ?x ? 2
y ? ?3x ? 2

数学之美:
y
y ? x?2
y ? 2x ? 4

y y ? 2x
y ? 2x ? 4

y?2

o
y ? 3x ? 2

x y ? ?x ? 2
y ? ?3x ? 2
y ? 2x ?1

o

x

y ? 2x ?1

直线 y ? kx ? 2 是过定点 (0,2)的直线束;

直线 y ? 2 x ? b 表示斜率为2的 一系列平行直线.

思考1

已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5),

如何求直线l的点斜式方程.
解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5)

5 ? ? ?5 ? ? kl ? ? ?2 ?2 ? 3
将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ).

思考2 设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),

(其中x1≠x2,y1≠y2),你能写出直线l的点斜式
方程吗?
y2 ? y1 当x1 ? x2时,k ? x2 ? x1 取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得, y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

y1 ? y2时, 化成比例式:
y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y1 x2 ? x1

直线的两点式方程
经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2,
y1≠y2 )的直线方程叫做直线的两点式方程,简称两点式.

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.

特别地

当x1=x2时,直线l的方程是 x=x1;
当y1=y2时,直线l的方程是 y=y1

.

例1

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为

B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.

将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: y l B(0,b) A(a,0) O x

y?0 x?a ? b?0 0?a

x y 即 ? ? 1. a b

直线的截距式方程
直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线 方程的截距式方程.

x y ? ? 1. a b
在y轴上 的截距

在x轴上 的截距

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

例2

三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边

所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.

y

. A

.
C

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:

O

. M

.B

x

y?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0 整理得, 5 x ? 3 y ? 6 ? 0.
这就是BC边所在直线的方程.

中点坐标公式
以P ( 1 x1,y1 ), P 2 ( x2 , y2 )为端点的 x1 ? x2 y1 ? y2 线段的中点坐标为( , ). 2 2

设BC的中点为M ,则M 的坐标为(

3 ? 0 ?3 ? 2 3 1 , ),即( , ? ) . 2 2 2 2

3 1 y ?0 x?5 过A( ?5, 0), M ( , ? )的直线方程为 ? , 1 3 2 2 ? ?0 ?5 2 2 整理得x ? 13 y ? 5 ? 0. 这就是BC边上的中线所在的直线的方程.

各类方程的适用范围
直线方程名称 直线方程形式 点斜式 斜截式 适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b y ? k ( x ? a)

两点式 截距式

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b


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