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专题4.4+三角函数的图象及三角函数模型的简单应用(测)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测+Word版含解析

2018 年高考数学讲练测【新课标版理】 【测】第四章
第 04 节
班级__________

三角函数

三角函数的图象及三角函数模型的简单应用
姓名_____________ 学号___________ 得分__________

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合 题目要求的。 ) 1. 【2018 山东省寿光现代中学高三上学期开学】函数 则() 的部分图象如图所示,

A. C. 【答案】A

B. D.

2.设振幅、相位、初相为方程 y ? A sin(? x ? ? ) ? b ( A ? 0) 的基本量,则方程

y ? 3sin(2 x ? 1)+4 的基本量之和为(
A. 4 【答案】D. B. 2 x ? 3

) C. 8 D. 2 x ? 1

【解析】 y ? 3sin(2 x ? 1)+4 的振幅、相位、初相分别为 3, 2 x ? 1, ?1 ,它们的和为

3 ? ? 2x ?1? ? ? ?1? ? 2x ?1 ,故选 D.

3. 【2018 江西省六校高三上学期第五次联考】设 ? ? 0 ,函数 y ? sin ? ? x ? 向左平移 A.

? ?

??

? ? 1 的图象 3?

2 3

2? 个单位后与原图象重合,则 ? 的最小值是( 3 4 3 B. C. D. 3 3 2



【答案】D 【解析】∵图象向左平移 ∴ 个单位后与原图象重合∴ 是一个周期

ω ≥3 所以最小是 3 故选 D.

4. 【2018 河南省郑州市第一中学高三上学期入学】将函数 f ? x ? 的图象向左平移 得到函数 g ? x ? 的图象如图所示,则函数 f ? x ? 的解析式是( )

? 个单位后 6

A. f ? x ? ? sin ? 2 x ? C. f ? x ? ? sin ? 2 x ? 【答案】A

? ? ? ?

?? ??

?( x? R) 6? ?( x? R) 3?

B. f ? x ? ? sin ? 2 x ? D. f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ? ? ?

?? ??

?( x? R) 6? ?( x? R) 3?

【解析】根据函数 g(x)的图象知,

T 5? ? ? = ﹣ = ,∴T=π , 4 12 6 4 2? ∴ω = =2; T
由五点法画图知, x=

? ? ? ? 时,ω x+φ =2× +φ = ,解得 φ = ; 6 6 2 6

? ) ; 6 ? 又 f(x)向左平移 个单位后得到函数 g(x)的图象, 6 ? ? ? ∴f(x)=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ ) . 6 6 6
∴g(x)=sin(2x+ 故选:A. 5.将函数 f

? x ? ? 2sin ? ?

? x ?? + ? 的图象向左平移 个单位,再向下平移1个单位,得到函数 4 ?3 6?
) B. g ? x ? ? 2sin ?

g( x) 的图象,则 g( x) 的解析式为( A. g ? x ? ? 2sin ?

?x ?? + ? ?1 ?3 4? ?x ? ? ? ? ?1 ? 3 12 ?

?x ?? ? ? ?1 ?3 4? ?x ? ? ? ? ?1 ? 3 12 ?

C. g ? x ? ? 2sin ? 【答案】A

D. g ? x ? ? 2sin ?

6.函数 y = 2 sin( A.6

?
4

uur uu u r uu u r x ? ? )(0<? <? ) 的部分图象如右图所示,则 (OA ? OB) ? AB ? (
B.4 C.—4 D.—6



【答案】A 【解析】由图可知函数图象过点 A(2,0),则有

2 sin( ? 2 ? ? ) ? 0, sin( ? ? ) ? 0, Q 0<? <? ,?? ? . 4 2 2
令 y ?1 , ? sin( 所以 uur

?

?

?

?

uu u r ? 2 x? ) ? , ? x ? 3,B(3,1) ,所以 OB ? (3,1) , 4 2 2

uu u r uu u r uur uu u r uu u r ,故选 A. OA ? OB ? (5,1), AB ? (1,1), ?(OA ? OB) ? AB ? 6

7.若函数 f ( x ) ? 2sin ? x (? ? 0) 的图像在 (0, 2? ) 上恰有一个极大值和一个极小值,则 ? 的取值范围是 A. ( ,1] 【答案】D ( B. (1, ] )

3 4

5 4

C. ( , ]

3 4 4 5

D. ( , ]

3 5 4 4

8. 【2018 云南省玉溪第一中学高三上学期第一次月考】 函数 f ? x ? ? cos ? wx ?

? ?

??

? (w ? 0) 在 6?

?0, ? ? 内的值域为 ??1,
?
A. ? , ? ?2 3? 【答案】D

?

3? ? ,则 w 的取值范围是 2 ?
C. ? , ?? ? ?6 ?

?3 5?

B. ? , ? ?6 2?

?5 3?

?5

?

D. ? , ? ?6 3?

?5 5?

【解析】函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

?? 3 ? ,则 ? , 0 ? x ? ? , ?1 ? cos ? ? x ? ? ? 6? 6? 2 ?

? ? ?x ?

?
6

?

11? 5 3 ,解得 ? ? ? ,选 D. 6 6 5
( 的图象,只需把 )的图象与 的图象

9.【2017 江西 “北阳四校”高三开学摸底】已知函数 的图象的两相邻交点间的距离为 ,要得到 ( )

A. 向左平移 C. 向左平移 【答案】A

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向右平移

个单位长度 个单位长度

【解析】由题意得

,所以

向左平移

个单位长度得 10.把曲线 C1 : y ? sin ?? x ??? ? 0? 向右平移

,选 A.

? 个单位后得到曲线 C2 ,若曲线 C2 的所有对 6
( )

称中心与曲线 C1 的所有对称中心重合,则 ? 的最小值为 A.1 B.3 C.4 D.6

【答案】D. 【解析】因为曲线 C2 的所有对称中心与曲线 C1 的所有对称中心重合,所以

?
6

? n?

? ,可得 ?

? ? 6n ? n ? N ? ? ,所以当 n ? 1 时, ?min ? 6 ,故选 D.
11. 【2018 湖北省部分重点中学高三起点】如图是函数 y=Asin(ω x+φ ) 在区间 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点 上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将

A. 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B. 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 C. 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 D. 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 【答案】D

【解析】由图可知 , ,

,又

,

,又

, 所以为了得到这个函数的图象, 只需将 的图象,再将 的图象

的图象上的所有向左平移 个长度单位,得到 上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) 即可. 故选 D. 12.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 法正确的是( )

?
2

)的部分图象如图所示,下列说

(A) f ( x) 的图象关于直线 x ? ? (B) f ( x) 的图象关于点 (?

2? 对称 3

5? ,0) 对称 12 ? 个单位得到函数 f ( x) 的图象 2

(C)将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2 x 的图象向左平移

? (D)若方程 f ( x) ? m 在 [? ,0] 上有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 (?2, ? 3] 2

【答案】D

对(C) ,函数 y ? 3sin 2x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,将它的图象向左平移 个单位得

? 2

? ? 5? y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) ? f ( x) ,故错. 2 6 6 ? 2? ? ? 2? ? ? 2 x ? ? ,结合函数 y ? 2sin x (? ? x ? ) 的图象 对(D) ,由 ? ? x ? 0 得 ? 2 3 3 3 3 3
? 可知, ?2 ? m ? 3 时,方程 f ( x) ? m 在 [? ,0] 上有两个不相等的实数根,故正确. 2

二、填空题
13. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如下图所示,则 π f(3)的值为 .

【答案】 1 【解析】由图知: A ? 2 ,

3T 11? ? 2? ? ? ? ,T ? ? ,? ? ? 2. 又函数过点 ( ,2), 所以有 4 12 6 T 6 ? ? ? 2? ? sin( 2 ? ? ? ) ? 1, 而 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? . 因此 f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 1. 6 6 3 3 6

14.已知函数 y ? cos x 与函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图像有一个横坐标为 交点,则 ? 的值是 【答案】 .

? 的 3

? 6

【解析】由题意 cos

?
3

? sin(2 ?

?
3

? ? ) ,即 sin(

(k ? Z ) ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
6

2? 1 2? ? ? ?) ? , ? ? ? k? ? (?1) k ? , 3 2 3 6



15. 【2017 浙江杭州高级中学高三 2 月模拟】 函数 y ? sin ?? x ? ? ?? x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ? 的部分图象如图,则函数表达式为_________;若将该函数向左平移 1 个单位,再保持纵坐标 不变,横坐标缩短为原来的

1 倍得到函数 g ? x ? ? __________. 2

【答案】

?? ?? y ? sin ? x ? ? 4? ?4

y ? cos

?
2

x

【解析】根据函数的部分图象,可得 再根据五点法作图可得 1?

T 1 2? ? ? 3 ?1 ? ? ,?? ? . 4 4 ? 4 ,?? ?

?
4

?? ?

?
2

?
4

,函数 y ? sin ?

?? ?? x ? ?. 4? ?4

将该函数向左平移 1 个单位,再保持纵坐标不变, 可得 y ? sin ?

? ? ?? ? cos x 的图象; ? x ? 1? ? ? ? 4? 4 ?4

1 ? 倍得到函数 g ? x ? ? cos x 的图象. 2 2 π π 16. 设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? ? ? ) ,给出以下四个论断: 2 2
再把横坐标缩短为原来的 ①它的图象关于直线 x ?

π 对称; 12

②它的图象关于点 ?

?π ? , 0 ? 对称; ?3 ?

③它的周期是 π ;

④它在区间 ? ?

? π ? , 0 ? 上是增函数. ? 6 ?

以其中两个论断作为条件,余下论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ________________. 【答案】两个正确的命题为(1)①③ ②④; (2)②③ ①④.

(2)的证明如下:由③, f ? x ? 的周期为 π ,则 ? ? 2, f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? . 由②得 2 ?

π π π π π? ? ? ? ? kπ ? k ? Z ? , ? ? ? ? ?? ? , f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 3 2 2 3 3? ?

由于 f ?

π ? π? ? ? 1 ,所以 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 12 对称 ? 12 ?

由于 x ? ? ?

π ? π? ? π ? ? ? ? , 0? ? 2 x ? ? ?0, ? ? f ? x ? 在 ? ? , 0 ? 上为增函数,即④成立. 3 ? 3? ? 6 ? ? 6 ?

三、解答题
17.一半径为 4m 的水轮(如图),水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮 上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计时.

(1)将点 P 距离水面的高度 h(m)表示为时间 t(s)的函数;

(2)在水轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距水面的高度超过 4m. 【答案】 (1) h ? 4sin ? 距水面的高度超过 4m. 【解析】试题分析:(1)建立适当的平面直角坐标系,利用三角函数的定义得到函数关系式; (2)利用三角函数的性质进行求解. 试题解析: (1)建立如图所示的平面直角坐标系.

π? ? 2π (2)在水轮转动的一圈内,有 5s 的时间点 P t ? ? ? 2 ?t ? 0? ; 6? ? 15

依题意,如图 ? ?

? 6
4 ? 2π 2π t? t, 60 15

易知 OP 在 ts 内所转过的角为 故角

2π ? t ? 是以 Ox 为始边, OP 为终边的角, 15 6

故 P 点的纵坐标为 4sin ?

? 2π ? ? t? ?, 6? ? 15 π? ? 2π t ? ? ? 2 ?t ? 0? ; 6? ? 15

故所求函数关系式为 h ? 4sin ?

(2)令 4sin ?

?? ? 2? t ? ??2 ?4 6? ? 15

?? 1 ? 2? sin ? t? ?? 6? 2 ? 15
?
6 ? 2 k? ? 2? ? 5? t? ? ? 2 k? , k ? Z , 15 6 6

? 2.5 ? 15k ? t ? 7.5 ? 15k , k ? Z

?7.5 ?15k ? ? ? 2.5 ?15k ? ? 5

∴在水轮转动的一圈内,有 5s 的时间点 P 距水面的高度超过 4m.

18.已知函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 0, ? ? 的图像如图所示. (1) f ? x ? 的函数解析式; (2)在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ,且

?

?

f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

【解析】 (1)由题意得,由图可得函数 f ? x ? 的最小值为-1.所以 A ? 1 ,由图可得函数 f ? x ? 的 周期为

T 7? ? 2? ?? ? ? ? ? T ? ? ,所以 ? ? ? ? ? 2 ,又因为函数 f ? x ? 经过点 ? ,1 ? 所以 2 12 12 ? ? 12 ?
π ? )? 1 ? . 6 ? 0 ?? ? π , π π 7π π π π ? ?? ? ?? ? , , ? ?? ? , 6 6 6 6 2 3

π f ( ) ?1, n i( 即s 12

综上函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? . 3?
a 2 ? b2 ? c 2 1 3 ? , ?sin C ? 1 ? cos 2 C ? . 2ab 2 2

(2)

a 2 ? b2 ? c2 ? ab , ? cos C ?

由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ?

π ), 3

A π ? 2 . ? f ( + ) ? sin( A ? ) ? cos A ? 2 12 2 2

A ? ? 0, ? ? , ?sin A ? 1 ? cos2 A ?


2 , 2

sin B ? sin(π ? ( A ? C )) ? sin( A ? C ) ,

? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ?

2 1 2 3 2? 6 . ? ? ? ? 2 2 2 2 4
的部分图象如图, 是图象的最高点, , .

19.已知函数 为图象与 轴的交点, 为原点,且 点坐标为

(1)求函数 (2)将函数

的解析式; 图象向右平移 1 个单位后得到函数 的最大值. 的图象,当 时,求函数

【答案】 (1)

; (2) ,可得

. , ,再由函数的周期求出 ω 的值,再把

【解析】试题分析: (1)由 点坐标为

点 P 的坐标代入函数解析式求出 φ ,即可求得 y=f(x) 的解析式. (2)求出 g(x) 的解析式,化简 h(x)=f(x)g(x) 的解析式为 ,再根据 x 的范围求出 h(x) 的值域,从而求得 h(x) 的最大值. 试题解析: (1) 点坐标为 由 ,∴ , , 得 ,∴ , . .

(2)



, 当 ∴当 时, ,即 时, , .

20.已知函数 f ( x) ? sin??x ? ? ? ? ? 0,0 ? ? ? ? 为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之间的 距离为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式

?

?

?? ? 2 sin? 2? ? ? ? 1 ? 2 4? (Ⅱ)若 sin ? ? f (? ) ? ,求 的值. 1 ? tan ? 3


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